小升初奥数讲义953119692

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问规定日期为几天9两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时，一天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问停电多少分钟二鸡兔同笼问题跟知识握握手1、基本概念鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来。2、基本思路假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）；假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。3、基本公式把所有鸡假设成兔子鸡数（兔脚数总头数总脚数）（兔脚数鸡脚数）把所有兔子假设成鸡兔数（总脚数一鸡脚数总头数）（兔脚数一鸡脚数）4、关键问题找出总量的差与单位量的差。5、解“鸡兔同笼问题”的常用方法是“替换法”、“转换法”、“置换法”等。通常把其中一个未知数暂时当作另一个未知数，然后根据已知条件进行假设性的运算，直到求出结果。【概括起来，解“鸡兔同笼问题”的基本公式是】鸡数（每只兔脚数鸡兔总数实际脚数）（每只兔子脚数每只鸡的脚数）兔数鸡兔总数鸡数小试牛刀1、有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，问鸡、兔各多少只2、蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀，问每种小虫各多少只3、每一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数计算，每只2角，如有破损，破损的不给运费，还要每只赔偿1元，结果得到运费3796元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只4、六年级甲班有50个同学向汶川灾区捐款共计2010元，其中捐50元的人有30人，其他同学捐20元或者30元，问捐20元和30元的同学各多少人5、学校组织新年文艺晚会，用作奖品的铅笔、圆珠笔、钢笔共232支，共花了300元，其中铅笔数量是圆珠笔的4倍。已知铅笔每支06元，圆珠笔每支27元，钢笔每支63元，问三种笔个多少支6、从甲到乙全长45千米，有上坡路、平路、下坡路，李强上坡速度是每小时3千米，平路上速度是每小时5千米，下坡速度是每小时6千米。从甲到乙，李强走了10小时，从乙到甲李强走了11小时，问甲到乙上坡、平路、下坡路各有多少千米7、有堆硬币，面值为1分、2分和5分三种，其中1分硬币是2分硬币的11倍，已知这堆硬币的币值总和是1元，问5分有多少枚8、有50名同学外出游玩，乘电车前往每人12元，乘小巴前往每人4元，乘地铁前往每人6元，这些同学共有车费110元，问其中乘小巴的共有多少人9、鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问鸡与兔各有几只三数字数位问题1把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数1234567892005,这个多位数除以9余数是多少2A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求AB分之AB的最小值3已知ABC都是非0自然数,A/2B/4C/16的近似值市64,那么它的准确值是多少4一个三位数的各位数字之和是17其中十位数字比个位数字大1如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新的三位数,则新的三位数比原三位数大198,求原数5一个两位数,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多24,求原来的两位数6把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相加,和恰好是某自然数的平方,这个和是多少7一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数答案为857148有一个四位数,个位数字与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和是9,如果个位数字与百位数字互换,千位数字与十位数字互换,新数就比原数增加2376,求原数9有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果用这个两位数除以个位数字与十位数字之和,则商为5余数为3,求这个两位数10如果现在是上午的10点21分,那么在经过2879999一共有20个9分钟之后的时间将是几点几分四排列组合问题跟知识握握手1、排列一般地，从个不同的元素中取出个元素，按照一定的顺序NMN排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列【根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列】2、排列的基本问题是计算排列的总个数从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个NMNN不同的元素的排列中取出个元素的排列数，我们把它记做MNP根据排列的定义，做一个元素的排列由个步骤完成步骤从个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有种方法；1N步骤从剩下的个元素中任取一个元素排在第二位，有种方211法；步骤从剩下的个元素中任取一个元素排在第个位置，有MNMM种方法；1（）3、【由乘法原理，从个不同元素中取出个元素的排列数是，即，这里，且12NN（）（）（）121MNPN（）（）（）N等号右边从开始，后面每个因数比前一个因数小，共有个因数相乘。】M4、组合一般地，从个不同元素中取出个元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合N【从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合】5、从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同NMNN元素中取出个不同元素的组合数记作。MC6、一般地，求从个不同元素中取出的个元素的排列数可分成以下两步NNMP第一步从个不同元素中取出个元素组成一组，共有种方法；C第二步将每一个组合中的个元素进行全排列，共有种排法根据乘法原理，得到因此，组合数MNPC1213MNPC（这个公式就是组合数公式小试牛刀1有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（）A768种B32种C24种D2的10次方中2若把英语单词HELLO的字母写错了,则可能出现的错误共有A119种B36种C59种D48种3、小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法（1）七个人排成一排；（2）七个人排成一排，小新必须站在中间（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间（4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边（5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上（6）七个人战成两排，前排三人，后排四人（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人小新、阿呆不在同一排。4、用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数5、用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比大且百位数字不是的203无重复数字的五位数6、用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则5687是第几个数7、用、这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的12345倍数8、用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶数9、某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非数码组成，0且四个数码之和是，那么确保打开保险柜至少要试几次910、两对三胞胎喜相逢，他们围坐在桌子旁，要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻，同一位置上坐不同的人算不同的坐法，那么共有多少种不同的坐法11、已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至第五名的名次甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”对乙说“你当然不会是最差的”从这个回答分析，5人的名次排列共有多少种不同的情况12、名男生，名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法451甲不在中间也不在两端；2甲、乙两人必须排在两端；3男、女生分别排在一起；4男女相间一台晚会上有个演唱节目和个舞蹈节目64求1当个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序42当要求每个舞蹈节目之间至少安排个演唱节目时，一共有多少不同21的安排节目的顺序13、1从1，2，8中任取3个数组成无重复数字的三位数，共有多少个（只要求列式）2从8位候选人中任选三位分别任团支书，组织委员，宣传委员，共有多少种不同的选法33位同学坐8个座位，每个座位坐1人，共有几种坐法48个人坐3个座位，每个座位坐1人，共有多少种坐法5一火车站有8股车道，停放3列火车，有多少种不同的停放方法68种不同的菜籽，任选3种种在不同土质的三块土地上，有多少种不同的种法14、某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段将8个小组产生的前2名共16人再分成个小组，每组人，分别进行单循环赛；44第三阶段由4个小组产生的个第名进行场半决赛和场决赛，确定至1221名的名次问整个赛程一共需要进行多少场比赛416、由数字1，2，3组成五位数，要求这五位数中1，2，3至少各出现一次，那么这样的五位数共有_个。2007年“迎春杯”高年级组决赛17、个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法1018、8个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻），小慧和大智不能相邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种19、小明有10块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块那么他一共有多少种不同的吃法20、某池塘中有三只游船，船可乘坐人，船可乘坐人，船可ABC、A3B2C乘坐人，今有个成人和个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐132的游船上必须至少有个成人陪同，那么他们人乘坐这三支游船的所有安全乘5船方法共有多少种21、从名男生，名女生中选出人参加游泳比赛在下列条件下，分别有多1088少种选法1恰有名女生入选；32至少有两名女生入选；3某两名女生，某两名男生必须入选；4某两名女生，某两名男生不能同时入选；某两名女生，某两名男生最多入选两人。22、在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各一名，现要组成5人医疗小组送医下乡，按照下列条件各有多少种选派方法1有3名内科医生和2名外科医生；2既有内科医生，又有外科医生；3至少有一名主任参加；4既有主任，又有外科医生23、在10名学生中，有5人会装电脑，有3人会安装音响设备，其余2人既会安装电脑，又会安装音响设备，今选派由人组成的安装小组，组内安装电脑6要人，安装音响设备要人，共有多少种不同的选人方案3324、有11名外语翻译人员，其中名是英语翻译员，名是日语翻译员，另外54两名英语、日语都精通从中找出人，使他们组成两个翻译小组，其中人翻84译英文，另人翻译日文，这两个小组能同时工作问这样的分配名单共可以4开出多少张五容斥原理问题跟知识握握手1、容斥原理的概念在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。2、有关容斥原理的公式公式1如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数A类元素个数B类元素个数既是A类又是B类的元素个数。公式2如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类或B类或C类元素个数A类元素个数B类元素个数C类元素个数既是A类又是B类的元素个数既是A类又是C类的元素个数既是B类又是C类的元素个数既是A类又是B类而且是C类的元素个数。小试牛刀1有100种赤贫其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是A43,25B32,25C32,15D43,112在多元智能大赛的决赛中只有三道题已知1某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题2在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍3只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人4只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是A，5B，6C，7D，83一次考试共有5道试题。做对第1、2、3、4、5题的分别占参加考试人数的95、80、79、74、85。如果做对三道或三道以上为合格，那么这次考试的合格率至少是多少4、某大楼里有125盏灯，按1,2，3，,125编号，每盏灯有一个拉线开关，拉一次灯亮，再拉一次灯熄。工程师做实验，他先把所有号码是4的倍数的灯的开关拉1次，再把所有号码是6的倍数的灯的开关拉1次，同时再拉1次号码是4的倍数、但不是6的倍数的灯开关，问现在有多少盏灯是亮的5、A、B、C三位质检员对流水线上的书包进行检查，A每3个书包抽查1个，B每5个书包抽查1个，C每7个书包抽查1个，一共有250个书包通过流水线，假定A、B、C首个抽查到的书包分别是第三个、第五个和第七个，试求1没被抽查到的书包数。2在A或B抽查到的书包中，没被C抽查到的书包数。6、学校举行趣味运动会，班里的同学有20人报名。参加障碍过河比赛的有10人，参加自行车慢骑的有13人，参加“袋鼠跳”比赛的有15人，障碍过河、“袋鼠跳”都参加的有9人，障碍过河、自行车慢骑都参加的有6人，自行车慢骑、“袋鼠跳”都参加的有8人，你能画出参加比赛的人数文氏图吗7、某体育学校的运动员中，会游泳的有15人，会跳高的有12人，会跳远的有9人，以上三个项目只会其中两种的有13人，会三种的有5人，则只会其中两种的人分别有多少可能8、在一所中学的实验班里，60个学生参加过竞赛。其中参加过数学竞赛的有30人，参加过英语竞赛的有25人，参加过作文比赛的有17人，参加过数学竞赛和英语竞赛的有12人，参加过英语竞赛和作文比赛的有10人，参加过数学竞赛和作文比赛的有7人，则三种竞赛都参加过的学生有人。请写出过程六抽屉原理、奇偶性问题跟知识握握手1、第一抽屉原理原理1把多于N个的物体放到N个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件；【证明】（反证法）如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是N，而不是题设的NKK1,这不可能。原理2把多于MNM乘以N个的物体放到N个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于M1的物体。【证明】（反证法）若每个抽屉至多放进M个物体,那么N个抽屉至多放进MN个物体,与题设不符，故不可能原理3把无穷多件物体放入N个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。【证明】根据原理1、2即可证明【原理123都是第一抽屉原理的表述】2、第二抽屉原理把（MN1）个物体放入N个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（M1）个物体。【证明】（反证法）若每个抽屉都有不少于M个物体，则总共至少有MN个物体，与题设矛盾，故不可能3、抽屉原理的一般表述“把多于KN1个东西任意分放进N个空抽屉（K是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少K1个东西。”4、奇数和偶数整数可以分成奇数和偶数两大类能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。【偶数通常可以用2K（K为整数）表示，奇数则可以用2K1（K为整数）表示。特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。】5、奇数与偶数的运算性质性质1偶数偶数偶数，奇数奇数偶数。性质2偶数奇数奇数。性质3偶数个奇数相加得偶数。性质4奇数个奇数相加得奇数。性质5偶数奇数偶数，奇数奇数奇数。经典例题【表述】在第二抽屉原理中，抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而增加，当元素总数达到抽屉数的若干倍后，可用抽屉数除元素总数，写成下面的等式元素总数商抽屉数余数【如果余数不是0，则最小数商1；如果余数正好是0，则最小数商。】例题1幼儿园里有120个小朋友，各种玩具有364件。把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具【解析】把120个小朋友看做是120个抽屉，把玩具件数看做是元素。则36412034，4120。根据抽屉原理的第（2）条规则如果把MXK（XK1）个元素放到X个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有M1个或更多个元素。可知至少有一个抽屉里有314个元素，即有人会得到4件或4件以上的玩具。练习11、一个幼儿园大班有40个小朋友，班里有各种玩具125件。把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具2、把16枝铅笔放入三个笔盒里，至少有一个笔盒里的笔不少于6枝。这是为什么3、把25个球最多放在几个盒子里，才能至少有一个盒子里有7个球例题2布袋里有4种不同颜色的球，每种都有10个。最少取出多少个球，才能保证其中一定有3个球的颜色一样【解析】把4种不同颜色看做4个抽屉，把布袋中的球看做元素。根据抽屉原理第（2）条，要使其中一个抽屉里至少有3个颜色一样的球，那么取出的球的个数应比抽屉个数的2倍多1。即2419（个）球。列算式为（31）419（个）练习21、布袋里有组都多的5种不同颜色的球。最少取出多少个球才能保证其中一定有3个颜色一样的球2、一个容器里放有10块红木块、10块白木块、10块蓝木块，它们的形状、大小都一样。当你被蒙上眼睛去容器中取出木块时，为确保取出的木块中至少有4块颜色相同，应至少取出多少块木块3、一副扑克牌共54张，其中113点各有4张，还有两张王的扑克牌。至少要取出几张牌，才能保证其中必有4张牌的点数相同例题3某班共有46名学生，他们都参加了课外兴趣小组。活动内容有数学、美术、书法和英语，每人可参加1个、2个、3个或4个兴趣小组。问班级中至少有几名学生参加的项目完全相同【解析】参加课外兴趣小组的学生共分四种情况，只参加一个组的有4种类型，只参加两个小组的有6个类型，只参加三个组的有4种类型，参加四个组的有1种类型。把464115（种）类型看做15个抽屉，把46个学生放入这些抽屉，因为463151，所以班级中至少有4名学生参加的项目完全相同。练习31、某班有37个学生，他们都订阅了小主人报、少年文艺、小学生优秀作文三种报刊中的一、二、三种。其中至少有几位同学订的报刊相同2、学校开办了绘画、笛子、足球和电脑四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）。某班有52名同学，问至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同3、库房里有一批篮球、排球、足球和铅球，每人任意搬运两个，问在31个搬运者中至少有几人搬运的球完全相同例题4从1至30中，3的倍数有30310个，不是3的倍数的数有301020个，至少要取出20121个不同的数才能保证其中一定有一个数是3的倍数。练习41、在1，2，3，49，50中，至少要取出多少个不同的数，才能保证其中一定有一个数能被5整除2、从1至120中，至少要取出几个不同的数才能保证其中一定有一个数是4的倍数3、从1至36中，最多可以取出几个数，使得这些数中没有两数的差是5的倍数例题5将400张卡片分给若干名同学，每人都能分到，但都不能超过11张，试证明找少有七名同学得到的卡片的张数相同。【证明】这题需要灵活运用抽屉原理。将分得1，2，3，11张可片看做11个抽屉，把同学人数