毕业论文-关于数学分析中极限求解的若干方法

关于数学分析中极限求解的若干方法摘要在数学分析中,极限是一个蕴含深刻辩证法的数学概念,其中渗透着常数与变数、有限与无限、精确与近似等研究函数的性质实质上是研究各种类型的极限,如连续、导数、定积分、级数等等因此,极限是数学分析中非常重要的一个概念本文主要探讨了数学分析中极限求解的几种思路和方法,结合具体的例子分析了一般极限的求解过程,给出了一般极限求解的方法和技巧,揭示了极限求解的解题思路关键词函数；极限；方法SOMESOLUTIONSOFGETTINGLIMITINMATHEMATICALANALYSISABSTRACTLIMITCONTAINSPROFOUNDDIALECTICALMATHEMATICALCONCEPTS,ITCONTAINSCONSTANTANDVARIABLE,LIMITEDANDINFINITE,PRECISEANDAPPROXIMATEINTHEMATHEMATICALANALYSIS,ITHASAVARIETYOFFORMSOFLIMITSTHISPAPERMAINLYDISCUSSESSOMEIDEASANDMETHODSINSOLVINGTHELIMITSOFMATHEMATICALANALYSIS,ANALYSISTHESOLVINGPROCESSOFAGENERALLIMIT,GIVESTHEGENERALSOLUTIONANDSKILLOFLIMIT,ANDALSOREVEALSTHETHOUGHTSOFGETINGTHELIMIT,WHICHISCOMBINEDWITHCONCRETEEXAMPLESKEYWORDSFUNCTIONLIMITSOLUTION1引言极限是数学分析中最基本的概念之一,用以描述变量在一定变化过程中的终极状态纵观数学的发展,我们可以看到人们对于极限概念的认识经历了一段漫长的过程它把初等数学扩展为一个新的阶段变量数学,整个数学分析都是以极限为基础而展开的一门数学学科从不同的数学角度去体验和理解极限这一数学概念,对于学好数学分析和其他相关课程具有很重要的意义本文主要结合相关概念、定理、性质和例题,对数学分析中极限求解的相关的方法予以归纳总结2数学分析中极限求解的方法21利用定义求极限定义1设函数在点的某个空心邻域内有定义,为定数若对XF00XUA任给的,存在正数,使得当时有00X，AF则称函数当趋于时以为极限,记作XF0X或FXLIM00XXF例1用极限的定义证明20210证由于,因此X1020202021XX20201XX于是,对任给的,取不妨设,20X则当时,有0X102X注用极限的定义时,只需要证明存在,故求解的关键在于不等式的建立在求解的过或N程中往往采用放大、缩小等技巧,但不能把含有的因子移到不等式的另一边再放大,而是应该直接N对要证其极限的式子一步一步放大,有时还需加入一些限制条件,限制条件必须和所求的或一N致,最后结合在一起考虑22利用极限的运算法则求极限定理1已知,都存在,极限值分别为,则LIM0XFLI0GAB1；BAGFXLI02；03（此时需成立BXGFLIM00例2求201LIXX解原式214LI20XX1LIM220X1LI20XX41注1对于和、差、积、商形式的函数求极限,可以采用极限运算法则,使用时需要先对函数做某些恒等变换或化简,变换的方法通常有分式的通分、约分、分解因式、分子分母有理化、三角函数的恒等变化、拆项消去法、比较最高次幂法等注2运用极限法则时,必须注意只有各项极限都存在对商,还要分母极限不为零时才能适用23利用单调有界准则求极限定理2在实数系中,有界的单调数列必有极限1例3证明数列（N重根式的极限存在NX33分析显然,故数列单调增加下面证有界由于数列由递推关系1XNX给出,解题时通常先估计出它的上下界,再用数学归纳法证明下界显然是NNX1,取上界时考虑单调递增数列的极限是它的最小上界,可先假设极限存在,且设1,再由,易得,对其两边求极限得,解得AXNLIMNNX31321NX32A,显然所有大于的实数都是的上界,为便于计算,取的上界231NNX为3,然后用数学归纳法加以证明证明1显然,故数列单调增加；NX1NX2显然0,假设,则，3130301NNX再对式子两边求极限得2NX,32A2从而21LIMNX注利用单调准则证明极限存在,主要针对递推数列,必须验证数列两个方面的性质单调性和有界性解题的难点在于判断单调性,一般通过数学归纳法、减法、除法比较前后项24利用夹逼准则求极限定理3设,且在某一空心邻域内有1AXHFXLIMLI000X0XU，GF则AXGLIM0例4求XX1SINLI20解当时,有,从而2221SINSINXX,XXSI102由夹逼准则得,01SINLIM20XX所以01SINLI20XX注1夹逼准则多适用于所考虑的函数比较容易适度放大或缩小,而且放大和缩小的函数是容易求得相同的极限基本思想是把要求解的极限转化为求放大或缩小的函数或数列的极限注2利用夹逼准则求函数极限的关键3（1）构造函数,使；XFHXFGXH（2）,由此可得AXXLIMLI00AXLIM025利用两个重要极限求极限两个重要极限（1；21SINL0XEXX1LI根据复合函数的极限运算法则,可将以上两个公式进行推广1；1SINLM0XFX,SIN,LI0XFUYXF2EGXXLI0,1,LIM0GGX例530SNTALIX求解XXXCOS1ILTLIM2030XSINSIL20XXXXCOS1LIM2IN1LISNLIM02002126利用无穷小的性质和等价无穷小代换求极限定理4设函数在内有定义,且有1,XHGF0UFX1若,则；AXHFXLIM0AXLIM02若,则BFXLI0BGHXLI0性质1有限个无穷小量的代数和为无穷小量；性质2有限个无穷小量的乘积为无穷小量；性质3常数与无穷小量的乘积是无穷小量1定理5设,均为无穷小,且,且存在,则LIMLILIM例6计算30SINTALXX解由于,而COS1TX,，0SIX020SIN3X故有21COSLIMSINTAL3030XXXX注1对于分子或分母中的两个无穷小之差不能直接用无穷小代换注2常用等价代换公式当时，,等XSINXARCSINTAXRCTANE1AXLN27利用连续性求极限定理6一切连续函数在其定义区间内的点处都连续,即如果是连续函数10的定义区间内的一点,则XFLIM00XFX例7求XXCOS1LNIM20解由于0在初等函数的定义域之内,由的连续性,有XFCOS1LN2XFXLI200F28利用罗必达法则求极限4281型不定式极限0定理7若函数和满足1XFG1；0LIMLI00FXX2在点的某空心邻域内两者都可导,且；XU0XG3可为实数,也可为,AXGFXLI0则LIM0XGFAXFLI0282型不定式极限定理8若函数和满足1F1；LIMLI00XGFX2在点的某空心邻域内两者都可导,且；0U0XG3可为实数,也可为,AXGFXLI0则LIM0XGFAXFLI0注罗必达法则是求两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限的,在同一运算过程中可连续使用,直到求出所求极限但是，对于其他不定式的极限（如等类型）如果无法,01判断其极限状态,则罗必达法则失败,但只需经过简单变换,它们一般可以化为型和型的极限0例8计算30ARCSINLIMXX解这是一个型的不定式极限,直接应用罗必达法则得原式20203013LIM31LIARCSNLIXXXXXX1LIM220X6例9XXLNI0求解这是一个型的不定式极限,用恒等变形将它转化为X1LN型不定式极限并应用罗必达法则得到XXLNIM00LIM1LII0200XX29利用导数的定义求极限5定义2设函数在点的某个邻域内有定义,若极限1XF00LIM0XFX存在,则称函数在点处可导,并称该极限为函数在点处的导数,记作XF0F0X0XF例10设存在,求HFFHLI00解FFHLIM00HXFFX000HFFFHLIMLI000XFF20XF例11求,0AFF可导，在设NNAF1LIM解这是型极限,先转化成，1NAFFNEAF1LL1其指数是型极限,由数列极限于函数极限的关系及导数的定义知0，LN1LLNIM时当AXFAFF因此由复合函数求导得原式时）当AXEEAFXFNAFFNLN1LLIM注对于一般抽象函数求极限时,如果已知它的导数是存在的,则经常利用导数的定义求极限210利用微分中值定理求极限62101用拉格朗日中值定理求极限（或柯西中值定理）定理9拉格朗日中值定理若函数满足如下条件1XF1在闭区间上连续；XFBA,2在开区间上可导；则在上至少存在一点,使得,BAABFF例12求,其中BXLIM0解由题意,可对和分别应用拉格朗日中值定理,则原式BXBXBLILNIM121BBX（其中L,21BX例13计算3ARCTNRTLI2XX解设,由于在上连续,在内可导于是FFX1,X由微分中值定理知XXFX3ARCTN1ARCTN,1使2当,所以,时X3LIM22原式2102用泰勒展式求极限（或麦克劳林展式7例14计算420COSLIXEX解因为,；81422E241COS5XOX所以1284COSLIM420XEX注1常用展式,212COS12NNOX,32NXXOXE,等1NX12SI2NN注2在计算过程中,要注意高阶无穷小的运算及处理211利用定积分求极限2111利用定积分的定义及性质求极限8定义3设在上的一个函数,是一个确定的实数若对任给的正数,1XFBAJ总存在某一正数,使得对的任何分割,以及其上任意选取的点集,只要BA,TI,就有T,NIIJXF1则称函数在区间上可积数称为在上的定积分,记作XFBA,JFBADXBA若用极限符号表达定积分,可写作BAINITDXFFJLM10例15计算NNNL2L1LIM解令函数,把等分为N份,考虑在上的定积分XFL0XF1,0由定积分的概念可知NNDXL2L1LIML10所以NNNL2L1LI1L10XD注由定积分的定义我们知道,定积分是某一和式的极限,因此,如果关于的某一和式可以表N示成某一积分的形式时,则可利用定积分,求出这个和式的极限显然,若要利用定积分求极限,其关键在于将和式化成某一函数的积分形式2112利用积分中值定理求极限9定理10设与都在上连续,且在上不变号,则至少存在1XFGBAXGBA一点,使得BADXFDXFBABA例16求极限XNN10LIM解取,则在上的最小值,最大值10,BAXFNGXF1,021M,由积分中值定理知1M,1LIMLI10NDNN原式因为,所以201LI0DXNN212利用级数求解极限102121利用级数展开式求极限例1730ARCTNSILMXX求解利用幂级数的展开式,可得原式3757530LIXXX61513LIM20X注从已知的展开式出发,通过变量代换、四则运算、逐项求导、逐项求积定义法等直接或间接地求得函数的幂级数展开式2122利用级数收敛的必要条件求极限定理11若级数收敛,则它的一般项趋于零11NUNU例18求LIMANK解研究级数,令,用比值法10NKNKAU11LIMLILIM11ANANUKKN所以级数收敛,从而1ANK10LIMANK注对某些极限可将函数作为级数的一般项,只需证明此级数收敛,便LIFNF1NF有0LIMFN213利用黎曼引理求极限10定理12若在上可积,是以为周期的函数,且在上可积,则1XFBAXGTT0有TBABANDXFDNF01LIM例19计算XN102SLI解因为的周期为,X2SI10202102SIN1SINLDXXDX83结束语极限的思想是近代数学的一种重要思想，其思想方法贯穿于微积分学的始终可以说微积分学的几乎所有概念都离不开极限本文在有关极限概念定理及性质的基础之上,通过详实的例题对于有关极限求解问题予以归纳总结对函数和数列极限求法的讨论我们可以发现,在计算极限时,其方法是多种多样的，技巧性很强,因此,本文通过一些典型例题对求极限的方法加以归纳、总结,以帮助初学者深刻地理解极限的概念并熟练掌握求极限的方法参考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