2009届高考数学考点分章归纳（三轮教材回归复习精品版）——极限与导数

高中数学第十三章极极限限考试内容教学归纳法数学归纳法应用数列的极限函数的极限根限的四则运算函数的连续性考试要求（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题（2）了解数列极限和函数极限的概念（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质13极极限限知识要点知识要点1第一数学归纳法证明当N取第一个0时结论正确；假设当KN（0,NKN）时，结论正确，证明当1K时，结论成立第二数学归纳法设P是一个与正整数N有关的命题，如果当0N（）时，N成立；假设当K（0,KN）时，P成立，推得1KN时，NP也成立那么，根据对一切自然数N时，都成立2数列极限的表示方法ANLIM当时，N几个常用极限CNLI（为常数）,01LIM是常数KNK对于任意实常数，当|A时，LINA当1时，若A1，则1LIMN；若A，则NNA1LIMLI不存在当A时，NLI不存在数列极限的四则运算法则如果BNNLI,LIM，那么BANNLIMLI0LIBAN特别地，如果C是常数，那么ANNNLIMLILIM数列极限的应用求无穷数列的各项和，特别地，当1Q时，无穷等比数列的各项和为1QAS（化循环小数为分数方法同上式）注并不是每一个无穷数列都有极限3函数极限；当自变量X无限趋近于常数0X（但不等于0X）时，如果函数XF无限趋进于一个常数A，就是说当趋近于0时，函数F的极限为A记作AFXLIM0或当0时，XF注当X时，F是否存在极限与XF在处是否定义无关，因为并不要求0X（当然，在0X是否有定义也与在0处是否存在极限无关函数XF在有定义是LIM0FX存在的既不充分又不必要条件）如1P在X处无定义，但LIM1XP存在，因为在1X处左右极限均等于零函数极限的四则运算法则如果BXGAXFLIM,LI00，那么FXLI0BAGFLI00LIM0X特别地，如果C是常数，那么LILI00XFFXNXNFFLILI00（N）注各个函数的极限都应存在四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况几个常用极限01LIMXNA（0A1）；0LIMXA（1）SIL0XSINL0XEX1LIM，EX10LI（71823）4函数的连续性如果函数F（X），G（X）在某一点0X连续，那么函数,FFXF在点处都连续函数F（X）在点0X处连续必须满足三个条件函数F（X）在点处有定义；LIM0XF存在；函数F（X）在点0X处的极限值等于该点的函数值，即LI0FXF函数F（X）在点X处不连续（间断）的判定如果函数F（X）在点0处有下列三种情况之一时，则称0X为函数F（X）的不连续点F（X）在点处没有定义，即0XF不存在；LIM0FX不存在；LIM0XF存在，但LIM00XFFX5零点定理，介值定理，夹逼定理零点定理设函数）（XF在闭区间,BA上连续，且0BFA那么在开区间,BA内至少有函数F的一个零点，即至少有一点（）使F介值定理设函数XF在闭区间,BA上连续，且在这区间的端点取不同函数值，BBFAAF,，那么对于BA,之间任意的一个数C，在开区间,BA内至少有一点，使得C（AB）夹逼定理设当|0X时，有XGFXH，且AXHXGLIMLI00，则必有LIM0AXF注|表示以0为的极限，则|0X就无限趋近于零（为最小整数）6几个常用极限1,0LIMQNLIANKK,10LI为常数）LIMNKK,0LI为常数）高中数学第十四章导导数数考试内容导数的背影导数的概念多项式函数的导数利用导数研究函数的单调性和极值函数的最大值和最小值考试要求（1）了解导数概念的某些实际背景（2）理解导数的几何意义（3）掌握函数，YCC为常数、YXNNN的导数公式，会求多项式函数的导数（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值14导导数数知识要点知识要点1导数（导函数的简称）的定义设0X是函数XFY定义域的一点，如果自变量X在0X处有增量X，则函数值Y也引起相应的增量00F；比值FFY0称为函数F在点0到之间的平均变化率；如果极限XFFXLIMLI000存在，则称函数XFY在点0处可导，并把这个极限叫做FY在处的导数，记作0XF或0|X，即FXFXLILI00注是增量，我们也称为“改变量”，因为X可正，可负，但不为零导数导数的概念导数的运算导数的应用导数的几何意义、物理意义函数的单调性函数的极值函数的最值常见函数的导数导数的运算法则以知函数XFY定义域为A，XFY的定义域为B，则A与关系为B2函数F在点0处连续与点0处可导的关系函数XFY在点处连续是XFY在点0处可导的必要不充分条件可以证明，如果F在点0处可导，那么XFY点0处连续事实上，令X0，则X相当于于是LIMLILIM000XFFXFFFXXX0LIMLILI00000XFFXFFFXXX如果FY点0X处连续，那么FY在点处可导，是不成立的例|XF在点处连续，但在点0X处不可导，因为XY|，当0时，1Y；当0时，1XY，故YX0LIM不存在注可导的奇函数函数其导函数为偶函数可导的偶函数函数其导函数为奇函数3导数的几何意义函数XFY在点0处的导数的几何意义就是曲线XFY在点,0XF处的切线的斜率，也就是说，曲线XFY在点P,0XF处的切线的斜率是F，切线方程为00XFY4求导数的四则运算法则VU2121XFXFFYXFXFFYNNCVCV（为常数）02VUU注,必须是可导函数若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导例如设XXF2SIN，XG2COS，则,XGF在0处均不可导，但它们和GFCOSIN在0处均可导5复合函数的求导法则XUFXF或XUY复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形6函数单调性函数单调性的判定方法设函数XFY在某个区间内可导，如果XF0，则XFY为增函数；如果XF0，则F为减函数常数的判定方法；如果函数F在区间I内恒有F0，则XFY为常数注0XF是F（X）递增的充分条件，但不是必要条件，如32XY在,上并不是都有F，有一个点例外即X0时F（X）0，同样0F是F（X）递减的充分非必要条件一般地，如果F（X）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么F（X）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的7极值的判别方法（极值是在0X附近所有的点，都有XF0F，则0XF是函数F的极大值，极小值同理）当函数XF在点0处连续时，如果在附近的左侧XF0，右侧XF0，那么0XF是极大值；如果在0X附近的左侧F0，右侧F0，那么F是极小值也就是说是极值点的充分条件是X点两侧导数异号，而不是XF0此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）注若点0X是可导函数XF的极值点，则XF0但反过来不一定成立对于可导函数，其一点是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零例如函数3XFY，0使XF0，但0不是极值点例如函数|F，在点处不可导，但点X是函数的极小值点8极值与最值的区别极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较注函数的极值点一定有意义9几种常见的函数导数I0C（为常数）