高中数学：必修4全套教案(新人教a版)

第一章三角函数11任意角和弧度制111任意角一、教学目标1、知识与技能（1）推广角的概念、引入大于角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解60任意角以及象限角的概念；4掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识2、过程与方法通过创设情境“转体，逆（顺）时针旋转”，角有大于角、零角和旋转方向不同所形成720360的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习3、情态与价值通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分角的概念推广以后，知道角之间的关系理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物二、教学重、难点重点理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法难点终边相同的角的表示三、学法与教学用具之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示另外还有相同终边角的集合的表示等教学用具电脑、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】思考你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的假如你的手表快了125小时，你应当如何将它校准当时间校准以后，分针转了多少度取出一个钟表,实际操作我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于之间，这正是我们这节课要研究的主要内容任意角036【探究新知】1初中时，我们已学习了角的概念，它是如何定义的呢展示投影角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形如图111，一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置，就形成角旋转OAOOB开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射线的端点叫做叫的顶点B2如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语“转体”720（即转体2周），“转体”（即转体3周）等,都是遇到大于的角以及按不同方向旋转而成的角108360同学们思考一下能否再举出几个现实生活中“大于的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题又该如何区分和表示这些角呢展示课件如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角,这些都说明了我们研究推广角概念的必要性为了区别起见，我们规定按逆时针方向旋转所形成的角叫正角POSITIVEANGLE,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角NEGATIVEANGLE如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角ZEROANGLE展示课件如教材图1131中的角是一个正角,它等于；图1132中，正角，负750210角；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（ANYANGLE）,包括正角、负角和零150,6角为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可简记为3在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，X我们就说这个角是第几象限角QUADRANTANGLE如教材图114中的角、角分别是第一象限3021角和第三象限角要特别注意如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角4展示投影练习1口答锐角是第几象限角第一象限角一定是锐角吗再分别就直角、钝角来回答这两个问题2回答今天是星期三那么天后的那一天是星期几天前的那一天是星期几7KZ7KZ100天后的那一天是星期几5探究将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应反之,对于直角坐标系中任意一条射线如图115,以它为终边的角是否唯一如果不惟一,那么终边相同的角OB有什么关系请结合42口答加以分析展示课件不难发现,在教材图115中,如果的终边是,那么角的终边都是32OB328,9,而,OB328136092160设,则角都是的元素,角也是的元素因此,|SKZ8,9SS所有与角终边相同的角,连同角在内,都是集合的元素；反过来，集合的任一元素显然与角终边相同32一般地,我们有所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合,即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和|360,SKZ6展示投影例题讲评例1例1在范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限角（注95012是指）036036例2写出终边在轴上的角的集合Y例3写出终边直线在上的角的集合,并把中适合不等式XS360的元素写出来7207展示投影练习教材第3、4、5题6P注意（1）；（2）是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但KZ相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍608学习小结1你知道角是如何推广的吗2象限角是如何定义的呢3你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗会写终边落在轴、轴、直XY线上的角的集合YX五、评价设计1作业习题11A组第1,2,3题2多举出一些日常生活中的“大于的角和负角”的例子，熟练掌握他们的表示，360进一步理解具有相同终边的角的特点112弧度制一、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集之间建立的R一一对应关系6使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系2、过程与方法创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器3、情态与价值通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系即每一个角都有唯一的一个实数即这个角的弧度数与它对应；R反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备二、教学重、难点重点理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用难点理解弧度制定义，弧度制的运用三、学法与教学用具在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化教学用具计算器、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】有人问海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的（已知1英里16公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算1英里16公里在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制弧度制【探究新知】1角度制规定将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等弧度制是什么呢1弧度是什么意思一周是多少弧度半周呢直角等于多少弧度弧度制与角度制之间如何换算请看课本，自行解决上述问题67P2弧度制的定义展示投影长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1单位RAD可以省略不写3探究如图,半径为的圆的圆心与原点重合,角的终边与轴的正半轴重合,交圆于点,终边与RXA圆交于点请完成表格B弧的长A旋转的方向O的弧度数AOB的度数ABR逆时针方向2逆时针方向120180我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如，2等等，一般地,正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定4思考如果一个半径为的圆的圆心角所对的弧长是,那么的弧度数是多少RLA角的弧度数的绝对值是，其中，L是圆心角所对的弧长，是半径R5根据探究中填空180RAD,度1_RAD1_显然,我们可以由此角度与弧度的换算了6例题讲解例1按照下列要求,把化成弧度67301精确值；2精确到0001的近似值例2将314换算成角度用度数表示,精确到0001RAD注意角度制与弧度制的换算主要抓住,另外注意计算器计算非特殊角的方法180RAD7填写特殊角的度数与弧度数的对应表度03452120120弧度33YXAOB角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系即每一个角都有唯一R的一个实数即这个角的弧度数与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应8例题讲评例3利用弧度制证明下列关于扇形的公式123LR21SR12SLR其中是半径,是弧长,为圆心角,是扇形的面积L0例4利用计算器比较和的大小SIN15I8注意弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别9练习教材10P9学习小结1你知道角弧度制是怎样规定的吗2弧度制与角度制有何不同,你能熟练做到它们相互间的转化吗五、评价设计1作业习题11A组第7,8,9题2要熟练掌握弧度制与角度制间的换算,以及异同能够使用计算器求某角的各三角函数值121任意角的三角函数一一、教学目标1、知识与技能（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数2、过程与方法初中学过锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数讲解例题，总结方法，巩固练习3、情态与价值任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数这个定义清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系二、教学重、难点重点任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）难点任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解三、学法与教学用具任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了教学用具投影机、三角板、圆规、计算器四、教学设想第一课时任意角的三角函数（一）【创设情境】提问锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示借助右图直角三角形，复习回顾引入锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那X么它的终边在第一象限在的终边上任取一点,它PAB与原点的距离过作轴的垂线,垂足为20RABPX,则M线段的长度为,线段的长度为则OMBSINORCOSRTANMOA思考对于确定的角，这三个比值是否会随点在P的终边上的位置的改变而改变呢显然，我们可以将点取在使线段的长P的1R特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数SINPBOCOSAOTNPBOMA思考上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢本节课就研究这个问题任意角的三角函数【探究新知】1探究结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了所以,我们在此引入单位圆的定义在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度O为半径的圆2思考如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么PXY1叫做的正弦SINE,记做,即；YSINI（2）叫做的余弦COSSINE,记做,即；XCOSYP（A，B）ROMA的终边PX,YOXY（3）叫做的正切TANGENT,记做,即YXTANT0YX注意当是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点，从而就必,PXY然能够最终算出三角函数值3思考如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢前面我们已经知道,三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关我们只需计算点P到原点的距离,那么,2RXY2SINYX2COSXY所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角TANY的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数4例题讲评例1求的正弦、余弦和正切值53例2已知角的终边过点，求角的正弦、余弦和正切值03,4P教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义我也可以尝试其他方法如例2设则3,XY25R于是,4SIN53COSX4TAN3YX5巩固练习第1,2,3题17P6探究请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中定义域三角函数角度制弧度制第一象限第二象限第三象限第四象限SINCOTA7例题讲评例3求证当且仅当不等式组成立时，角为第三象限角SIN0TA8思考根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系显然终边相同的角的同一三角函数值相等即有公式一SIN2SINK其中COCOKZTAN2TANK9例题讲评例4确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证1234COS250SI4TA67TA3例5求下列三角函数值123SIN1489COS1TAN6利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求到或到角的三角函数值另外02360可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题10巩固练习第4,5,6,7题17P11学习小结1本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同2你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗3请写出各三角函数的定义域；4终边相同的角的同一三角函数值有什么关系你在解题时会准确熟练应用公式一吗五、评价设计1作业习题12A组第1,2题2比较角概念推广以后,三角函数定义的变化思考公式一的本质是什么要做到熟练应用另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法第二课时任意角的三角函数（二）【复习回顾】1、三角函数的定义；2、三角函数在各象限角的符号；3、三角函数在轴上角的值；4、诱导公式（一）终边相同的角的同一三角函数的值相等；5、三角函数的定义域要求记忆并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆【探究新知】1引入角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）作为角的函数三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢2边描述边画以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意这个单位长度不一定就是1厘米或1米）当角为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点，过点作轴交轴于点，则请你观察,PXYPMX根据三角函数的定义；|SIN|Y|COS|OMX随着在第一象限内转动，、是否也跟着变化3思考（1）为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段、P规定一个适当的方向，使它们的取值与点的坐标一致OPOXYA角的终边PTMA（2）你能借助单位圆，找到一条如、一样的线段来表示角的正切值吗MPO我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关当角的终边不在坐标轴时,以为始点、O为终点，规定M当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向时，的OXXMX方向为负向，且有正值；其中为点的横坐标这样,无论那种情况都有XCOS同理,当角的终边不在轴上时,以为始点、为终点，规定P当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向PYMPYPY时，的方向为负向，且有正值；其中为点的横坐标这样,无论那种情况都有YSIN4像这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段（DIRECTLINESEGMENT）O、5如何用有向线段来表示角的正切呢如上图,过点作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与的终边交于点,请根据正切10AT函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段,我们有OAT、TANYX我们把这三条与单位圆有关的有向线段,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，MP、统称为三角函数线6探究（1）当角的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗（2）当的终边与轴或轴重合时，又是怎样的情形呢XY7例题讲解例1已知，试比较的大小42,TANSI,CO处理师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质8练习第1,2,3,4题19P9学习小结1了解有向线段的概念2了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来3体会三角函数线的简单应用【评价设计】1作业比较下列各三角函数值的大小不能使用计算器1、（2）、（3）、SIN5TA1COS1508CS215TAN2练习三角函数线的作图122同角三角函数的基本关系一、教学目标1、知识与技能1使学生掌握同角三角函数的基本关系；2已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；3利用同角三角函数关系式化简三角函数式；4利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；（5）牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；（6）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；（7）掌握恒等式证明的一般方法2、过程与方法由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习已知一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等通过例题讲解，总结方法通过做练习,巩固所学知识3、情态与价值通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法二、教学重、难点重点公式及的推导及运用（1）已知某任意角的正弦、余弦、1COSSIN22TANCSI正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式难点根据角终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式三、学法与教学用具利用三角函数线的定义,推导同角三角函数的基本关系式及,并1COSSIN22TANCSI灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等教学用具圆规、三角板、投影四、教学设想【创设情境】与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化【探究新知】1探究三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一下同一个角不同三角函数之间的关系吗如图以正弦线,余弦线和半径三者的长构MPOP成直角三角形,而且由勾股定理由,因此1O21,即21XYOXYPM1A1,022SINCOS1根据三角函数的定义,当时,有2AKZSINTACO这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方等于1，商等于角的正切2例题讲评例6已知,求的值3SIN5COS,TAN三者知一求二,熟练掌握I,COTA3巩固练习页第1,2,3题23P4例题讲评例7求证COS1INISX通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤5巩固练习页第4,5题23P6学习小结（1）同角三角函数的关系式的前提是“同角”，因此，1COSSIN22COSINTA（2）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论五、评价设计1作业习题12A组第10,13题2熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关系式注意三角恒等式的证明方法与步骤第二章平面向量本章内容介绍向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念（让学生对整章有个初步的、全面的了解）第1课时21平面向量的实际背景及基本概念教学目标1了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量2通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别3通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力教学重点理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量教学难点平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系学法本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念教具多媒体或实物投影仪，尺规授课类型新授课教学思路一、情景设置如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问猫能否追到老鼠（画图）结论猫的速度再快也没用，因为方向错了分析老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量引言请同学指出哪些量既有大小又有方向哪些量只有大小没有方向二、新课学习（一）向量的概念我们把既有大小又有方向的量叫向量（二）请同学阅读课本后回答（可制作成幻灯片）1、数量与向量有何区别2、如何表示向量3、有向线段和线段有何区别和联系分别可以表示向量的什么4、长度为零的向量叫什么向量长度为1的向量叫什么向量5、满足什么条件的两个向量是相等向量单位向量是相等向量吗6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量这时各向量的终点之间有什么关系（三）探究学习1、数量与向量的区别数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小2向量的表示方法用有向线段表示；用字母、ABCDA起点B（终点）A（黑体，印刷用）等表示；用有向线段的起点与终点字母；AB向量的大小长度称为向量的模，记作|AB3有向线段具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素起点、方向、长度向量与有向线段的区别（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段4、零向量、单位向量概念长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的注意0与0的含义与书写区别长度为1个单位长度的向量，叫单位向量说明零向量、单位向量的定义都只是限制了大小5、平行向量定义方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0与任一向量平行说明（1）综合、才是平行向量的完整定义；（2）向量、平行，记作6、相等向量定义长度相等且方向相同的向量叫相等向量说明（1）向量与相等，记作；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关7、共线向量与平行向量关系平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）说明（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系（四）理解和巩固例1书本86页例1例2判断（1）平行向量是否一定方向相同（不一定）（2）不相等的向量是否一定不平行（不一定）（3）与零向量相等的向量必定是什么向量（零向量）（4）与任意向量都平行的向量是什么向量（零向量）（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量（平行向量）（6）两个非零向量相等的当且仅当什么（长度相等且方向相同）（7）共线向量一定在同一直线上吗（不一定）例3下列命题正确的是（）A与共线，与共线，则与C也共线B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C向量与不共线，则与都是非零向量D有相同起点的两个非零向量不平行解由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若与不都是非零向量，即与至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有与共线，不符合已知条件，所以有与都是非零向量，所以应选C例4如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、相等的向量OABC变式一与向量长度相等的向量有多少个（11个）变式二是否存在与向量长度相等、方向相反的向量（存在）变式三与向量共线的向量有哪些（）FEDOCB,课堂练习1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；ABCD单位向量都相等；任一向量与它的相反向量不相等；四边形ABCD是平行四边形当且仅当一个向量方向不确定当且仅当模为0；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同解不正确共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在ABC同一直线上不正确单位向量模均相等且为1，但方向并不确定不正确零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的、正确不正确如图与共线，虽起点不同，但其终点却相ACB同2书本88页练习三、小结1、描述向量的两个指标模和方向2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点四、课后作业书本88页习题21第3、5题第2课时221向量的加法运算及其几何意义教学目标1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学重点会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量教学难点理解向量加法的定义学法数能进行运算，向量是否也能进行运算呢数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律教具多媒体或实物投影仪，尺规授课类型新授课教学思路一、设置情景1、复习向量的定义以及有关概念强调向量是既有大小又有方向的量长度相等、方向相同的向量相等因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置2、情景设置（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，则两次的位移和A（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，则两次的位移和（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，则两次的位移和A（4）船速为，水速为，则两速度和ACB二、探索研究ABCCABABCABCOABAAABBB、向量的加法求两个向量和的运算，叫做向量的加法、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量A、在平面内任取一点，作A，则向量叫做A与的和，ABCA记作A，即A，规定A00ACBA探究（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量与不共线时，的方向不同向，且|，则的方向与ABABAB相同，且|；若|0时与方向相同；0内分外分0，AB|A|B|COS，AB|A|B|COS，AB|A|B|COS，若0，AB|A|B|COS|A|B|COS|A|B|COS，AB|A|B|COS，AB|A|B|COS|A|B|COS|A|B|COS3分配律ABCACBC在平面内取一点O，作A，B，C，AB（即）在C方向上的投影等于ABOCOBA、B在C方向上的投影和，即|AB|COS|A|COS1|B|COS2|C|AB|COS|C|A|COS1|C|B|COS2，CABCACB即ABCACBC说明（1）一般地，（）（2），0（3）有如下常用性质，（）（）三、讲解范例例1已知A、B都是非零向量，且A3B与7A5B垂直，A4B与7A2B垂直，求A与B的夹角解由A3B7A5B07A216AB15B20A4B7A2B07A230AB8B20两式相减2ABB2代入或得A2B2设A、B的夹角为，则COS6021|BA例2求证平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和解如图平行四边形ABCD中，DCABBACD|2ACDB2|2而，|2ADBA2|2|2|22ACBD222|ADC例3四边形ABCD中，且，试问四C边形ABCD是什么图形分析四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量解四边形ABCD是矩形，这是因为一方面0，（），（）即由于，同理有由可得，且即四边形ABCD两组对边分别相等四边形ABCD是平行四边形另一方面，由，有（），而由平行四边形ABCD可得，代入上式得2，即，也即ABBC综上所述，四边形ABCD是矩形评述1在四边形中，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ABCDA0，应注意这一隐含条件应用；2由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系四、课堂练习1下列叙述不正确的是（）A向量的数量积满足交换律B向量的数量积满足分配律C向量的数量积满足结合律DAB是一个实数2已知|A|6，|B|4，A与B的夹角为，则A2BA3B等于（）A72B72C36D363|A|3，|B|4，向量AB与AB的位置关系为（）43A平行B垂直C夹角为D不平行也不垂直34已知|A|3，|B|4，且A与B的夹角为150，则AB5已知|A|2，|B|5，AB3，则|AB|_，|AB|6设|A|3，|B|5，且AB与AB垂直，则五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记第9课时三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式能用所学知识解决有关综合问题教学重点平面向量数量积的坐标表示教学难点平面向量数量积的坐标表示的综合运用授课类型新授课教具多媒体、实物投影仪教学过程一、复习引入1两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作，则（）叫与的夹角OAB2平面向量数量积（内积）的定义已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|A|B|COS叫与的数量积，记作AB，即有AB|A|B|COS，（）并规定0与任何向量的数量积为03向量的数量积的几何意义数量积AB等于A的长度与B在A方向上投影|B|COS的乘积4两个向量的数量积的性质设A、B为两个非零向量，E是与B同向的单位向量1EAAE|A|COS；2ABAB03当A与B同向时，AB|A|B|；当A与B反向时，AB|A|B|特别的AA|A|2或A|4COS；5|AB|A|B|5平面向量数量积的运算律交换律ABBA数乘结合律ABABAB分配律ABCACBC二、讲解新课平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量，试用和的坐标表示,1YXA,2YXBABBA设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么，IXJJYIX1JYIX2所以21JYIXJIBA2122121JJIJIYXI又，所以IJ0IJIBAY这就是说两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和即BA21YXC2平面内两点间的距离公式八、设，则或,YXA22|YXA2|YXA（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么,1,2YX平面内两点间的距离公式2121|YXA九、向量垂直的判定设，则,1,2XBBA021YX十、两向量夹角的余弦（）0COS221YX|BA十一、讲解范例十二、设A5，7，B6，4，求AB及A、B间的夹角精确到1O例2已知A1，2，B2，3，C2，5，试判断ABC的形状，并给出证明例3已知A3，1，B1，2，求满足XA9与XB4的向量X解设XT，S，由X2，3429349STB32ST例4已知A（，），B（，），则A与B的夹角是多少分析为求A与B夹角，需先求AB及AB，再结合夹角的范围确定其值解由A（，），B（，）33有AB（），A，B2记A与B的夹角为，则2又，4评述已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定例5如图，以原点和A5，2为顶点作等腰直角OAB，使B90，求点B和向量的坐标A解设B点坐标X，Y，则X，Y，X5，Y2OBAXX5YY20即X2Y25X2Y0OBA又|X2Y2X52Y22即10X4Y29由273294100512YYYX或B点坐标或；或3,77,AB,33,例6在ABC中，2，3，1，K，且ABC的一个内角为直角，C求K值解当A90时，0，213K0K23BA当B90时，0，12，K31，K3CAB213K30K31当C90时，0，1KK30KAB213十三、课堂练习1若A4，3，B5，6，则3|A|AB（）A23B57C63D832已知A1，2，B2，3，C2，5，则ABC为（）A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D不等边三角形3已知A4，3，向量B是垂直A的单位向量，则B等于（）A或B或54,3,54,3,C或D或,3,4A2，3，B2，4，则ABAB5已知A3，2，B1，1，若点PX，在线段AB的中垂线上，则X216已知A1，0，B3，1，C2，0，且A，B，则A与B的夹角为BCA十四、小结（略）十五、课后作业（略）十六、板书设计（略）十七、课后记第12课时复习课一、教学目标1理解向量零向量向量的模单位向量平行向量反向量相等向量两向量的夹角等概念。2了解平面向量基本定理3向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。4了解向量形式的三角形不等式|试问取等号的条件是什么和向量形式ABAB的平行四边形定理2|A2225了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）6向量的坐标概念和坐标表示法7向量的坐标运算（加减实数和向量的乘法数量积）8数量积（点乘或内积）的概念，|COSXXYY注意区别“实数与向量的乘法；AB12向量与向量的乘法”二、知识与方法向量知识，向量观点在数学物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视数量积的主要应用求模长；求夹角；判垂直三、典型例题例1对于任意非零向量与，求证ABABABB证明1两个非零向量与不共线时，的方向与，的方向都不同，并且AB3两个非零向量与共线时，与同向，则的方向与相同且ABABABABB与异向时，则的方向与模较大的向量方向相同，设|，则|同理可A证另一种情况也成立。例2已知O为ABC内部一点，AOB150，BOC90，设，OAABBOCC且|2，|1，|3，用与表示ABCABCIJ解如图建立平面直角坐标系XOY，其中,是单位正交基底向量,则B（0，1），C（3，0），设A（X，Y），则条件知X2COS15090,Y2SIN15090，即A（1，），也就是,3AI3JB，3所以33|即33JCIA3BCAB例3下面5个命题|，则2A2BCCA0，则|0，则或，其中真命题是（）BABA0BABCD四、巩固训练1下面5个命题中正确的有（）；（）；ABCACBABCABC（）（）；B2ABCD2下列命题中，正确命题的个数为（A）若与是非零向量，且与共线时，则与必与或中之一方向相同；若为单位向量，ABABABE且则|若与共线，与共线，则与共线；若平面内四点E3CBABCD，必有ACBDA1B2C3D43下列5个命题中正确的是对于实数P,Q和向量,若PQ则PQ对于向量与，若|则对于两个单位向AABAB量与，若|2则对于两个单位向量与，若K，则ABB4已知四边形ABCD的顶点分别为A2,1，B5,4，C2,7，D1,4,求证四边形ABCD为正方形。第三章三角恒等变换一、课标要求本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用1了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用二、编写意图与特色1本章的内容分为两节“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受；2本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；3本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强