2015中考分类汇编三角形的证明中等难度(含答案解析)版

三角形的证明中等难度教师版一选择题（共14小题）1（2014丹东）如图，在ABC中，ABAC，A40，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则CBE的度数为（）A70B80C40D302（2014遂宁）如图，AD是ABC中BAC的角平分线，DEAB于点E，SABC7，DE2，AB4，则AC长是（）A3B4C6D53（2015丹东模拟）如图，OP平分MON，PAON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA3，则PQ的最小值为（）AB2C3D24（2014宁波）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC1，CE3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A25BCD25（2015遂宁）如图，在ABC中，AC4CM，线段AB的垂直平分线交AC于点N，BCN的周长是7CM，则BC的长为（）A1CMB2CMC3CMD4CM6（2014威海）如图，在ABC中，ABC50，ACB60，点E在BC的延长线上，ABC的平分线BD与ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（）ABAC70BDOC90CBDC35DDAC557（2014汕头）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A17B15C13D13或178（2015淄博模拟）如图，在ABC中，ABAC，A36，BD、CE分别是ABC、BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A5个B4个C3个D2个9（2014南充）如图，在ABC中，ABAC，且D为BC上一点，CDAD，ABBD，则B的度数为（）A30B36C40D4510（2015德州）如图，AD是ABC的角平分线，DE，DF分别是ABD和ACD的高，得到下列四个结论OAOD；ADEF；当A90时，四边形AEDF是正方形；AEDFAFDE其中正确的是（）ABCD11（2015蓬安县校级自主招生）已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3则直角三角形的面积为（）A5B6C7D812（2014苏州）如图，在ABC中，点D在BC上，ABADDC，B80，则C的度数为（）A30B40C45D6013（2014台湾）如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为ABC的角平分线，L与M相交于P点若A60，ACP24，则ABP的度数为何（）A24B30C32D3614（2014安顺）已知等腰三角形的两边长分別为A、B，且A、B满足（2A3B13）20，则此等腰三角形的周长为（）A7或8B6或1OC6或7D7或10二填空题（共6小题）15（2014长春）如图，在ABC中，C90，AB10，AD是ABC的一条角平分线若CD3，则ABD的面积为16（2014呼和浩特）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36，则该等腰三角形的底角的度数为17（2014天津）如图，在RTABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BDBC，AEAC，则DCE的大小为（度）18（2014钦州）如图，ABC中，A40，AB的垂直平分线MN交AC于点D，DBC30，若ABM，BCN，则DBC的周长为19（2015广西）如图，在ABC中，CD平分ACB交AB于点D，DEAC交于点E，DFBC于点F，且BC4，DE2，则BCD的面积是20（2015西宁）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20，则顶角的度数是三解答题（共6小题）21（2015深圳一模）已知如图，在ABC中，ADBC，垂足为点D，BEAC，垂足为点E，M为AB边的中点，连接ME、MD、ED（1）求证MED为等腰三角形；（2）求证EMD2DAC22（2014锦州）如图，在ABC中，点D在AB上，且CDCB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M，连接AM（1）求证EFAC（2）若BAC45，求线段AM、DM、BC之间的数量关系23（2015北京）如图，在ABC中，ABAC，AD是BC边上的中线，BEAC于点E求证CBEBAD24（2015春张家港市期末）如图，在ABC中，ABAC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E（1）求证ABD是等腰三角形；（2）若A40，求DBC的度数；（3）若AE6，CBD的周长为20，求ABC的周长25（2015宿迁）如图，已知ABACAD，且ADBC，求证C2D26（2015春启东市校级月考）如图，已知BD为ABC的平分线，ABBC，点P在BD上，PMAD于M，PNCD于N，求证PMPN三角形的证明中等难度教师版参考答案与试题解析一选择题（共14小题）1（2014丹东）如图，在ABC中，ABAC，A40，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则CBE的度数为（）A70B80C40D30【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质菁优网版权所有【专题】几何图形问题【分析】由等腰ABC中，ABAC，A40，即可求得ABC的度数，又由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AEBE，继而求得ABE的度数，则可求得答案【解答】解等腰ABC中，ABAC，A40，ABCC70，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，AEBE，ABEA40，CBEABCABE30故选D【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用2（2014遂宁）如图，AD是ABC中BAC的角平分线，DEAB于点E，SABC7，DE2，AB4，则AC长是（）A3B4C6D5【考点】角平分线的性质菁优网版权所有【专题】几何图形问题【分析】过点D作DFAC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DEDF，再根据SABCSABDSACD列出方程求解即可【解答】解如图，过点D作DFAC于F，AD是ABC中BAC的角平分线，DEAB，DEDF，由图可知，SABCSABDSACD，42AC27，解得AC3故选A【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键3（2015丹东模拟）如图，OP平分MON，PAON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA3，则PQ的最小值为（）AB2C3D2【考点】角平分线的性质；垂线段最短菁优网版权所有【分析】首先过点P作PBOM于B，由OP平分MON，PAON，PA3，根据角平分线的性质，即可求得PB的值，又由垂线段最短，可求得PQ的最小值【解答】解过点P作PBOM于B，OP平分MON，PAON，PA3，PBPA3，PQ的最小值为3故选C【点评】此题考查了角平分线的性质与垂线段最短的知识此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用4（2014宁波）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC1，CE3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A25BCD2【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理；勾股定理的逆定理菁优网版权所有【专题】几何图形问题【分析】连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，ACDGCF45，再求出ACF90，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可【解答】解如图，连接AC、CF，正方形ABCD和正方形CEFG中，BC1，CE3，AC，CF3，ACDGCF45，ACF90，由勾股定理得，AF2，H是AF的中点，CHAF2故选B【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键5（2015遂宁）如图，在ABC中，AC4CM，线段AB的垂直平分线交AC于点N，BCN的周长是7CM，则BC的长为（）A1CMB2CMC3CMD4CM【考点】线段垂直平分线的性质菁优网版权所有【分析】首先根据MN是线段AB的垂直平分线，可得ANBN，然后根据BCN的周长是7CM，以及ANNCAC，求出BC的长为多少即可【解答】解MN是线段AB的垂直平分线，ANBN，BCN的周长是7CM，BNNCBC7（CM），ANNCBC7（CM），ANNCAC，ACBC7（CM），又AC4CM，BC743（CM）故选C【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确垂直平分线垂直且平分其所在线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等6（2014威海）如图，在ABC中，ABC50，ACB60，点E在BC的延长线上，ABC的平分线BD与ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（）ABAC70BDOC90CBDC35DDAC55【考点】角平分线的性质；三角形内角和定理菁优网版权所有【专题】计算题【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出BAC70，再根据角平分线的定义求出ABO，然后利用三角形的内角和定理求出AOB再根据对顶角相等可得DOCAOB，根据邻补角的定义和角平分线的定义求出DCO，再利用三角形的内角和定理列式计算即可BDC，判断出AD为三角形的外角平分线，然后列式计算即可求出DAC【解答】解ABC50，ACB60，BAC180ABCACB180506070，故A选项正确，BD平分ABC，ABOABC5025，在ABO中，AOB180BACABO180702585，DOCAOB85，故B选项错误；CD平分ACE，ACD（18060）60，BDC180856035，故C选项正确；BD、CD分别是ABC和ACE的平分线，AD是ABC的外角平分线，DAC（18070）55，故D选项正确故选B【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题的关键7（2014汕头）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A17B15C13D13或17【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系菁优网版权所有【专题】分类讨论【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分（1）当等腰三角形的腰为3；（2）当等腰三角形的腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长【解答】解当等腰三角形的腰为3，底为7时，337不能构成三角形；当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为37717故这个等腰三角形的周长是17故选A【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论8（2015淄博模拟）如图，在ABC中，ABAC，A36，BD、CE分别是ABC、BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A5个B4个C3个D2个【考点】等腰三角形的判定；三角形内角和定理菁优网版权所有【专题】证明题【分析】根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行分析，即可得出答案【解答】解共有5个（1）ABACABC是等腰三角形；（2）BD、CE分别是ABC、BCD的角平分线EBCABC，ECBBCD，ABC是等腰三角形，EBCECB，BCE是等腰三角形；（3）A36，ABAC，ABCACB（18036）72，又BD是ABC的角平分线，ABDABC36A，ABD是等腰三角形；同理可证CDE和BCD是等腰三角形故选A【点评】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题9（2014南充）如图，在ABC中，ABAC，且D为BC上一点，CDAD，ABBD，则B的度数为（）A30B36C40D45【考点】等腰三角形的性质菁优网版权所有【分析】求出BAD2CAD2B2C的关系，利用三角形的内角和是180，求B，【解答】解ABAC，BC，ABBD，BADBDA，CDAD，CCAD，BADCADBC180，5B180，B36故选B【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是运用等腰三角形的性质得出BAD2CAD2B2C关系10（2015德州）如图，AD是ABC的角平分线，DE，DF分别是ABD和ACD的高，得到下列四个结论OAOD；ADEF；当A90时，四边形AEDF是正方形；AEDFAFDE其中正确的是（）ABCD【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】如果OAOD，则四边形AEDF是矩形，A90，不符合题意，所以不正确首先根据全等三角形的判定方法，判断出AEDAFD，AEAF，DEDF；然后根据全等三角形的判定方法，判断出AE0AFO，即可判断出ADEF首先判断出当A90时，四边形AEDF的四个角都是直角，四边形AEDF是矩形，然后根据DEDF，判断出四边形AEDF是正方形即可根据AEDAFD，判断出AEAF，DEDF，即可判断出AEDFAFDE成立，据此解答即可【解答】解如果OAOD，则四边形AEDF是矩形，A90，不符合题意，不正确；AD是ABC的角平分线，EADFAD，在AED和AFD中，AEDAFD（AAS），AEAF，DEDF，AEDFAFDE，正确；在AEO和AFO中，AE0AF0（SAS），EOFO，又AEAF，AO是EF的中垂线，ADEF，正确；当A90时，四边形AEDF的四个角都是直角，四边形AEDF是矩形，又DEDF，四边形AEDF是正方形，正确综上，可得正确的是故选D【点评】（1）此题主要考查了三角形的角平分线的性质和应用，以及直角三角形的性质和应用，要熟练掌握（2）此题还考查了全等三角形的判定和应用，要熟练掌握（3）此题还考查了矩形、正方形的性质和应用，要熟练掌握11（2015蓬安县校级自主招生）已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3则直角三角形的面积为（）A5B6C7D8【考点】直角三角形斜边上的中线；三角形的面积；勾股定理菁优网版权所有【专题】计算题【分析】由ACB90，CD是斜边上的中线，求出AB6，根据ABACBC14，求出ACBC，根据勾股定理得出AC2BC2AB236推出ACBC14，根据SACBC即可求出答案【解答】解ACB90，CD是斜边上的中线，AB2CD6，ABACBC14，ACBC8，由勾股定理得AC2BC2AB236，（ACBC）22ACBC36，ACBC14，SACBC7故选C【点评】本题主要考查对直角三角形斜边上的中线，勾股定理，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能根据性质求出ACBC的值是解此题的关键12（2014苏州）如图，在ABC中，点D在BC上，ABADDC，B80，则C的度数为（）A30B40C45D60【考点】等腰三角形的性质菁优网版权所有【分析】先根据等腰三角形的性质求出ADB的度数，再由平角的定义得出ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论【解答】解ABD中，ABAD，B80，BADB80，ADC180ADB100，ADCD，C40故选B【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键13（2014台湾）如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为ABC的角平分线，L与M相交于P点若A60，ACP24，则ABP的度数为何（）A24B30C32D36【考点】线段垂直平分线的性质菁优网版权所有【分析】根据角平分线的定义可得ABPCBP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BPCP，再根据等边对等角可得CBPBCP，然后利用三角形的内角和等于180列出方程求解即可【解答】解直线M为ABC的角平分线，ABPCBP直线L为BC的中垂线，BPCP，CBPBCP，ABPCBPBCP，在ABC中，3ABPAACP180，即3ABP6024180，解得ABP32故选C【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记各性质并列出关于ABP的方程是解题的关键14（2014安顺）已知等腰三角形的两边长分別为A、B，且A、B满足（2A3B13）20，则此等腰三角形的周长为（）A7或8B6或1OC6或7D7或10【考点】等腰三角形的性质；非负数的性质偶次方；非负数的性质算术平方根；解二元一次方程组；三角形三边关系菁优网版权所有【分析】先根据非负数的性质求出A，B的值，再分两种情况确定第三边的长，从而得出三角形的周长【解答】解（2A3B13）20，解得，当A为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；当B为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7；综上所述此等腰三角形的周长为7或8故选A【点评】本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质以及解二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握二填空题（共6小题）15（2014长春）如图，在ABC中，C90，AB10，AD是ABC的一条角平分线若CD3，则ABD的面积为15【考点】角平分线的性质菁优网版权所有【专题】几何图形问题【分析】要求ABD的面积，现有AB10可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作DEAB于E根据角平分线的性质求得DE的长，即可求解【解答】解作DEAB于EAD平分BAC，DEAB，DCAC，DECD3ABD的面积为31015故答案是15【点评】此题主要考查角平分线的性质；熟练运用角平分线的性质定理，是很重要的，作出并求出三角形AB边上的高时解答本题的关键16（2014呼和浩特）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36，则该等腰三角形的底角的度数为63或27【考点】等腰三角形的性质菁优网版权所有【专题】分类讨论【分析】分锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出它的底角的度数【解答】解在三角形ABC中，设ABAC，BDAC于D若是锐角三角形，A903654，底角（18054）263；若三角形是钝角三角形，BAC3690126，此时底角（180126）227所以等腰三角形底角的度数是63或27故答案为63或27【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和应用，此题的关键是熟练掌握三角形内角和定理17（2014天津）如图，在RTABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BDBC，AEAC，则DCE的大小为45（度）【考点】等腰三角形的性质菁优网版权所有【专题】几何图形问题【分析】设DCEX，ACDY，则ACEXY，BCE90ACE90XY，根据等边对等角得出ACEAECXY，BDCBCDBCEDCE90Y然后在DCE中，利用三角形内角和定理列出方程X（90Y）（XY）180，解方程即可求出DCE的大小【解答】解设DCEX，ACDY，则ACEXY，BCE90ACE90XYAEAC，ACEAECXY，BDBC，BDCBCDBCEDCE90XYX90Y在DCE中，DCECDEDEC180，X（90Y）（XY）180，解得X45，DCE45故答案为45【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，设出适当的未知数列出方程是解题的关键18（2014钦州）如图，ABC中，A40，AB的垂直平分线MN交AC于点D，DBC30，若ABM，BCN，则DBC的周长为MN【考点】线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质菁优网版权所有【分析】根据线段垂直平分线性质得出ADBD，推出AABD40，求出ABCC，推出ACABM，求出DBC的周长是DBBCCDBCADDCACBC，代入求出即可【解答】解AB的垂直平分线MN交AC于点D，A40，ADBD，AABD40，DBC30，ABC403070，ABCC，ACABM，DBC的周长是DBBCCDBCADDCACBCMN，故答案为MN【点评】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，注意线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等19（2015广西）如图，在ABC中，CD平分ACB交AB于点D，DEAC交于点E，DFBC于点F，且BC4，DE2，则BCD的面积是4【考点】角平分线的性质菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】首先根据CD平分ACB交AB于点D，可得DCEDCF；再根据DEAC，DFBC，可得DECDFC90，然后根据全等三角形的判定方法，判断出CEDCFD，即可判断出DFDE；最后根据三角形的面积底高2，求出BCD的面积是多少即可【解答】解CD平分ACB交AB于点D，DCEDCF，DEAC，DFBC，DECDFC90，在DEC和DFC中，（AAS）DECDFC，DFDE2，SBCDBCDF24224答BCD的面积是4故答案为4【点评】（1）此题主要考查了角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确角的平分线上的点到角的两边的距离相等（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及三角形的面积的求法，要熟练掌握20（2015西宁）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20，则顶角的度数是110或70【考点】等腰三角形的性质菁优网版权所有【分析】本题要分情况讨论当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况【解答】解此题要分情况讨论当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是9020110；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是902070故答案为110或70【点评】考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况其中考查了直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三解答题（共6小题）21（2015深圳一模）已知如图，在ABC中，ADBC，垂足为点D，BEAC，垂足为点E，M为AB边的中点，连接ME、MD、ED（1）求证MED为等腰三角形；（2）求证EMD2DAC【考点】等腰三角形的判定；三角形中位线定理菁优网版权所有【专题】证明题【分析】（1）由于ADBC，BEAC，所以ADB和ABE是直角三角形，又因为M为AB边的中点，所以MEMDAB，所以MED为等腰三角形；（2）利用三角形的外角等于和它不相邻两个内角的和这样推论，可知BME2MAE，BMD2MAD，作差即可证得结论【解答】证明（1）M为AB边的中点，ADBC，BEAC，MEAB，MDAB，MEMD，MED为等腰三角形；（2）MEABMA，MAEMEA，BME2MAE，同理，MDABMA，MADMDA，BMD2MAD，EMDBMEBMD2MAE2MAD2DAC【点评】本题反复运用了“等边对等角”这一判定定理，将已知的等边转化为有关角的关系，并联系三角形的内角和及三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质来证得结论22（2014锦州）如图，在ABC中，点D在AB上，且CDCB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M，连接AM（1）求证EFAC（2）若BAC45，求线段AM、DM、BC之间的数量关系【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形菁优网版权所有【专题】几何综合题【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得CEBD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EFAC；（2）判断出AEC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得EF垂直平分AC，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AMCM，然后求出CDAMDM，再等量代换即可得解【解答】（1）证明CDCB，点E为BD的中点，CEBD，点F为AC的中点，EFAC；（2）解BAC45，CEBD，AEC是等腰直角三角形，点F为AC的中点，EF垂直平分AC，AMCM，CDCMDMAMDM，CDCB，BCAMDM【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质等腰直角三角形的判定与性质，难点在于（2）判断出EF垂直平分AC23（2015北京）如图，在ABC中，ABAC，AD是BC边上的中线，BEAC于点E求证CBEBAD【考点】等腰三角形的性质菁优网版权所有【专题】证明题【分析】根据三角形三线合一的性质可得CADBAD，根据同角的余角相等可得CBECAD，再根据等量关系得到CBEBAD【解答】证明ABAC，AD是BC边上的中线，BEAC，CBECCADC90，CADBAD，CBEBAD【点评】考查了余角的性质，等腰三角形的性质等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合24（2015春张家港市期末）如图，在ABC中，ABAC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E（1）求证ABD是等腰三角形；（2）若A40，求DBC的度数；（3）若AE6，CBD的周长为20，求ABC的周长【考点】