数学毕业论文---等价无穷小量在求函数极限中的应用

等价无穷小量在求函数极限中的应用摘要主要讨论了等价无穷小量在求积商、和差及幂指结构函数极限中的应用,并通过一些具体的例题体现了无穷小量替换在求极限中的灵活性、多样性和重要性关键词等价无穷小量积商结构和差结构幂指结构极限应用1等价无穷小量在求积商结构函数的极限中的应用11等价无穷小定义及重要结论定义111若则称为时的无穷小量10LIM,XFXF0X定义112若则称与是当时的等价无穷小记作10LI1,XGFG0GXF应用等价无穷小代换,必须记住一些基本的等价无穷小量,如时,0X,等,1LNARCTRSINTASINXEXXNN121COSX定理111设函数在内有定义,且有1,HGF0UGXF0,若存在,则0LIMXFH0LIMX0LIXF证明0LIXG0LIXF0LIXFH0LIMXFH定理112设函数在内有定义,且有1,GUXGF0,若存在,则0LIMXHF0LIXH0LIXF证明0LIXG0LIXF0LIMXF0LIXHF由定理111和定理112,可以得到以下一个重要的结论,它在求积和商的极限中有很重要的作用,需加强对它的理解结论111设为时的无穷小量,若21,GX1XH00LIMXFGH存在,则01LIMXFH0LIXFG证明01LIMXFGXH01LIXFGHX0LIXF01LIMX01LIXGH0LIMXFGH从结论111容易看出,当时,结论就是上面定理111的情形当去掉分H子并略去相关条件,结论111就是定理112的情形,即两定理是结论的特殊情况,XG需要要很好的理解上面的结论12定理和结论的应用举例例121求XX4SINARCTLM0解由于故由定理112得T,X4SIN0XIARCTL0XLIM41例122利用等价无穷小量求极限3SINX解由于这个极限的分子不满足上面定理和结论的要求,需要我们对它进行转化,使之成为定理和结论需要的形式,容易看出,而COS1SINITAXXXIN故有0,X2COS1X0,3SINX030TAILIMSX2301LCOSXX说明这道题是结论111的应用,应注意的是,在利用等价无穷小量代换求极限时,要注意所求极限的形式与上面所给定理和结论是否相对应,不满足时不能随意替换,需要适当的变形,变成我们需要的形式,如刚才这个极限的分子就不与上面的结论要求相对应,需要上面的适当的变形例123求极限1SINCOSLIM320XXE解由于由结论111得IIN1220,313XEX0,320COSSI1LIXXE230COSINLIMX0COSIN2LMXX21说明这道例题与例112类似,虽然形式比较复杂,但只要严格按照上面的结论就可以迎刃而解了2等价无穷小量在求和差结构函数的极限中的应用21重要定理及其结论课本中一般强调等价无穷小代换法则只在乘除的情况下可以使用,在加减的情况下不能随意使用,那么究竟在什么样的情况下加减的形式可以使用呢现在来着重介绍一下,下面先来看和的情形定理211设为时的无穷小量,且31,FX1XG0,则0LIM1XFKG11FF证明当时,因为,知1XFF1XG,且01LIXFG0LIXK01LIMX0LI,XFK1所以01LIXFGX011LIXFGX1K当时,有已知条件知K,0LIMXGF01LI,XGF01LIMXF所以故01LIXFGX011LI,XGFX1FXGFXG定理211表明,在计算与两个无穷小量的代数和有关的极限运算时,若其为同阶无穷小且两者商的极限不为时,则可用与其等价的无穷小量分别替换,将是运算过程1更为简洁对于差结构函数的极限类似得如下定理定理212设为时的无穷小量,且21,FX1XG0则0LIM1,XFKG1FGF定理212表明,在计算与两个无穷小量的差有关的极限运算时,若其为同阶无穷小且两者商的极限不为时,则可用与其等价的无穷小量分别替换,将是运算过程更为简洁定理211和定理212解决了等价无穷小量在求和差结构函数的极限中的应用,下面对定理211和定理212推广可得到如下一些结论结论211设为时的无穷小量,且21,FX1XG0若或存在,则,LIM0KXGF0LIMXHFR0LIMXHXRFGLIXGFXLI11XX或0LIMXHRFXG01LIMXHRFXG证明由所给条件知,11F再由结论111可直接得0LIMXHFXGR01LIMXHFXGR结论212设,为时的无41FF1,11XR0穷小量,且为常数,若,LI0KXBGAX,LI0SXDRCHX,ABCDKS存在,则0LIMXFCHDR0LIMXAFBGC011LIMXFGXHR证明由知0LIXAFBG1LI10FX0LIXAFBG01LI0,XAFBG从而即同理01LIM,XAFBG1XBGAFXF1XDRCHXRC所以0LIMXAFBGXCHDR01LIMXAFBGXCHDRR0111LIMXAFBGXCHDRR011LIMXAFBGXCHDR结论212的得到增强了定理的应用范围,使其应用更加广泛,进一步体现了等价无穷小代换的广泛性与灵活性,暗示我们对于一些复杂的极限可以通过等价无穷小代换使之简洁而有效22定理和结论的应用举例例221求极限XX5TAN2SI3RCSI1LM0解由于当时,并且LXI0RCS3LIN1XXLIM031故当时,0XARI1LN又由于当时,并且SI2,XX5TXX2SIN5TAL0LI0251故当时,X5TA由结论212得XX5TAN2SI3RCSI1LM034LIM0X说明这道题是对定理和结论的直接应用,对于既有积商,又有和差的极限,首先判断其是否符合和差形式的条件,然后在应用上面推广的结论,这样做显然比直接利用洛必达简单些,在求极限中,往往我们先利用等价无穷小代换,再利用洛比达会起到事半功倍的效果例222求极限为常数0ARCTNLIMSILXKEXKL解因为当时,X,SIN,ARCTN,LXKLLXLKX所以由结论211有SINIARCTLM0KXLXELKLXLKIM0例223求极限2230TA1LNIX解当时,并且2331SIN1SIN,2XXESI1LIM302EXLIM20X故当时,0X3SIN2EX1SIN32EX223XX又当时,并且,TA,1L20L1IMTN3X20LI13X故当时,0X222TA1LN所以由结论212有2230TANLSI1IXEX31LI20说明例223跟例221一样,只要严格遵守上面推广的结论就可以很快得到结果,其解法既快捷又简便,很好的体现了利用等价无穷小代换求极限的优越性总之,有上述的几个例子可以发现,对于某些函数极限的计算利用等价无穷小替换比洛比达法则简单易行,可起到事半功倍的效果,必要的时候两种方法可以同时进行3等价无穷小量在求幂指结构未定式、函数的极限中的应用01031重要定理及其结论本节主要介绍等价无穷小量了幂指结构函数极限中的应用,在幂指结构函数极限中利用等价无穷小代换可以适当的把繁琐的式子进行化简,从而有利于我们更快更好的解决这一类极限,下面我们先从引理入手引理311设和在有定义,为时的无穷小量,5XFG0XU1XFF0且则有10,FXFLN1LXFF0证明由条件知,且01LIM,NXF01LINXF01LNIXF01LIXF0LLIXFFX01LNIMXF所以LNL1XFF0引理312设和在有定义,为时的无穷小G0XU1XFF0量,且则1,FXFLN1LNF证明因为,又因为,LNXF1XF1XFF所以L1XF下面介绍未定式、的基本定理及其结论00定理311设,为时的无穷小量,且61XFF1XG00,FX则型10,FX10LIMGXX0LI0证明由的连续性及引理311得E10LIGXXF10LNLIGXFE10LIMNXGFELN1I0XFGX0LIMGXF结论311设为时的无穷小量,且则00IX,10LIMGXXF0LIGXF结论312设为时的无穷小量,且1F0X0LI,XG0,FX则1,F01LIGXXF0LIMG结论313设,为时的无21F1X,11XRXH0穷小量,若它们满足如下条件1）,1LIM0XGF1LI0XRH2）0,1GFF则0LIHXRX10LIHXRXF证明由得,1LIM0GFXLI0RX111,FFGXHRXHRX再由定理311可得0LIHXRXF101LIMHXRXFG定理312设,为时的无穷小量,且1F1G1,F则型1,FX10LIMGXXF01LIGXF证明由的连续性及引理312得E10LIXGXFLN1IM0FXGXELN1IM0FXGXE10LIGXF根据定理312,下面得到更一般的情况结论314设,为时的无穷小量,且,31XFF1XG00LIM1XH,则0LIM1XFH10LIMXXHF01LIMGXHF定理313设,为时的无穷小量,且,51FF1G00XF则型,01XF0LIGXXF10LIXF0证明由的连续性及引理311得E01LIMGXXF01LNLIGXFE01LNIMGXFXE10LNLIGXFE10LIMGXXF结论315设,为时的无穷小量,1FF11H且则0,FX,1F,1LIM0KXHG0LIMGXHXF10LIGXHXF注释311很容易看出,上面的部分定理是结论的特殊情况,三种未定式的情况互有关联,因此要想很好的应用定理和结论,需要对三种未定式灵活应用,提倡相互联系解题,反对将它们割裂注释312这些结论将定理进行了适当的推广,不但有指数的形式,而且融合和差的形式,一方面使其应用更加广泛,另一方面突出体现了等价无穷小代换在求极限的灵活性和多样性的特点32定理和结论的应用举例例321求极限XX10ARCTNLIM解因为,所以01LIX02LI1XX10又因为,故由定理311及结论313可得XARCTNXX10ARCTNLIM1LIM0X说明这是一个型的极限,是对定理及结论的应用,首先判断它是否符合定理或结0论的条件,然后再利用定理或结论例322求极限2ARCSIN0LIARCTNIXX解由于当时,且X2T,所以满足结论313的条件,0ARCTNLIM1SX01LIM2ARCSINXX故由结论313得2ARCSIN0LIARCTIXX20LXX30LIMX30LI2X30LIM1X说明这也是一个型的极限,与例221类似,加深对结论313的理解0例323求极限（是常数）1SIN0LIMTAXX,解在的内,无论如何可以有,又当时,有U0TA0X,则由定理312得XXSIN,TA1SIN0LIMTAXX10LMXE说明这是一个型的极限,是对定理312的简单应用,同样需要判断是否符合条1件即可例324求极限1LN0LITAXX解由于和是时的无穷小量,且时,满足定理313TANL0XTANX的条件,所以有1LN0LIMTAXX1LN0IXE说明这是一个型的极限,是对定理313及结论的简单应用0参考文献1华东师范大学数学系数学分析上冊M第三版