2014-2015学年高二数学教案：22《圆锥曲线的参数方程》（新人教a版选修4-4）

二圆锥曲线的参数方程课标解读1了解双曲线、抛物线的参数方程2理解椭圆的参数方程及其应用3能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题1椭圆的参数方程普通方程参数方程1AB0X2A2Y2B2ERROR为参数1AB0Y2A2X2B2ERROR为参数2双曲线的参数方程普通方程参数方程1A0，B0X2A2Y2B2ERROR为参数3抛物线的参数方程1抛物线Y22PX的参数方程是ERRORTR，T为参数2参数T表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数1椭圆的参数方程中，参数是OM的旋转角吗【提示】椭圆的参数方程ERROR为参数中的参数不是动点MX，Y的旋转角，它是点M所对应的圆的半径OA或OB的旋转角，称为离心角，不是OM的旋转角2双曲线的参数方程中，参数的三角函数SEC的意义是什么【提示】SEC，其中0,2且，1COS2323类比Y22PXP0，你能得到X22PYP0的参数方程吗【提示】ERRORP0，T为参数，TR椭圆的参数方程及应用将参数方程ERROR为参数化为普通方程，并判断方程表示曲线的焦点坐标【思路探究】根据同角三角函数的平方关系，消去参数，化为普通方程，进而研究曲线形状和几何性质【自主解答】由ERROR得ERROR两式平方相加，得1X252Y232A5，B3，C4因此方程表示焦点在X轴上的椭圆，焦点坐标为F14,0和F24,0椭圆的参数方程ERROR为参数，A，B为常数，且AB0中，常数A、B分别是椭圆的长半轴长和短半轴长，焦点在长轴上若本例的参数方程为ERROR，为参数，则如何求椭圆的普通方程和焦点坐标【解】将ERROR，化为ERROR两式平方相加，得1X232Y252其中A5，B3，C4所以方程的曲线表示焦点在Y轴上的椭圆，焦点坐标为F10，4与F20,4已知曲线C1ERROR，T为参数，曲线C21X264Y291化C1为普通方程，C2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线2若C1上的点P对应的参数为T，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线2C3X2Y70距离的最小值【思路探究】1参数方程与普通方程互化；2由中点坐标公式，用参数表示出点M的坐标，根据点到直线的距离公式得到关于的函数，转化为求函数的最值【自主解答】1由ERROR得ERROR曲线C1X42Y321，C1表示圆心是4,3，半径是1的圆曲线C21表示中心是坐标原点，焦点在X轴上，长半轴长是8，短半轴长是X264Y293的椭圆其参数方程为ERROR为参数2依题设，当T时，P4,4；2且Q8COS，3SIN，故M24COS，2SIN32又C3为直线X2Y70，M到C3的距离D|4COS3SIN13|55|5COS13|，55从而当COS，SIN时，其中由SIN，COS确定45353545COS1，D取得最小值8551从第2问可以看出椭圆的参数方程在解题中的优越性2第2问设计十分新颖，题目的要求就是求动点M的轨迹上的点到直线C3距离的最小值，这个最小值归结为求关于参数的函数的最小值2013开封质检已知点P是椭圆Y21上任意一点，求点P到直线X24LX2Y0的距离的最大值【解】因为P为椭圆Y21上任意一点，X24故可设P2COS，SIN，其中0,2又直线LX2Y0因此点P到直线L的距离D|2COS2SIN|122222|SIN4|5所以，当SIN1，即时，D取得最大值442105双曲线参数方程的应用求证双曲线1A0，B0上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个X2A2Y2B2定值【思路探究】设出双曲线上任一点的坐标，可利用双曲线的参数方程简化运算【自主解答】由双曲线1，得X2A2Y2B2两条渐近线的方程是BXAY0，BXAY0，设双曲线上任一点的坐标为ASEC，BTAN，它到两渐近线的距离分别是D1和D2，则D1D2|ABSECABTAN|B2A2|ABSECABTAN|B2A2定值|A2B2SEC2TAN2|A2B2A2B2A2B2在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式SEC2TAN21的应用如图221，设P为等轴双曲线X2Y21上的一点，F1、F2是两个焦点，证明|PF1|PF2|OP|2图221【证明】设PSEC，TAN，F1，0，F2，0，22|PF1|SEC22TAN2，2SEC222SEC1|PF2|SEC22TAN2，2SEC222SEC1|PF1|PF2|2SEC212SEC2128SEC2|OP|2SEC2TAN22SEC21，|PF1|PF2|OP|2抛物线的参数方程设抛物线Y22PX的准线为L，焦点为F，顶点为O，P为抛物线上任一点，PQL于Q，求QF与OP的交点M的轨迹方程【思路探究】解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可【自主解答】设P点的坐标为2PT2,2PTT为参数，当T0时，直线OP的方程为YX，1TQF的方程为Y2TX，P2它们的交点MX，Y由方程组ERROR确定，两式相乘，消去T，得Y22XX，P2点M的轨迹方程为2X2PXY20X0当T0时，M0,0满足题意，且适合方程2X2PXY20故所求的轨迹方程为2X2PXY201抛物线Y22PXP0的参数方程为ERRORT为参数，参数T为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数2用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程2012天津高考已知抛物线的参数方程为ERRORT为参数，其中P0，焦点为F，准线为L过抛物线上一点M作L的垂线，垂足为E，若|EF|MF|，点M的横坐标是3，则P_【解析】根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是Y22PX，所以Y6P，所2M以E，F，0，所以3，所以P24P120，解得P2负值舍P26PP2P2P26P去【答案】2教材第34页习题22，第5题已知椭圆1上任意一点M除短轴端点外与短轴两端点B1，B2的连线分别与XX2A2Y2B2轴交于P、Q两点，O为椭圆的中心求证|OP|OQ|为定值2012徐州模拟如图222，已知椭圆Y21上任一点M除短轴端点X24外与短轴两端点B1、B2的连线分别交X轴于P、Q两点图222求证|OP|OQ|为定值【命题意图】本题主要考查椭圆的参数方程的简单应用，考查学生推理与数学计算能力【证明】设M2COS，SIN为参数，B10，1，B20,1则MB1的方程Y1X，SIN12COS令Y0，则X，2COSSIN1即|OP|2COS1SINMB2的方程Y1X，SIN12COS|OQ|2COS1SIN|OP|OQ|42COS1SIN2COS1SIN因此|OP|OQ|4定值1参数方程ERROR，为参数化为普通方程为AX21BX21Y24Y22CY21DY21X24X24【解析】易知COSX，SIN，Y2X21，故选AY24【答案】A2方程ERROR为参数，AB0表示的曲线是A圆B椭圆C双曲线D双曲线的一部分【解析】由XCOSA，COS，AX代入YBCOS，得XYAB，又由YBCOS知，Y|B|，|B|，曲线应为双曲线的一部分【答案】D32013陕西高考圆锥曲线ERRORT为参数的焦点坐标是_【解析】将参数方程化为普通方程为Y24X，表示开口向右，焦点在X轴正半轴上的抛物线，由2P4P2，则焦点坐标为1,0【答案】1,042012湖南高考在直角坐标系XOY中，已知曲线C1ERRORT为参数与曲线C2ERROR为参数，A0有一个公共点在X轴上，则A_【解析】将曲线C1与C2的方程化为普通方程求解ERROR消去参数T得2XY30又ERROR消去参数得1X2A2Y29方程2XY30中，令Y0得X，将，0代入1，得1又3232X2A2Y2994A2A0，A32【答案】32时间40分钟，满分60分一、选择题每小题5分，共20分1曲线CERROR，为参数的离心率为AB2335CD3253【解析】由题设，得1，X29Y25A29，B25，C24，因此ECA23【答案】A2参数方程ERROR，为参数的普通方程是AY2X21BX2Y21CY2X211Y3DY2X21|X|2【解析】因为X21SIN，所以SINX21又因为Y22SIN2X21，所以Y2X211SIN1，Y，2SIN1Y3普通方程为Y2X21，Y1，3【答案】C3点P1,0到曲线ERROR参数TR上的点的最短距离为A0B1CD22【解析】D2X12Y2T2124T2T212，由T20得D21，故DMIN1【答案】B4已知曲线ERROR，为参数，0上的一点P，原点为O，直线PO的倾斜角为，则P点的坐标是4A3,4B，23222C3，4D，125125【解析】由题意知，3COS4SIN，TAN，又0，则SIN，COS，343545X3COS3，45125Y4SIN4，35125因此点P的坐标为，125125【答案】D二、填空题每小题5分，共10分5已知椭圆的参数方程ERRORT为参数，点M在椭圆上，对应参数T，点O为原点，3则直线OM的斜率为_【解析】由ERROR得点M的坐标为1,23直线OM的斜率K22313【答案】2362013江西高考设曲线C的参数方程为ERRORT为参数，若以直角坐标系的原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_【解析】ERROR化为普通方程为YX2，由于COSX，SINY，所以化为极坐标方程为SIN2COS2，即COS2SIN0【答案】COS2SIN0三、解答题每小题10分，共30分72013平顶山质检如图223所示，连接原点O和抛物线YX2上的动点M，12延长OM到点P，使|OM|MP|，求P点的轨迹方程，并说明是什么曲线图223【解】抛物线标准方程为X22Y，其参数方程为ERROR得M2T,2T2设PX，Y，则M是OP中点ERRORERRORT为参数，消去T得YX2，是以Y轴对称轴，焦点为0,1的抛物线1482012龙岩模拟已知直线L的极坐标方程是COSSIN10以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为X轴的正半轴，建立平面直角坐标系，椭圆C的参数方程是ERROR为参数，求直线L和椭圆C相交所成弦的弦长【解】由题意知直线和椭圆方程可化为XY10，Y21，X24联立，消去Y得5X28X0，解得X10，X285设直线与椭圆交于A、B两点，则A、B两点直角坐标分别为0,1，8535则|AB|3512852825故所求的弦长为82592013漯河调研在直角坐标系XOY中，直线L的方程为XY40，曲线C的参数方程为ERROR为参数1已知在极坐标系与直角坐标系XOY取相同的长度单位，且以原点O为极点，以X轴正半轴为极轴中，点P的极坐标为4，判断点P与直线L的位置关系；22设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线L的距离的最小值【解】1把极坐标系下的点P4，化为直角坐标，得点0,4因为点P的直角坐2标0,4满足直线L的方程XY40，所以点P在直线L上2因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为COS，SIN，从而点Q到直线3L的距离为D|3COSSIN4|22COS642COS2，由此得，当COS1时