高等数学-微积分12下21

一、二重积分（引例求平面薄片的质量）基本计算思路把二重积分化为二次积分（定积分）基本计算的两个步骤1）定限；2）定积分的计算基本计算方法1）在直角坐标下的计算方法型区域、型区域；XY2）在极坐标下的计算方法注意被积函数要乘一个。R其他知识点改变积分的次序二重积分的应用曲面的面积为，其中,ZFXY21XYDFD为在面上的投影区域。DXOY例1222,0DDYRXYR解原式02230SINCORXDRDR30201SINRRD448R例2交换下列二次积分的次序。2113200,XXDFYDFYD1320,YFXD二、三重积分（引例求空间立体的质量）基本计算思路把三重积分化为三次积分（定积分）基本计算的两个步骤1）定限；2）定积分的计算基本计算方法1）投影法；2）切片法；3）柱面坐标下计算法；4）球面坐标下计算法例3计算三重积分，式中为由所确定的圆台体。ZDV21ZXY解方法一、用截面法2423115ZZDV方法二、用球面坐标202,0,4COSCS23COS4413300INIINOSZDVDDD4220152COS88三、关于弧长的曲线积分（引例求曲线弧状物体的质量）基本计算思路把曲线积分化为定积分基本计算的两个步骤1）化积分曲线为参数方程并确定参数取值范围，注意定积分的下限总小于上限；2）定积分的计算注意选取适当的参数以简化定积分的计算。例4计算，其中为球面与平面的2XDS22XYZA0XYZ交线。解COSIN26I023COSIN26AXYAZ原式20IAD33332220002COSSINSIN6AAADD四、关于坐标的曲线积分（引例变力对沿曲线运动的物体所做的功）基本计算思路把曲线积分化为定积分基本计算的两个步骤1）化积分曲线为参数方程并确定参数取值范围，注意起点对应的参数是定积分的下限终点对应的参数是定积分上限；2）定积分的计算注意选取适当的参数以简化定积分的计算。例5计算曲线积分，其中为由点12COSYYLXEDXEDL沿抛物线到点，再沿轴到点的弧1,AY0,O2,0B段。解原式22023210COS1XXEEDX243SININ1SINXX其他知识点格林公式、积分与路径无关（四个等价条件）、势函数、两类曲线积分的联系例6求，使得曲线积分在整个,AB23226LAXYDXYBD面上与积分路径无关，并计算。XOY,43212XY解2322,6PAYQXYB23,PQAXYB所以6,3AB3,4342222112859XYDXYBDXDYD34312876五、关于面积的曲面积分（引例曲面状物体的质量）基本计算思路把曲面积分化为二重积分基本计算的两个步骤1）选择适当的投影坐标面，无妨设选择了面，确定曲面在面上的投影区域为，曲面的方程化为XOYXOYXYD，,ZF,XYDFXYZDSFFXYD2）二重积分的计算例7，其中为立体的边界曲面。DSYX212ZYX解原式1222DS其中，在面上的投影都为2,YXZZXO圆盘2YX上式211032103DRDR六、关于坐标的曲面积分（引例不可压缩流体流过某曲面单位时间的流量）基本计算思路把曲面积分化为二重积分基本计算的两个步骤1）把曲面向指定坐标面投影，无妨设指定了面，确定曲面在面上的投影区域为，曲面的方程化XOYXOYXYD为，注意曲面指定的侧,ZF,XYDPXYDPFXYD2）二重积分的计算例8计算曲面积分，其中为旋抛物面下2IZXDYZ21ZXY12侧介于平面及之间部分。0Z2解原式YZDYDZ2221YZXYDDXY22222301YYDZDZZDR22322144YY32242016146COS332DTD8这里用换元法计算定积分，（令）及的计算公2SINYT20COSNTD式。其他知识点两类曲面积分的关系、高斯公式、斯托克斯公式；了解散度、通量、环流量、旋度的概念。例9，其中是曲线绕轴旋转所得旋转XDYZXZD