毕业论文---求一元函数极限的若干方法

绪论极限研究的是函数的变化趋势,在自变量的某个变化过程中,对应的函数值能无限接近某个确定的数，那这个数就是函数的极限函数的极限概念在高等数学中是一个很重要的概念极限概念是微分概念的基础,因此加深理解函数极限的概念是十分必要的在近代数学许多分支中,一些重要的概念与理论都是极限和连续函数概念的推广、延拓和深化只有深刻地理解极限概念并熟练掌握求极限的方法,才能真正地学好微积分极限是初等数学和高等数学接壤部分,极限概念是高等数学最基本的概念导数,微分,积分都是建立在极限概念的基础上的,高等数学就是以极限方法为主要工具来研究变量与变量之间关系的科学在有了极限的定义之后，为了判断具体某一函数是否有极限，人们必须不断地对极限存在的充分条件和必要条件进行探讨在经过了许多数学家的不断努力之后，法国数学家柯西获得了完善的结果，即柯西收敛原理到了近代，在数学家们的努力下给了极限一个专业的定义有了极限的定义自然就有了许多求极限的方法求函数极限的方法有很多，其中有利用定义求函数极限、利用夹逼定理求函数极限、利用函数的连续性求极限、利用极限的四则运算、利用变量替换、利用等价无穷小替换、利用定积分、利用导数定义、利用泰勒公式、利用罗必达法则求极限等一些方法，对不是同一类型的函数求极限的方法不一样，有的可以用同一种方法求解，有的不可以，因此研究函数求极限的方法显得尤为重要第一章函数极限的概念11函数极限的概念111时函数的极限X设函数定义在上，类似于数列情形，我们研究当自变量趋于F,AX时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数例如，对于函数，AF1从图象上可见，当无限增大时，函数值无限地接近于；而对于函数X0，则当趋于时函数值无限地接近于我们称这两个函数当GARCTNX2趋于时有极限一般地，当趋于时函数极限的精确定义如下X定义1设为定义在上的函数，为定数若对任何给的F,AA使得当时有0,MA存在正数，X,F则称函数当趋于时以A为极限，记作FX或LIMXFFXA定义2设为定义在上的函数，为定数若对任何给的,A使得当时有0,MA存在正数，XM，FA则称函数当趋于时以A为极限，记作FX或LIMXFFX定义3设函数当时有定义，如果存在常数,F为某一正数）MA时，有当XX,0,AXF则称常数为函数当时的极限，记作AXFLIMXFAFX或当若为定义在上的函数，则FULILILIMXXXFFFA定理1LIMLILIMXXXFAFFA112时函数的极限0设为定义在的某个空心邻域内的函数现在讨论当趋于FX0UXX时，对应的函数值能否趋于某个定数这类函数极限的精确定义如0XA下定义4（函数极限的定义）设函数在点的某个空心邻域F0X内有定义，为定数若对任给的，存在正数，使得当0XUA0时有，FX则称函数当趋于时以为极限，记作FX0A或0LIMX0FXX注1是可以任意给的，在确定的过程中又看成是个定数；2与有关，但与无关，并且不唯一；X3极限是否存在，与在点是否有定义以及的值0LIXFFX00FX为多少无关；4的前提在某内有定义0LIMXFAF0U定义5设函数在内有定义，为定数若对任F0XX或A给的，存在正数，使得当时有0000XX或，FXA则称为函数当时的右（左）极限，记作AF0趋于或00LIMLIXXFF0FXX0FAX右极限与左极限统称为单侧极限在点的右极限与左极限又分别记为F00000LILIMXXFFF与极限存在的充要条件000LILIXXXAFFA关于函数极限与相应的左、右极限之间的关系，有下述定理0F定理2000LILILIXXXFF第二章函数极限的求解方法21利用函数极限的定义求极限例1证明23LIM1X分析利用函数极限的定义来证明,首先要任取；其次是写出不等式0；再次是解不等式能否得出去心邻域，若能；最后是FXAX则对任给的，总能找出，当时，成立，因此00XFA有0LIMXF证由22341XX2X对任给，取，则当时，就有00231X由函数极限的定义得23LIM1X例2证明1LIM0X分析根据前面所学的函数极限的定义证明，要证明这道题就要找出的值M证任给0,取,则当时有M1X所以10,X1LIM0X例3证明1）；2）LIARCTNXLIARCTN2X分析要验证这道题不仅要找到的值，还要利用函数的左、右极限的定义证任给0,由于ARCTN2XARCTN22X而此不等式的左半部分对任何都成立，所以只要考察其右半部分的变化范X围为此，先限制则有,TANTAN2X故对任给的正数，只须，则当时便有1）式成立这TMXM就证明了1）类似地可证2）注（为定义在上的函数）LIMLILIMXXXFAFFAFU所以当时不存在极限ARCTN例4证明217LI169X分析为了证明，关键问题在于证明能任意小为此，0LIMXFAFXA一般来说应尽可能将的表达式简化值得注意的是，有时不能简化，F反倒是可以把变复杂，写成与相类似的形式AFX证因27169X2271769169XX143先设，即，则1X02X1643X1634X进一步设，即，于是18X8X1643X321X故，取，则时有0MIN,2827169X这就证明了21LIX例5讨论函数在定义区间端点1处的单侧极限X分析这道题它要求的是函数在定义区间端点1处的单侧极限，2X所以要用单侧极限的定义进行求解解由于，故有任给，当1X2112X0时，就是21（11）21X于是取，则当，即时，（11）式成立这就推出201X类似地可得21LIMX21LIM0X小结利用极限定义求函数极限是熟悉和掌握求极限方法的基础22利用函数极限的性质求极限定理3（1）若在处连续，则FX000LIMXFFX（2）若是复合函数，又且在处连0AUA续，则00LIMLIXXFFFA例61）求的极限；2）求的极限0LN1IX20COS5LIM1LNXXE分析利用函数极限的性质及定理3，并且要看清该函数是否连续，最后在进行计算解1）由，令，则，且1LN1LXX1X0LIMXE在处连续，所以由定理3（2）知LNYUE0LN1IMX10LINXX10LILNXXE2）由于属于初等函数的定义域内故由函2COS51LNEF数的连续性定义有20COS5LI061LNXXEF23利用函数极限的四则运算求极限定理4（四则运算法则）若极限都存在，则函数00LIMLIXXFG与当时极限也存在，且,FG0X1）；000LIMLILIXXXFGFG2）；000又若，则时极限存在，且有0LIX/F当3）000LIMLI/LIMXXXFFGG4）为常数）00LILIXXCFFC上述的性质对于时也同样成立0,X例7求235LIM4X解2LIX2例8求31LIM1XX分析先把进行分母有理化，再用函数极限的四则运算法则进行3计算解当时有10X332111XXX故所求的极限等于2211LIMX例9求（1）；（2）20LIX21LIX分析利用函数极限的四则运算法则，把所求函数的极限化为一些已知的简单函数的极限来计算像（2）中的类型就是时，分子、分母的极限都是零,先约去不为零的无穷小因子后再求极限型01X解（1）201LIMX0（2）21LIX112LI23XX注使用极限的四则运算法则的前提是各部分极限都存在24利用迫敛性定理求极限定理5设且在某内有00LIMLI,XXFGA0UXFHXG则有0LIXHA例10求COSLIXX分析应用迫敛性的定理进行计算解因为，所以当1COSX0X时COS1X而，由迫敛性定理得1LIMLI1XX1COSLIMXX例11求（1）；（2）01LIX2SINL4X分析要求出这道题，必须应用到前面所学的知识点，即关于函数有如下的不等式（1）当时，；2）当时，YX0X1X0X所以应用这个可以进行计算解用分析中的不等式得，当时,有，而，0X1X0LIM1X故由迫敛性得01LIMX另一方面，当时有故由迫敛性又得X01LIX综上，我们求得10LIMX（2）因为当时，2222SIN44XX而，。故有迫敛性定理得221LIMLI04XX2LIM0X02SINLM4X小结利用函数极限的迫敛性与四则运算，我们可以从一些简单的函数极限出发，计算较复杂的函数极限25利用两个重要极限求极限（1）（2）0SINLM1X1LIMXXE我们经常使用的是它们的变形（）（）1SINL1,0XX21LI,XE（1）的特点（）分子、分母的极限值为0；（）分子是分母的正弦函数002（2）的特点（）幂指函数的底趋于1，指数趋于无穷时，其极限值是；E（）底是常数1与一个无穷小量之和，指数是底中无穷小量的02倒数例12求下列函数极限12340SIN2LMX0TANLIX1LIMSNX10LIXX为给定实数）分析利用重要极限及它的特点和函数极限的运算法则S解1）0SILX0I2L1X2）TANISICO3）令，于是当时，,从而1YXX0Y1LIMSNX0SIL1Y4）1100LIMLIXXXE例13求下列函数极限XA1LI0、BXAXCOSLNI20、分析首先要看题目的类型，看看是否符合两个重要的极限及特点1LNLN1,1UAXAUXUAX于是则）令解（AUUAAUXAULN1LIM1LNI1LNIMLI0000故有时，又当COSLI20BXX、原式1CS1COSLNIM0AXBXAXLI0X20SNLIMXABX2202SINLIMSXABXA2BA26利用无穷小量的性质求极限261利用无穷小量与有界变量之乘积仍为无穷小量求极限与无穷小数列的概念相类似，我们给出关于函数为无穷小量的定义定义6设在某内有定义，若F0UX，0LIMXF则称为当时的无穷小量F0X若函数在某内有界，则称为当时的有界量GUG0X由无穷小量的定义可立刻推得如下性质1两个相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量2无穷小量与有界量的乘积为无穷小量定理6设函数、满足FXG（1）（2）则0LIMXM为正整数0LIM0XFX例14求01LISNX解由，而，故0LIMXIX01LIMSNX262利用无穷小量与无穷大量的关系求极限定义7设函数在某内有定义若对任给的，存在，使F0UX0G0得当时有00XU，（12）FX则称函数当时有非正常极限，记作F0X0LIMXF若（12）式换成“”或“”，则分别称当时有非FGXGF0X正常极限或，记作或0LIXF0LIMXF定义8对于自变量的某种趋向（或时），所有以，或为N非正常极限的函数（包括数列），都称为无穷大量定理7（I）若，则LIMXF01LIMXFII若且则0LIFF1LIXF例15求下列极限1151LIMX1LIMX解1由,故052由,故01LIXLI1X注无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数；若为F时的无穷大量，则易见为上的无界函数但无界函数却不一定0XF0U是无穷大量263利用等价无穷小替换求极限定理8设函数内有定义，且有0,FGHUX在FGX01）若；00LIM,LIMXXFAHA则2）若00LI,LIXXHBBFG则注设都是同一极限过程中的无穷小量，且有,，存在，,LIM则也存在，且有LIMLILI例16求0ARCTNLIS4X解由于，故有定理8得ARCTN0XSIN40X0RTALIMSX01LX例17求极限20INCO1LX分析本题切忌将和用等价替换S2IX解,SIN2XCO1220SINLMXX0LI21X注1、在利用等价无穷小量替换求极限时，应注意只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替换，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替换2、常用的等价无穷小量当时，有，0XXSINTAX21COSXLNX，ARCSIN1LARNEA027用左右极限与极限关系求极限适用于分段函数求分段点处的极限,以及用定义求极限等情形定理9函数极限存在且等于的充分必要条件是左极限LIM0XFA及右极限都存在且都等于即有LIM0XFXLI0FXAA0LI0XFXLI0F例18设求及XF1,22EXLIM0FXLI1XF分析此题一看就知道是分段函数，要分多步来计算，最后再综合起来解00LIMLI12XXXFE00LILIXXF0LIM1X由LILI00FFXX1M不存在由（又LIM01LILI01LIM12111XFFXXXXX注此方法一般适用于分段函数28利用函数的数学公式、定理求极限281利用罗比塔法则求极限（适用于不定式极限）定理10若AXGFXFFIXGXUXGGFIXXXLIMLIL00LI,0L0000），则或可为实数，也可为内可导，且的某空心邻域在与此定理是对时而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则，该定理对型或型均成立0注运用罗比塔法则求极限应注意以下几点1、要注意条件，也就是说，在没有化为时不可求导,02、应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误4、当不存在时，本方法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极LIMXGFAX限须用另外方法例19求下列函数的极限1LN2I0XEX0,LNIMXAX解令,LF21EG12,XX2X2“23“1,1GEFX由于0,0F但2,0“GF从而运用罗比塔法则两次后得到1212LIM12LIM1LNIM3021020XEXEXEXXX由，故此例属于型，由罗比塔法则有AXXLI,LI0,1LIMLINLIM1XAXAXAX282利用泰勒公式求极限对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的泰勒展开式1、2NXXOE2、1253SIN2NNXOX3、21421COS12NNXOXX4、LN1NN5、121NXOXX6、NO上述展开式中的符号都有NX0LIM0NX例20求2LI0AAX解利用泰勒公式，当有0X21O于是XAXLIM0XAX12LIM0XXOOX22LI0AXAXAXX211LIMLIM00283利用拉格朗日中值定理求极限定理11若函数满足如下条件FI在闭区间上连续F,ABII在内可导则在内至少存在一点,使得,ABABFF此式变形可为10ABFABF例21求XEXSINLIMI0分析对于这个题目，好多同学看到题目之后，发现所求极限的函数是“”型不定式，马上想到用罗比塔法则法，但是此题用拉格朗日中值定理更容0易，更简单解令对它应用拉格朗日中值定理得XEF即10SINSIINSISINXXFXFX10IISIIFE连续XF，从而有10SINSILM0FXFX1SINLIMI0XEX29利用分子或分母有理化求极限若分子或分母的极限为0，不能运用四则运算中商的极限运算法则时，采用通过分子或分母有理化，消去分母中的趋于0的因子，再运用极限的运算法则291约去零因式（此法适用于）型时,0X例22求1267LIM232XX解原式12056LI2232XXLI22XX65103LIM2XX325LIXX2LIX7292通分法（适用于型）例23求214LIM2XX解原式LI2XXLIM2X41LI2X例24求极限20LIX解20LIM1X2201LIXX220LIMXX21X2210利用定积分求极限定义9设函数在闭区间上有定义，在闭区间内任意插入FX,AB,AB个分点将分成个区间，记，1N,ABNXIIX1I23IN，作乘积，若这些乘积相加得到和式，设1,IXIFIX1NIIFIX，若极限存在唯一且该极限与区间MAIN0LIM1NIFIX的分法及分点的取法无关，则称这个唯一的极限值为函数在,BIFX上的定积分，记作A，即BAFXDBAFXD0LIM1NIFIX否则称在上不可积FX,注（1）由牛顿莱布尼兹公式知，计算定积分与原函数有关，故这里借助了不定积分的符号（2）若存在，区间进行特殊分割，分点进行特殊的BAFXD,ABI取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等，但反之不成立，这种思想在思考题中经常出现，我们要好好理解（3）定积分是否存在或者值是多少只与被积函数式和积分区间有关，与积分变量用什么字母表示无关，即BBBAAAFXDFTFUD定积分的极限有两个特性第一，定积分是无穷项和式的极限，容易知道一般项在项数趋近于无穷大时极限值必然趋近于零，否则和式极限不存在第二，定积分与某一连续函数有紧密的关系，它的一般项受到这一连续函数的约束，它是连续函数在某个区间上进行了无穷的分割，各小区间上任意的函数值与区间长度的乘积的累积例25利用定积分求极限11LIM232NJN分析此极限的求解，不容易直接用极限的定义解决，因为该法往往是用来一边计算一边证明某个极限结果已经比较明显的问题，因此这里不合适，重要极限的结论显然也在这里没有用处，因为形式上根本不同；在考虑洛必达法则，它不是无穷比无穷型的极限也非零比零型的极限，也不可能用到此法；那么泰勒公式呢泰勒公式往往是用来解决连续函数的极限问题，通过泰勒展式往往能把非多项式形式的表达式转化成多项式形式，以简化形式从而求解，看来这里也不适用再看用迫敛性，又11221NN所以迫敛性失效那是不是就没有什么合适的办法了呢答案当然是LIM1N否定的，事实上，它从形式上与定积分的定义还是有一些相像的，那么就让我们尝试用定积分的办法来解决这道题解把此极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算定积分为此作如下变形1LIMNJI不难看出，其中的和式是函数在区间上的一个积分和（这FX0,1里所取的是等分分割，），所以11,2IIIXINNN1100LLDXJ当然，也可把看作在上的定积分，同样有JFX,2231LN2DXJ211利用单调有界原理求极限定理12若数列收敛，则为有界数列，即存在正数，使得对一切NANAM正整数，有NM定理13（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限例26设，求21ANNA11,2LIMNA分析用单调有界原理求极限首先要证明是有界的单调数列解（1）先证是有界数列事实上，由NAN12NA现用数学归纳法证明如下当时，成立K12设时结论成立，即，则当时，NKKK故1122KA12,NA（2）再证严格单调递增由于，故，因NN121NNA此严格单调递增由单调有界定理知存在NALIMNXA（3）设，则对两边取极限得LIMNAN21，即解之得LI或（不合题意，舍去），故220LINA注（唯一性定理）数列收敛，极限唯一212多种方法的综合运用上述介绍了求函数极限的基本方法，然而，每一道题目并非只有一种方法。因此我们在解题中要注意各种方法的运用技巧，使得计算大为简化例27求20SINCO1LMXX分析一般我们做题时会想到的是这题该用什么方法解决，并且我们喜欢选择最简单的方法解决，现在我们来看看这道题的解法解法一20SINCO1LMXX220SINCOILIXX220SILIX220SINCOLIMXX1注此法采用罗比塔法则和重要极限解法二21SIN4LIMSIN2LCOS1LIMSINCO1L0302020XXXXXXX注此解法利用了重要极限和等价无穷小替换解法三21SIN2LIMSINCO1LIMSINCO1L4024020XXXX注此解法利用了等价无穷小替换和重要极限解法四令2XU21SINCOSLIMCOSSINLMLIN10002UUUX注此解法利用变量代换法和罗比塔法则解法五21LIMSINCOLIMSINCO1L022020TGXXXX注此解法利用了罗比塔法则和两个重要极限小结求函数极限的方法有很多，其中有利用定义求函数极限、利用夹逼定理求函数极限、利用函数的连续性求极限、利用极限的四则运算、利用变量替换、利用等价无穷小替换、利用定积分、利用导数定义、利用泰勒公式、利用罗必达法则求极限等一些方法，对不是同一类型的函数求极限的方法不一样，有的可以用同一种方法求解，有的不可以，因此研究函数求极限的方法显得尤为重要例如,利用拉格朗日中值定理求函数极限关键在于拉格朗日中值定理的合理运用函数极限不仅仅是数分中的重点难点，更是近代微积分学的基础，因此了解和熟练的掌握一个函数极限的求法对于整个高等数学来说都是十分重要的以上只是列举了大部分的函数极限的求解方法，但方法并不只限于以上几种，或许还有未知的方法等着我们去发掘参考文献1张宏达高等数学中求极限的常用方法J北京交通管理干部学院报,200432华东师范大学数学系，数学分析上册M第3版北京高等教育出版社,20013同济大学数学系，高等数学第六版M高等教育出版社,20074王艳,周文丽,张俊丽,汤木兰求极限的几种方法J西安欧亚学院学报,2005