《信号与系统》-第四章-信号的谱表示

第四章信号的谱表示41上的傅里叶变换（信号与系统第二版（郑君里）31，32）10L,T，是上绝对可积函数的全体。0|DTTFFT0,TDIRICHLET条件对0,T，A，即；0TTFT1LFTTB在上有有限个极大值、极小值；T0,C在上有有限个第一类间断点。FTT注DIRICHLET条件是充分条件；A保证傅里叶系数有限，B、C保证RIEMANN可积。三角函数形式的傅里叶级数三角函数集1,COS,IN,COS,IN,2TTT01,NTT是上完备正交集，T为基波的周期，0,LTT20,DTTIJIJIJTT三角函数形式的傅里叶级数对，的傅里叶级数为1200,L,FTTTFT01COSINNFTATBT，0,TT2（41）其中01DTAFT,COSNTNT,ISNNFTBT（42）为傅里叶系数。注即高次方可积00L,QPPQTTTT，。为有限数时函数是低次方可积函数的子空间。变形12011122COSSINNNNABFTABTTA01COSNNT01INNDT（43）其中，TGNBATN，00CD2NNAB（44）图41注1或或是的函数，。,NABNCD2T物理意义第N次谐波的幅度。2为第N次谐波的相位。,N3为直流分量。00ACD4周期信号的频谱只会在等离散频率点上，这种频谱0,2称为离散谱。图42指数形式的傅里叶级数是上完备正交集，。JNTNET20L,TT2T，J0T0,DTTIJIJIJTT（45）对，有，10LFTJNTNFTFE，0,TT2（46）其中JJ,NTNTFEF0J1DTTNTFE（47）注负频率的引入完全由完备性决定。易知NF（48），。JJJ2RE2COSNTNTTNNFETJNFE一般为的复变函数，是离散的，间隔为。N2T，和均为的函数。JNEFN的幅度谱（线谱），NFT的相位谱（线谱）。01COSINNFTATBT利用，JJINTETT可导出，00FACD，J1J2NNNBE，JN1TGNNA（49）傅里叶级数（FOURIERSERIESFS）应用范围可展成傅里叶级数10L,FTTTJ00NTNFFEUTTT即J0,NTNFTT，（410）由上式可知，TT0,T0T区间与TT0T,T02T的FS展开式对应相等。即，若将以为周期进行延拓，所得周期信号的FS与上式相同FT，FTFMT,J00NTTNEUTTUMTT，JTNF,（411）可见，对于有限开区间TT0,T0T上的函数作FS展开的（410）和（411）式表明，这种FS展开，不但在该有限开区间上成立，而且在区间以外的T,上成立，且收敛于信号在展开区间部分的周期延拓。上述这段文字描述，是理解一个信号FS展开的关键如果信号本身就是周期的，且在一个周期内绝对可积，则必然可以作傅里叶级数展开。形式如（411）所示。周期信号，FTNT，（412）主周期为2TFTFUTT（413）函数的对称性与FS的定性性质01DTTAFT02COSTNN0ITTBFT（414）为偶函数FTFTT（415）的傅里叶级数只含有直流和余弦分量。FT为奇函数FTFT（416）的傅里叶级数只含有正弦分量。FT为奇谐函数2TFTFT（417）的傅里叶级数只含有奇次正余弦分量（奇次谐波）。FT证明1,02,TFTTFT021102COSDCOSDTTNAFTNTFTNT011222TTTTFTTF001122COSDCOSDTTFTNTFN0124COSD,21,TFTNTM012SI,2TNFTTBN为偶谐函数FT2TFTT（418）的傅里叶级数只含有偶次正余弦分量（偶次谐波）。FTPARSEVAL定理（内积不变性）定理（PARSEVAL等式）对，则20,L,FTGTT0,D,TTNNFTFGT（419）能量定理对，有20L,FTT022DTTNFTFFT其中是在完备规范正交集上的傅立叶系数。NFFT（420）均方收敛性（依范数收敛，强收敛）定理（均方收敛）对，则20L,FTTT02J1LIMD0NTTNTNNFE（421）其中，为逼近误差，JTNNNTFEFT，为均方误差。02J1DTTNTNFF注1在个别点，甚至零测度集上不收敛不影响均方收敛性。22N1项FS近似，欧式范数最小方差最小均方误差最小。可FS展开的充分条件可FS展开是指。,NF定理若，则。10LFTTTN证明，0JDTNNTFE0JTT，011TTFTFT。1MAXNF推论若，则。20L,FTTTNF原因是，。10,T思考题定理（BESSEL不等式）设是内积空间上的规范正交集，1IIT20,LT，可展成FS，其傅立叶系数，且满足1200,FTLTT21NFL不等式。该不等式称为BESSEL不等式。1NFFBESSEL不等式（定理）说明了规范正交集在不完备时作信号分解的情形。GIBBS现象若用FS逼近FT，在间断点处不收敛，且在间断点的邻域内出现减幅震荡的奇异现象，震荡的第一峰最大，峰起值约为间断001501/2/3/2/01/DD73,06TTTJNTTJNTNJJFTEFFEEJ，例子求信号在区间上的展开，并研究有限项截断对原信号的逼近。解S081729214934/0/10,557,12JJJJNNJNTJNTJTEFEFFFTN，（）；（）“”取项重要结论越大，逼近得越好纹波减小，纹波数增加，向端点靠近如果端点处周期延拓时存在跳变，则过冲不会消。失点处跳变的9。这种现象称为吉布斯（GIBBS）现象。图4342典型周期信号的谱（信号与系统第二版（郑君里）33）周期矩形脉冲信号，2FTEUTT2TT（422）图44，01COSNFTAT，0ET2221COSDSASATNAFTNTNT（423）图45图46注1的频谱为可列的无穷多条线谱；FT2谱线间隔为；分析时间加长，谱分辨率提高。2T，3线谱包络；01SA2，40到第一零点之间谱线个数0，（表示对取整）。2T指数形式的傅立叶级数为JNTFTFE21DSASA22TJNTNEFFETT43上的函数的傅里叶变换1L,（信号与系统第二版（郑君里）34，35，36）问题的提出考虑令，则，则0/2TT110L,TT，谱线间隔，J21LIMLIDNTTNTFFE20,T此时，信号由周期信号变为非周期信号，其频谱由离散谱变为连续谱。J2LIMLIDTNTNTFFEJ0LINNTF（424）其中，表示单位频率上的谱强度，则NF02LIMNFN（425）即表示信号的频谱密度函数（谱密度）。FT令，上式可写作。NJDTFFEFN在化为乌有时低吟一曲，得罪魁祸首T之相救，遂起死回生不要问我从哪里来，我的出身很渺小。为什么流浪踢我一脚不要问我从哪里来，我的出身很渺茫。为什么流浪踢在身上。傅里叶变换定义（傅里叶变换）对，则1L,FT傅里叶正变换JDTFFTFE（426）傅里叶反变换21JJ2FTTFTFEF（427）其中为的（频）谱（密度），为JEFTFT的幅度谱（密度），为的相位谱（密度）。FT定义存在。FTFF定理存在的充分条件对，则1L,FT存在。FT证明JDTFFEJ1TFFTFT于是，。L,TF注。1SUPFFT映射。1L,，J2DFTFTFE，10,FTTTJNTNFTJJ,DTTFEFEJJJ1,2TTTFFEJJDTTJ1T2E（由）JDTFF令，有。JTFE关于完备正交集的讨论JJJ,D2TTTTE0JJJJTTNTMTNTMTNET（428），确定J20L,TNET而。J2,T其中，可认为在形式上是上的（时域）完备正交集。JTE2典型函数的谱高斯函数，2TFTEE,2F（429）图47注1高斯函数，为正实函数；2EXPA2高斯函数傅里叶变换仍是高斯的；3高斯函数是速降函数；4令，则有12EF，22TFEF矩形脉冲信号2FTUTTSAFE（430）图48TEOFTEOF2EEF图49三角脉冲信号22FTEUTTEUTT2SAF（431）图410推广矩形函数不断卷积，其傅里叶变换弱收敛于高斯函数。双边指数信号,0,TFTET0JJ20DDTTFE（432）图411TOFTOF2F2E42E单边指数函数,0TFEU121XPJTGJF，21T（433）图412符号函数，1,0SGNTT1SGNL,TJ00JJJSGN220SLIMDLIDTTTTFEEEJ（434）图413冲激函数FT（435）JD1TFTE图414直流，1FT,TJD2TFE（436）图415阶跃函数1SGN2FTUT1JFTF（437）图41644傅里叶变换的性质（信号与系统第二版（郑君里）37，38）设FTF是线性变换1L,，11NNNNFTFTFF（438）对称性2TF（439）证法一J1D2TFTFEJT互换T。J11D22TFFEFT证法二JJJJJD2DTTTSTTSTFTEFEF由有，共轭FTF（440）证明JDTFTEF。JTF注1若为实函数，FTFTT则。FF，JJEE模偶对称性，相位奇对称性。2若为纯虚函数，和仍然FTF成立。相似性定理（SIMILARITYTHEOREM）（尺度变换性质）10FT，（441）特别地，当时，1FTF（442）时移JFTEF（443）图417调制（频移）0J0TFEFF（444）图41800011COS22FTTFF000INJJFTT（445）注此时谱的形状没有发生变化，称为线性调制。时域微分，PJFTFDPT（446）证明，J1D2TFTE（注对T进行作用）JPTFTPJ1PD2TFEJJT，1。PJFTF推广NPJNFTF（447）频域微分11DJFTF（448）证明JTFEJDDTFJTTEJJTFTF推广1NPJNTF（449）时域卷积1212FTFF（450）图419频域卷积定理1212FTFF（451）图420证明J1212DTFTFTFEFFJJ12TTFTJ21DTFTEF。12时域积分记，则DPT110JTFTFFF（452）待变换信号是对原信号的积分。积分相当于求面积，即从到T时刻原信号相对于横轴的面积，是T的函数。傅立叶变换则是对此面积函数的FT。如果总面积是不为零的常数，F00，相当于面积函数存在直流分量，求FT，则出现冲激项。若F00，信号的总面积为零，即在处有界，有0|DT0FF01PJFTF（453）证明1PFTFTU1JF。10JF矩定理，的N阶矩，则FTFTDNNMTFT0JN（反映函数的光滑程度）（454）证明N0D0NFNJ0D|TFTET。JJNNTFTM注1信号的总面积，平均值直流。0DM2一阶矩几何中心。11JFTF3二阶矩22T4二阶中心矩方差，1DMFT等效时宽标准差，围绕几何中心的弥散程度。矩展开式设，N,FTC则有D0NNNMTHHJM，DYTFTH1201NFTFTFTFT（455）其中21NFTFTFTFTFT（456）注光滑函数在处展成台劳级数FT00001KKTFTFT（456）式是函数在处的台劳级数展开。FTT台劳级数的意义在于低阶近似。对于（456）式，越宽（平坦，变化FT率小）、延时越小，则近似阶数越低。例图421，DYTFTH零阶近似，表明小延时对宽信号的作用较小。FT，0YTFTM可见，两个方差相差很大的信号卷积，宽的信号起主导作用。例已知，则1JUTF21T（457）F（458）JT（459）注利用，D1JJTU，SGNTTUTTFF，即可证明。145周期信号的傅里叶变换（信号与系统第二版（郑君里）39，310）周期信号，不满足0FTNTT1L,FT傅里叶变换的充分条件。方法从，求傅里叶级数，再求傅里叶变换。FT典型周期信号的傅里叶变换，是周期为零的周期信号，1FT,T2F（460）0JTFTE02F（461）图42200JJ01COS2TTFTTE00F（462）图42300JJ01SIN2TTFTTE00JF（463）图424一般周期信号的傅里叶变换定义（主周期）周期信号的主周期为0FTNT002FTFUTT若，则，100L,2TFT0JNTNFTFE02T,T傅立叶系数为0000JJ2211DDTTNTNTNFFEFE0JNTNFTF02N（464）（464）式须记住周期函数的与其的关系NF0FT，FTT10000L,22TFTFUTT0J200DTTFFTFE，0JNTNFTE000J21DTNTNFFE0001|1NTFTF其中，002F（465）（465）式须记住理想采样序列的傅里叶变换定义STSNTTT（466）为理想采样序列。图425FS，JSSNTTNTFEJ211DSSTNTETJSSNTTST1NSF（467）式（467）称为POISSON求和公式。FT由（464）式和（467）式，可有J12SNTSNNSSETTF，SSNS和JSSNTTSNTTNEFF（468）图42646采样定理（信号与系统第二版（郑君里）310311）问题的提出图427抽样信号的谱结构SPTNT2SPPFFTSFTP12SNSNSPFPF（469）矩形脉冲抽样，2NSP21DSA2STJNTNEPET因此有，如图429。ASSSNE图428被抽样信号频谱图429抽样序列的频谱FSTFTOTT22OFSSETSS图430抽样后所得信号频谱理想采样STSNPTTTT，1NSP2SNS1SSTSNSFFTF（470）零阶采样保持器图431，每TS时间通一次，断开的时间进行保持，在断开的0,SIR时间内完成A/D转换。图432上面的电路可用下面的模型表示图433其中，为模拟信号，为采样信号（离散时间信号），FTSFT为阶梯信号（连续时间信号），持续时间，数字信号。UFDSFNT在持续是内，完成A/D转换操作，输出。DSF图434时域采样定理定理（NYQUIST时域采样定理）带限信号被理想FTTT采样，则当采样频率时，可用等间隔采2SF2样值为一表示SFNTSASFSNFTKFTTNT（471）式中，。0FS2SSF时域抽样及原信号恢复图435TFTFTHTSAFSSFNBFTNTFSFSNBTTT（472）注要求，此时不会混叠，可以恢复，即要求FS，称最低采样频率为2/SRAD2SFHZ2SFNYQUIST采样频率，称为NYQUIST采样间隔。1STF47傅里叶变换的渐近性质定理（RIEMANNLEBESGUELEMMA）对，1L,FT有。LIM0F证明对，存在阶梯函数，使得11NNNNFTFAUTTAD2FTT（473）对满足（473）式的，当时，01JJ1DDNNATTNFEFEJJ1122NAANNNNFF于是（），当时，0JJDD02TTFFTEFE4NA注1）渐近，。1O02）等价于，JLIMLIDTFFE1L,FT即，JLI,0TE1,FT（474）因此有J47LIM0TE广义依（）47LICOSN0T广义依（）广义依（）（475）对常义的极限则（475）不成立。有界变差函数（BOUNDEDVARIATIONFUNCTION）定义设是上实函数，对于上的任一分割T，FX,AB,AB，若01NA10,BIIAIFTFXFV（476）则称是有界变差函数，记为（有界变差函数的全体）。FXBVFBFXF有界约当分解可写成两个单调增有界函数之差，则或者无界或者急剧振荡。FXVFX例在含原点的，。,AB1SINX有界变差函数未必绝对可积。例，在时不可积。12XRIEMANN定理若，且为上（可有1L,FTABFT,ABBV,AB限，可无限），则，。OF证明FTBV单调有界增函数，使得，12,FT12FTTFT又，1L,FTABJJ2DDBTTAFFEFE1122COSSINCOSSINDBBBAAAFTTFTTFTTFTT由第二积分中值定理若在上单调，在上可积，则，FT,ABGT,AB,AB使DDDBBAAFTGTFTFGT111COSCOSCOSFBF11COSDCOSDCOSDBAAFTTFBTT114INIINIFFB同理处理其余三项，则最后可得1280FBFCF，即，。O定理若函数直至N阶导数存在，且有界变差、绝对,NFTFT可积，则。1NF，证明由，有，（黎曼定NFTBVONFT理）即（FT的微分性质）1JNF即。1ON若，则连续，有1NF1,NFTFTNFT界。举例21/2/BVBV|12,/20BVBV|FTUTFTFFETTFTFTFTFTF（），；,（）、，；,，。矩形但不连续2三角形连续下降不连续得较快OO31COS,/20|TFTFTFTFTF（）、，；,，3升余弦BV不连续BV下降得更快O220|BZ|1|TFNFEFFEFTF（），,，下降速度逼近高斯4高斯当48相关函数与谱分析（信号与系统第二版（郑君里）66，67，68）相关系数（亦称相似系数）中两元素的三种相对关系垂直；平行；0）0T0（495）若2DTTRXTT（496）则称为功率有限信号，简称功率信号。XT定义（相关函数）对功率有限信号，定义其相关函数为1LIMXTR21LIDTXTT（497）定义（功率谱（密度）2LILIMTXTTXTTXFFP，考察为信号的功率谱密度函数，简称功率谱。XT（498）式（498）的傅立叶变换关系称为维纳欣钦关系。定义（功率）2210LIMDLI1DDTXTXPRXTTTXFFP（499）注功率有限信号的性质与能量有限信号的性质相似，只是物理含义不同。线性定常系统的输入输出相关分析图438YTHXTYRTYTXHXHTTTTHXR（4100）2YHXXSSHJS（4101）式（4101）即适于能量信号，也适于功率信号。49匹配滤波器（信号与系统第二版（郑君里）69）问题的提出滤波在信号加噪声（白噪声干扰）中分离出信号。匹配滤波以发现信号为目的。维纳滤波、卡尔曼滤波以还原信号为目的。见附录。白噪声的相关函数为INT21LIMDTIIRNTTN（4102）为常数INRF（4103）图439匹配滤波器图440定义020TST信号的瞬时功率|噪声的平均功率（4104）为（瞬时）峰值信噪比。其中02201LIMDTNRNTT，为在时刻的瞬时功率。00|TST20STT0T定义（匹配滤波器）在加性白噪声背景下，使瞬时信噪比最大的线性滤波器称为匹配滤波器。定理（匹配滤波器）在加性白噪声背景下，对实现匹配IST滤波器的系统冲激响应为0IHTKST0JTIHSEF（4105）其中，为观测时刻，。0KTIISTF证明02JJDNRNHF2JDF常数（傅立叶反变换）0J0TOISTSEF022J0JDTOISTHSEF02JJ,TI（CS不等式）02J2TISEJDDIHFF，220MAX1OISTSFNIIS等号发生在时，取最大值。0JJTIKEMAX10IHTHKSTF注（1）图441当时，系统非因果；00TTT当时，系统因果，指。HTUT（2）图442（3），其中，为输2MAXDISFNMAX0BENIS入信号功率谱，为输入信号功率，为输入2IFN白噪声的功率谱密度。匹配滤波与相关接收等价00IIISTHTSKT00DIIIISKSTKRT（4106）图443思考上面讨论的是常数的情况，若常INRNFIN数，而是的函数，求使瞬时信噪比最大的（广义）匹配滤波器，其频HT谱特性应该怎样设计410等效带宽，等效时宽，HEISENBERG测不准（不确定）原理（信号与系统第二版（郑君里）610）带宽（），时宽（）的定义不唯一，与，的特点和应FTFTFTF用场景有关。FTC（4107）按波形与谱结构定义SACCCCFTTFU图444。2242TCCTFT，频域归一化三角窗（右图）SACT。8TCCTFT，按信号特征参数定义21TFEUF图445，1T22T012LGLG0L3DBF等效矩形时宽与等效矩形带宽定义（等效矩形时宽）若，FT，则定义等效矩0MAXTFF0FMAXTF形时宽，DTTFC2C1定义（等效矩形带宽），则。D0FFF1FT图446证明J00|D|DTFFEFTJ0|TTFFFFF代入即得。1FT设是变号函数，是复变函数，且，FT0MAXTFTF，定义，0MAXF0DTFT，则。0DFF1FTHEISENBERG测不准原理对，2L,FT归一化瞬时功率2FT归一化能谱密度2F22FT时域几何中心2DTFT2FT频域的几何中心221F2F时间集散2221DTTFTFT频率集散2222FFF定理对，则，且L,FT2LIM0TFT12FT等号成立时，为高斯信号。证明设，令，,0,22FTFF2421DDTFTFTF（注释）2242TFTFTF（由HOLDER不等式）2421DTFTF2242TFTF24211|D4TFTF即，为使等号成立，TFFTKFT（）KTF021LNLNTA，即为高斯函数。2KTFE注释222222DDDDDFFTFTFFJFTJFFF1关于的证明，有，有一个信号不可能既带限又时限（一个信号不可能在时域和频域同时具有紧支集）若为时限，FTFTUTT是非带限的。12SAF若是带限，FTFU是非时限的。AT定理（时宽带宽积的尺度不变性）的时宽带宽积FT的时宽带宽积，。FT0证明略。THEEND附录卡尔曼滤波有用信号混迹于噪声干扰之中，看不清庐山真面目。滤波是为了拨开乌云见日出，驱散雾霭现层峦。按滤波目的，大体分两类匹配滤波使输出信噪比最大，目的在于判断信号有无，用于信号