上海大学05年高等代数考研题

上海大学05年高等代数考研题一基本题（以下每题10分9题共90分）1设（），求在有理数域上的不可约因式并说明理由。21NXF1XF2设，为6阶方阵,而且（为单位矩阵）10AABCECB2,求和（的伴随矩阵）。C3设是非齐次线性方程组的一个解，是其导出组的一个基础解BXRN,1系求证1）线性无关；,RN2）线性无关。,RN214设，求此向量组的最大无关组，并0123,23,0,5421A将其他向量用最大无关组表示出来。5设为阶复矩阵，如果，求证在复数域上与对角矩阵相似。AN32EAA6设为实三阶对称矩阵，已知的三个特征值为1，1，而且，如果2为的特征向量，求。10,7设为阶实对称矩阵，求证为正定矩阵（表示的转置）。AN0KEATTA8若是反对称变换的不变子空间，求证（的正交补）也是的不变子空间。WW9设为数域，为数域上阶方阵，且，FFN0|1XFVN求证0|2XEAXVN22AN二非基本题（以下每题12分，5题共60分）10设，为阶方阵，为阶正交方阵，求证42ANBN。NAB412211设（），求证1|123NNNNXFXFXFFX2。|1FXI,212设为阶实可逆矩阵，则为正定矩阵充分必要条件为存在阶上三角实可逆矩阵ANAN使。LT13设是秩为的N阶矩阵，证明的充要条件是存在秩为的阶矩阵B和R2R秩为的矩阵C，使且（为阶单位矩阵）。RBECR14设为数域上维线性空间，设为上线性变换，为的值域，VFAVVA为的核。10A（1）求证；21NV0维（2）求证充分必要条件为。并举出这样A维（10AV的线性变换。注表示空间的维数。W维（1设（），求在有理数域上的不可约因式并说明理由。21NXF1XF解因为，而且由EISENSTEIN判别法知道2N不可约，所以,为的不可约因式21XXNX21XNF2设，为6阶方阵,而且,求和10AABCECBC（的伴随矩阵）。C解，12EB121DA120H，。DHC03设是非齐次线性方程组的一个解，是其导出组的一个基础解BAXRN,1系求证1）线性无关；,RN2）线性无关,RN21解1）因为线性无关，如果相关，则可以由R,1RN线性表示，则为的解与已知矛盾，所以无关。RN,0AX,1RN2）如果相关，则有不全为0,RN21,21MK使0121MKKK即有由1）知道矛0121M21MKK盾，所以结论成立。4设，求此向量组的最大无关组，并0123,23,01,5421A将其他向量用最大无关组表示出来。解当时候，为最大无关组，此时A4321,4215当时候，为最大无关组，此时。042134215,5设为阶复矩阵，如果，求证在复数域上与对角矩阵相似。AN032EAA解因为没有重根，而且为的化零矩阵，所以的最小多项132XXA式没有重根，所以可以对角化。6设为实三阶对称矩阵，已知的三个特征值为1，1，而且，如果2为的特征向量，求。10,AA解由已知可得2，由于两个向量不正交，所以它们是特征值1的特征向量。10,由此可以知道为2的特征向量，此时设，则1316201P，所以21APT341A7设为阶实对称矩阵，求证为正定矩阵（表示的转置）。N0KETTA解因为为阶实对称矩阵，所以半正定，又因为正定，所以结论成立。AA0KE8若是反对称变换的不变子空间，求证（的正交补）也是的不变子空间。WAWA解设，则，而且，由任意性知,0A道与正交，所以，即是的不变子空间。A9设为数域，为数域上阶方阵，且，FFN0|1XFVN求证0|2XEXVN22AN解设，则，而且SAR,RDIM1SNDI2，而且，所以知道而且为直和，反之由NSA2021VFV1，知道，又因为，其中FV2122VAVA，显然，所以。21,VV2V10设，为阶方阵，为阶正交方阵，求证42ANBNNAB4122解因为，而且220AB，所以结论成立。N2111设（），求证|123221NNNNNXFXFXFFX2。|1FXI,解设为非1单位复根。则由题意知,N1,0123221NIFFFFNNININIIIII即有1,0111232NIFFFFNIII利用范德蒙行列式有。即,0I|XI12设为阶实可逆矩阵，则为正定矩阵充分必要条件为存在阶上三角实可逆矩阵ANAN使。LT解正定充分必要条件为，其中可逆，由可逆知道，存在上三角实可逆TCC矩阵和正交矩阵使，由此正定充分必要条件。ULTLA13设是秩为的N阶矩阵，证明的充要条件是存在秩为的阶矩阵B和ARA2RN秩为的矩阵C，使且。RBEC解因为是秩为的N矩阵，所以存在秩为的阶矩阵B和秩为的矩阵C，RNR使，如果，则，所以，B2C00E由此，反之显然。E14设为数域上维线性空间，设为上线性变换，为的值域，VFNAVVA为的核。10A（1）求证；21NV0维（2）求证充分必要条件为。并举出这样A维（10AV的线性变换。注表示空间的维数。W维（解（1）因为DIMDIIMDIM0AV0AV0AV111DIM,NI01N由，所以