本科毕业论文-线性规划问题的解法【定稿】

本科毕业论文（设计）模板本科毕业论文设计论文题目线性规划问题的解法学生姓名学号1004970101专业数学与应用数学班级数学1001指导教师张健完成日期2014年5月20日内容摘要线性规划，是在运筹学的研究历程中涉及早、发展快、应用广的一个核心部分，它是帮助人类进行科学管理的一种数学方法,是研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法，英文缩写LP。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策、提供科学的依据。通常，线性目标函数在对应约束条件下的最大值和最小值的问题，统称为线性规划问题。求解线性规划问题的基本方法是单纯形法，现已有单纯形法的标准软件，例如MATLAB等。利用计算机，可以解决线性规划的问题。为了提高求解效率，线性规划的解法又有人工变量法、对偶单纯形法。对于只有两个或三个变量的简单的线性规划问题，也可采用图解法求解。本篇论文主要针对线性规划问题的一般解法和特殊解法进行归纳、总结和改进，并简单阐述线性规划的常用模型及应用。关键词线性规划目标函数一般解法特殊解法单纯形法THESOLUTIONTOLINEARPROGRAMMINGPROBLEMABSTRACTLINEARPROGRAMMING,ISACOREPARTWHICHINVOLVEDINTHEEARLIER,RAPIDDEVELOPMENT,WIDEAPPLICATIONINTHECOURSEOFOPERATIONSRESEARCHSTUDYITISAKINDOFMATHEMATICALMETHODTHATITCANHELPPEOPLETOMAKESCIENTIFICMANAGEMENTITALSOISMATHEMATICALTHEORYANDMETHODTHATRESEARCHLINEAROBJECTIVEFUNCTIONEXTREMUMPROBLEMSUNDERTHECONDITIONOFLINEARCONSTRAINTS,ENGLISHABBREVIATIONISLPITMAKESTHEOPTIMALDECISIONANDPROVIDESSCIENTIFICBASISFORREASONABLEUSEOFTHELIMITEDMANPOWER,MATERIALRESOURCESANDFINANCIALRESOURCES,ETCGENERALLY,THEMAXIMUMANDMINIMUMVALUEPROBLEMSABOUTLINEAROBJECTIVEFUNCTIONINTHECORRESPONDINGCONDITIONSREFERREDTOASLINEARPROGRAMMINGPROBLEMTHEBASICMETHODTOSOLVETHELINEARPROGRAMMINGPROBLEMISSIMPLESMETHODNOWITHASHADSTANDARDSOFTWAREOFSIMPLESMETHOD,SUCHASMATLABWECANTAKEADVANTAGEOFCOMPUTERTOSOLVELINEARPROGRAMMINGPROBLEMINORDERTOIMPROVETHEEFFICIENCYOFSOLVING,THESOLUTIONSOFLINEARPROGRAMMINGALSOHAVEARTIFICIALVARIABLEMETHOD,DUALSIMPLEXMETHODITALSOHASGRAPHICMETHODTOSOLVELINEARPROGRAMMINGPROBLEMWHICHONLYHASTWOVARIABLESTHISTHESISFOCUSEDONSUMMARIZEANDIMPROVEMENTSWHICHTHEGENERALSOLUTIONANDSPECIALSOLUTIONOFLINEARPROGRAMMINGPROBLEMSSIMULTANEOUSLYBRIEFLYDISCUSSESCOMMONLYUSEDLINEARPROGRAMMINGMODELANDAPPLICATIONKEYWORDSLINEARPROGRAMMINGLINEAROBJECTIVEFUNCTIONGENERALSOLUTIONSPECIALSOLUTIONSSIMPLESMETHOD目录序言1一、研究基础1（一）解决线性规划问题的一般思路1（二）线性规划数学模型建立的条件1（三）线性规划数学模型的建立1（四）线性规划数学模型的特点2（五）线性规划解的有关概念及其关系2（六）LP模型的表达形式2二、线性规划的一般解法及实例3（一）图解法3（二）单纯形法5（三）人工变量法71大M法82两阶段法10（四）对偶单纯形法12三、线性规划的特殊求解及实例14运输问题表上作业法14四、模型及其解法的应用17五、总结18参考文献19序言在现实经济活动中，我们不断碰到诸如此类的问题什么是最好的决策或者最佳的方案。例如企业在外在条件不变的情况下下，如何通过合理安排，改进生产计划，合理安排人、物和资源，使得成本最低。这些问题都可以建立一些数学模型，转化为线性规划问题，通过数学运算得到最佳解决方法。线性规划在工业、商业的管理中，可以用来解决以下问题人员分配问题、生产计划问题，配料问题、动态投资问题以及运输问题等。实际上存在大量的具体问题，但一般解决的问题为以下两种一种是给定了一定数量的资源，研究如何合理地使用它们，才能使完成的任务量最大。另一种是确定了一项任务以后，研究如何统筹安排，能够使完成此项任务所耗费的资源量为最少。实际上，上述两类问题本质是相同的，都是求问题的最优解（MAX或MIN），只是求解方向不同。1、研究基础（一）解决线性规划问题的一般思路1对问题进行系统分析，搞清决策什么和决策目标是什么2明确影响决策目标（大小变化）的因素（人为可控制的，决策变量），确定决策变量对目标（函数）影响系数，且与目标函数是否成线性关系。3制约目标的条件有哪些4建立线性规划数学模型。5模型求解与解的调试。6方案实施与调整。（二）线性规划数学模型建立的条件11优化条件线性规划问题要达到的目标能够用线性目标函数描述，且能够用极值（MAX或MIN）来表示。2限定条件满足目标需存在一些限定，这些限制能够用决策变量的线性等式或不等式表示。3选择条件存在多重选择的方案供决策者参考决定，以便找出最优方案。（三）线性规划数学模型的建立从实际问题中建立数学模型一般有一下三个步骤1找到决策变量，根据影响达到目的的因素；2确定目标函数，取决于决策变量和要达到的目的之间的函数关系；3确定决策变量所要满足的约束条件，根据决策变量所受限的条件。（四）线性规划数学模型的特点1每个模型都有一定量的决策变量（，），其中N为决策变量个数。它的1X23NX一组数值表示一种决策方案，同时决策变量一般是非负的。2目标函数是决策变量的线性函数，根据具体问题可能为最大化（MAX）或最小化（MIN），二者统称为最优化（OPT）。3约束条件也是决策变量的线性函数。我们得到的数学模型的目标函数被称为线性函数，约束条件为线性等式或不等式时，称此数学模型为线性规划模型。（五）线性规划解的有关概念及其关系21有关概念（1）可行解能够满足约束条件的全部解。（2）最优解使某线性规划的目标函数达到最优值（最大值或最小值）的任一可行解。（3）基本解在约束方程组系数矩阵中找到一个基，令这个基的非基变量为零，再求解这个M元线性方程组就可得到唯一的解，这个解称之为线性规划的基本解。（4）基本可行解满足非负约束的基本解称为基本可行解。2解之间的关系（1）最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解。（2）基本解不一定是可行解，可行解也不一定是基本解。（3）基本可行解一定是可行解，但可行解不一定是基本可行解。（4）基本可行解一定是基本解，但基本解不一定是基本可行解。（5）最优解不一定是基本解，基本解也不一定是最优解。（六）LP模型的表达形式1一般模型决策变量X（X1,X2,XN）T目标函数MAXMINZC1X1C2X2CNXN约束条件0,212221211NMNMMNXBXAAX2简约模型MAXMINZNJJXC1NJIJIMBXA1,20N3矩阵形式MAXMINZCXAXBX0其中，AMN，XIJMNMNAA212112NX21CC1C2CN，BNB212、线性规划的一般解法及实例（一）图解法31图解法原理图解法，通过作图的形式来求解线性规划问题的方法。此方法简单、直观，一般只适用于具有两个决策变量的线性规划问题。选择用图解法对实际线性规划问题求解，基本步骤为（1）建立直角坐标系；（2）根据约束条件画出可行域；（3）划过坐标原点的目标函数线；（4）判定目标函数值的增大方向；（5）目标函数线向着增大方向平移，与可行域相交，有最大目标函数值的顶点，即为线性规划问题的最优解。2图解法实例例1某场生产两种产品，下表给出了制造产品的单位所需资源及单位产品利润。问应如何安排生产计划才能使总利润最大表1产品资源III可利用资源设备128材料A4016材料B0412单位利润（元）23解决策变量设产品I、II的产量分别为X1、X2设利润为Z，则有目标函数MAXZ2X13X2约束条件0,146822X约束条件及目标函数在坐标系中的表现由图解法中的坐标图可得出最优解X（2,4）T,最优值Z143图解法解的种类由图解法原理及实例可以得出，线性规划问题的解有4种X24X1164X212可行域Z0X1X12X28（1）有唯一最优解。（2）有多重解。（3）有无界解。（4）无可行解。4图解法求解总结（1）图解法求解线性问题的最优解一般在可行域的顶点中寻找。（2）利用图解法进行求解时只可能出现四种解。（3）线性规划的可行域通常为是凸集（凸多边形）。（4）解题思路是，先找出凸集的任一顶点，计算函数值，再与周围顶点的函数值相比较。如果不是最大，继续比较，直至找出最优解。（二）单纯形法1单纯形法原理单纯形算法必须解决的三个问题（1）如何确定初始的可行解（2）如何进行解的最优性判别（3）如何寻找改进的可行解单纯性方法的基本思路单纯形法的核心变量迭代。2单纯形法的步骤4（1）将线性规划问题化成标准型。（2）找出或构造一个M阶单位矩阵作为线性规划问题的初始可行基，建立初始单纯性表。（3）计算各非基变量XJ的检验数,若所有0，则问题已得到最优解，停止计算，否则转JJ入下步。找出一个初始可行解是否最优是循环否转移到另一个基本可行解（找出更大的目标函数值）最优解结束（4）在大于0的检验数中，做某个所对应的系数列向量0，则此问题是无界解，停止KKP计算，否则转入下步。（5）根据原则，确定为换入变量（进基变量），再按规则计算KJMAXKX确定为换出变量。建立新的单纯形表，此时及变量中取代ILIKIBBNLKX了的位置。LX（6）以为主元素进行迭代，把所对应的列向量变为单位列向量，即变为1，同列中IKKXIKA其他元素为0，然后转到第（3）步。3单纯形法实例例2用一般单纯形法求解下列线性规划问题MAXZ341X20,34221解将问题化为标准型，加入松弛变量，则标准型如下3X4MAXZ34120,4321X建立初始单纯性表表2基BC1X23X4J3400BJ3X021104040130130检验数J3400检验数计算公式CJIJAC由公式计算得3，4两个检验数均大于0，故进行下一步，从一个基可行解转换到两12一个目标值更大的基可行解。由于,且40/140，30/310，所以以作为换入变量，以作为换出2134342X4X变量。新的单纯形表形成，如下。表3基CB1X（换入）23X4XCJ3400BJ3X021104040（换出）4013（化为1）013010检验数J340003X5/3化为1011/33030/5/318421/3101/31010/1/330检验数J5/3004/331X103/51/51842011/52/54检验数J0011由单纯型表得出最优解X（18,4,0,0）T,最优值Z704单纯形法基本原理定理1若线性规划问题存在可行解，则该问题的可行域是凸集。定理2线性规划问题的基可行解X对应可行域（凸集）的顶点。定理3若问题存在最优解，一定存在一个基可行解是最优解。5最优解的判别定理5（1）唯一最优解的判断最优表中所有的非基变量的检验数非零，则线性规划问题具有唯一最优解。（2）多重最优解的判断最优表中存在非基变量的检验数为零，则线性规划问题具有多重最优解。（3）无界解的判断某个0且（I1,2,M）,则线性规划具有无界解。K0IKA（三）人工变量法7若原线性规划问题的系数矩阵中没有初始基可行解（及形成单位矩阵），则先对约束条件的系数矩阵进行初等变换，形成单位矩阵后，也就形成了初始基可行解，看是否达到最优解，进行运算。例3求解下列线性规划问题MAXZ321X230,44321X解先将其标准化得MAXZ321235,21,004431JXXJ其约束条件的系数矩阵，系数矩阵中有一个单位向量，按照一14024般单纯形法方法，故需要进行初等变换，使得约束条件中出现完整的单位矩阵。得到如下矩阵3192051最优解X（31/3,13,19/3，0,0）T,最优值Z152/3若用初等变换方法无法得出单位矩阵（即初始基可行解），那么在每个约束方程中加入人工变量便可形成一组向量，这种方法即为大M法或两阶段法。1大M法人们为了让加入人工变量后线性规划问题的最优目标函数值不受影响，我们预设人工变量为一个很大的负价值系数M（M为任意大的正数）。例3用大M法求解线性规划问题。MAXZ321X230,44321X解在约束条件中加入剩余变量与松弛变量MAXZ321X235,21,004431JXJ其中可作为一个基变量。5X将上述标准型化为人工变量单纯形法模型MAXZ32MM1X236X77,21,00443154JXJ约束条件中分别加入、，目标函数中加入MM项。利用单纯形表，进行求解如下676X7表4X1X23X45X67XBCJ32100MM6431101045X112010010722100011J32M2M12MM0006X65010135330010832210001J56M5M0M002X6/5101/503/553/5003/5131/532/5012/5011/5J500002X0101213110015/331/3300102/319/3J000525/3由单纯形表得出最优解X（31/3,13,19/3,0，0）T,最优值Z152/32两阶段法两阶段法基本思路第一阶段，先不考虑原问题是否最在基可行解，先求解一个目标函数中只包含人工变量的线性规划问题，即令目标函数中其他变量的系数取零，人工变量的系数取某个正的常数，在保持原问题约束条件不变的情况下，求这个目标函数极小化的解。然后利用单纯形法求解所构造的新模型，若W0，这时，若基变量中不含人工变量或人工变量取值为0，则说明问题存在基可行解，否则停止计算，原问题无可行解。第二阶段，利用用单纯形法求解剩余问题。例4用两阶段法求解例3线性规划问题。MAXZ321X230,44321X解在约束条件中加入剩余变量与松弛变量得MAXZ321235,21,004431JXXJ其中可作为一个基变量。5X在约束方程中加入人工变量，后，得出第一阶段问题为67MINW6X77,21,00434315642JXXJ用单纯形法求解，得到第一阶段问题的计算表如下表5X1X23X45X67XBCJ00000116431101045X112010010722100011J21210006X65010135330010832210001J6501002X6/5101/503/553/5003/5131/532/5012/5011/5J00000由表中可以看出，最优解X（0,3/5,11/5,0,31/5）T，最优值W0最优解为原问题的一组基可行解，作为初始基可行解，第二阶段问题为MAXZ321X235,21,0535564314JXXXJ用单纯形法计算得到下表表6X1X23X45XBCJ3210026/5101/503/55X3/5003/5131/532/5012/5011/5J500002X0101213110015/331/3300102/319/3J000525/3最优解X（31/3,13,19/3,0，0）T,最优值Z152/33人工变量法总结在实际中，有些线性规划问题的模型中并不含有单位矩阵，为了得到一组基向量和初始基可行解，在约束条件等式左端加一组虚拟变量，得到一组基变量。这种人为加的变量成为人工变量，主要为大M法和两阶段法求解。在大M法中，M是一个很大的实际不存在的正数，不必须是具体的数值，可看做它能大于给定的任何一个确定的数。但是再用计算机处理数据时，只能用很大的数代替M，可能造成计算机上的错误，这时则采用两阶段法。人工变量法中解的判别（1）唯一最优解的判断最优表中所有的非基变量的检验数非零，则该问题具有唯一最优解。（2）多重最优解的判断最优表中存在非基变量的检验数为零，则线性规划问题有多重最优解。（3）无界解的判断某个0且（I1,2,M）,则线性规划具有无界解。K0IKA（4）无可行解的判别当用大M单纯形法计算得到最优解并且出现所有的时，无解。0J（5）退化解的判别存在某个基变量为零的基本可行解。（四）对偶单纯形法1对偶单纯形法基本思路5（1）找出一个对偶问题的可行基。（2）保持对偶问题为可行解的条件下，判断XB是否可行（XBB为非负），若可行则有最优解，结束计算。若不可行进行下一步。（3）通过变换基解，保持对偶问题为可行解的条件下，寻找LP的下一个基本可行解。2对偶单纯形法实例例5求解下列问题MINZ912151X23X3,21045132JXJ解因对偶问题可行，故将模型转化为求最大化问题，约束方程化为标准型，得出一组基本解。MAXZ912151X236,21,045305JXJ利用单纯形法列出如下单纯形表表7X1X2（换入）3X4X56XBCJ912150004X22110010523101012（换出）611500114J912150000由表中可得101214，故以14所在行变量为换出变量，并以此行为主行，此行6X中有三个负数，以为标准，得15/5，故以为换入变量，为换出变量。继续进行变量迭代。3241X4X表10X1X23456XBCJ912150001X10014/911/922010110230011/902/92J0001/337/3由表7表10的一系列计算可得原问题最优解X（2,2,2,0,0,0），最优值Z72其对偶问题最优解Y（1/3，3，7/3），最优值W723对偶单纯形法总结9（1）对偶单纯形法是求解线性规划问题的一种方法，并非去求对偶问题的最优解。（2）初始表应当令对偶问题可行，也就是说检验数满足最优判别准则。（3）对偶单纯形法与普通单纯形法的换基顺序不一样，普通单纯形法是先确定进基变量后确定出基变量，而偶单纯形法是先确定出基变量后确定进基变量。（4）对偶单纯形法通常用于需要进行灵敏度分析的线性规划问题，利用对偶单纯形法的最终表进行灵敏度分析，进而解决线性规划问题。3、线性规划的特殊求解及实例运输问题表上作业法8运输问题本质上也是一种线性规划问题，其大体思路与单纯形法本质思路一致，只是由于运输问题的变量多，因而不能用单纯形法，而是用表上作业法进行求解。运输问题就是研究在保证供需各方合理要求的前提下，如何合理安排调运，而取得最好的经济效益问题。对于求解运输问题，表上作业法是既简便又高效的方法，它是一种迭代法，迭代步骤为先找出一个初始解（初始调运方案）；再对现形解作最优性判别；若此解解并非最优解，就在运输表上对它进行调整改进，得出一个新解；再次进行判别和改进；直至得到运输问题的最优解为止。表上作业法中，在确定初始基可行解时最常用有三种方法最小元素法，西北角法，沃格尔法。在解的最优性检验中，闭回路法是最常用的方法。例6某公司有3个生产同类产品的工厂（产地），产品由4个销售点（销地）卖出，各工厂的生产量、各销售点的销售量（假定单位均设为T）以及各工厂到各销售点的单位运价（元/T）均列于于下表，使求解产品如何调运才能使总运费最小。表11销地产地1B23B4产量4124111A1621039210851163A22销量814121448由于总产量与总销量均为48，故此运输问题为产销平衡运输问题。用表示由第I个产地运往第J个销地的产品数量，即可写出该问题的数学模型IJX4124112103985116314MNIJIJCZ1X213X421X23X4312X34X4,321,0821063421433121431321JIXXIJ运输问题解的每一个分量，都相应对应表中的一个方格。得出运输问题的一个基可行解后，就将基变量的数值填入相应的格内。IJX1第一步寻找初始基可行解10为了减少费用，通常优先考虑单位运价最少（或运距最短）的供销业，最大限度地满足其供销量。即对所有的I和J，找出，并将的物品量由供应给MIN0JJIC,MIN00JJIBAX0IA。0IB若,则产地的可供物品已用完，那么此后不再继续考虑这个产地，且的需求0JIXIA0IA0IB量由减少为。B0I若，则销地的需求以全部得到满足，以后不再继续考虑这个销地，且的可供0JII0IB0IA量由减少为。0IB第一步因到的单位运价2最小，故首先考虑这项运输业务。由于MIN,8,2A12A1B故在表中（，）格中填8，此时的可供量为2；的需求量全部得到满足，在今A2A1BB后的运输量分配时不再考虑，故划去列。1B第二步在尚未划去的各格中在寻求最小的单位运价，为3对应（，），供应后2A321B的供应能力为2小于12，故在格中填2。此时的供应能力用尽，划去。3B2第三步在（，）格中填入10，划去列。1A3第四步在（，）格中填入14，划去列。32B2B第五步在（，）格中填入8，划去行。43A第六步在未被划去的格种填入6。使得供应量和的需求量同时得到满足，并同时划去14行和列。此时所有的格都被划掉，所有供销要求均得到满足。故得到如下表1A4表12销地产地1B23B4产量1A4124111610622103910823A8511622148销量814121448第一步第四步第三步第六步第六步第二步第五步这是得到了该运输问题的一个初始解10，6，8，2，14，8，13X1421X232X34其他变量全等于0。由此得到总运费246，314MINIJIJCZ这个解满足所有约束条件，其非零变量的个数为6。2第二步解的最优性检验如果想确定运输问题的某个解是否为最优解，可仿照一般单纯形法，检验这个解的各非基变量的检验数，若有某个空格的检验数为负，说明当前解不是最优解。若所有的检验数均为0或正数，那么这个解就是最优解。经过各个有空格的数字的加减，形成闭合回路，则数字称为其检验数。上述例题中，经计算得各个空格的检验数如下105611431，以此类推得2，1，10，2C3214C3212431123由于10，故上述解并非最优解。243第三步解的改进以为换入变量，寻找换入变量在运输表中的闭回路。由于10，故以为换入变量，IJX2424X对应的闭回路如下表表13该闭合回路的偶数顶点位于格（，），（，），由于2故1A4B23,MIN2314X,6IN作如下调整加2，减2，4X14X加2，减2133故新的基可行解是12，4，8，0，14，8，其他的为非基变量。11421X2432X341A41241116（2）106（2）22103910（2）2（2）此时的目标函数值为244。用同样的方法得到的检验数均大于0，故此解为最优解。4表上作业法总结运输问题一般形式是设某种原材料有M个产地，通常称为发点，产量1A2N分别为，个单位（通常称为供应量或发量），另外有N个销地，1A2MA1B，（通常称为收点），销量分别为，个单位（通常称为需求量或收量）。2BN1B2B一般具有以下特点（1）运输问题有有限最优解（2）其约束条件信息数矩阵的元素等于0或1。（3）约束条件思数据帧的每一列有两个非零元素，这对应于每一个变量在前M个约束方程中出现一次，在后N个约束方程中也出现一次。（4）对于产销平衡的运输问题而言，所有结构约束条件都是等式约束，各产地产量之和等于各销地销量之和。4、模型及其解法的应用61合理利用线材问题如何下料能够令使用的材料最少。2产品生产计划合理利用人力、物力、财力等，使某活动获利最大。3劳动力安排用最少的劳动力来满足工作的需要。4运输问题如何制定调运方案，使总运费最小。5配料问题在原料供应量的限制下如何获取最大的利润。6投资问题从投资项目中选取方案，使投资回报最大。例7某公司承诺为某建设项目从2003年起得四年中每年初分别提供一下数额贷款03年100万，04年150万，05年120万，06年110万。以上贷款资金均需于2002年底前筹集齐，但为了发挥这笔资金的运用，在满足每年贷款额的情况下，可将多余资金分别用于下列投资项目。（1）03年初购买A种债券，期限3年，到期后本息合计为投资额的140，但限购60万元。（2）03年初购买B种债券，期限2年，到期后本息合计为投资额的125，但限购90万元。（3）03年初购买C种债券，期限2年，到期后本息合计为投资额的130，但限购50万元。（4）于每年初将任意数额的资金存放于银行，年息4，与每年底取出。问该公司应如何运用好这笔筹集到的资金，使2002年底需筹集到的资金数额为最少解设X为2002年底公司需筹集到的资金额，、分别为2003,2004,2005年年初1Y23存放到银行的资金数，、为购买A、B、C债券的数额（单位均为万元），则列出下列123模型XZMINSTCBAJIYXYYXJICABA,0,3210,41510321经过上述论文中的求解方法进行求解后得到购买A、B、C分别为60,90,20万元，03、04、05年初分别存放到银行170，72，0万元，使得至少筹集到4202万。5、总结从上述论文中可以清楚的看出，当线性规划问题中只有两个变量，图解法是众多方法中最简便易行的，而且形象直观。但是，如果决策变量多于2个时，图解法则需要在三维立体图形上画出进而确定最优解，但画出立体图形相对困难。当决策变量多于3个时，无法再画出图形，那么图解法就失效了。因此有必要研究线性规划问题更通用的解法，这种方法就是单纯形法。该方法是以可行域的一个顶点为基础上，寻找目标函数在众多顶点中，有所改进的另一点。这样重复迭代，直到得出的一个最优解为止。在原始单纯形算法中，先根据检验数和符号选取进基变量和出基变量，而在对偶单纯形算法中，先根据右端向量元素的符号选取出基变量，然后再确定进基变量。线性规划作为运筹学的核心部分，它在帮助企业制定经营决策，针对企业资源配置的优化，成本的降低、实现效益最大化等都具有举足轻重的作用。因此，学习线性规划等相关方面的的知识，是非常必要的。参考文献1刁在筠，刘桂真，马建华，苏洁运筹学（第三版）M高等教育出版社，20072胡运权，郭耀煌运筹学教程（第二版）M清华大学出版社，20023张干宗线性规划（第二版）M武汉大学出版社，20074刘文德，孙秀梅，皮小平线性规划M哈尔滨工业大学出版社，20045曾梅清线性规划问题的算法综述J科学技术与工程，2010016薛静芳线性规划的单纯性算法研究及应用D大连海事学院，2009057梁秀均线性规划算法的一些改进J系统工程理论与实践，1986048张忠文，王世辉求解线性规划问题最优解时常遇到的集中特殊情况J甘肃联合大学学报，2010039熊伟运筹学M机械工业出版社，200910韩润春运筹学M中国铁道出版社，2010请您删除一下内容，O_O谢谢MANYPEOPLEHAVETHESAMEMIXEDFEELINGSWHENPLANNINGATRIPDURINGGOLDENWEEKWITHHEAPSOFTIME,THESEVENDAYCHINESE请您删除一下内容，O_O谢谢NATIONALDAYHOLIDAYCOULDBETHEBESTOCCASIONTOENJOYADESTINATIONHOWEVER,ITCANALSOBETHEEASIESTWAYTORUINHOWYOUFEELABOUTAPLACEANDYOUMAYBECOMEMOREFATIGUEDAFTERTHEHOLIDAY,DUETOBATTLINGTHELARGECROWDSDURINGPEAKSEASON,ADREAMABOUTAPLACECANTURNTONIGHTMAREWITHOUTCAREFULPLANNING,ESPECIALLYIFYOUTRAVELWITHCHILDRENANDOLDERPEOPLEASMOSTCHINESEPEOPLEWILLTAKETHEHOLIDAYTOVISITDOMESTICTOURISTDESTINATIONS,CROWDSANDBUSYTRAFFICAREINEVITABLEATMOSTPLACESALSOTOBEEXPECTEDAREINCREASINGTRANSPORTANDACCOMMODATIONPRICES,WITHTHEPOSSIBILITYTHATTHEREWILLBENOROOMSAVAILABLEITISALSOCOMMONTHATYOULLWAITINTHELINEFORONEHOURTOGETATICKET,ANDANOTHERTWOHOURSATTHESITE,TOONLYSEEATINYBITOFTHEPLACEDUETOTHECROWDSLASTYEAR,428MILLIONTOURISTSTRAVELEDINCHINAOVERTHEWEEKLONGHOLIDAYINOCTOBERTRAVELINGDURINGTHISPERIODISAMATTERTHATNEEDSTHOROUGHPREPARATIONIFYOUARESHORTONTIMETOPLANTHEUPCOMING“GOLDENWEEK“ITMAYNOTBEABADIDEATOAVOIDSOMEOFTHEMOSTCROWDEDPLACESFORNOWTHEREISALWAYSAPLACESOFASCINATINGTHATEVERYONEYEARNSFORARXANISAPLACELIKETHISTHEBEAUTYOFARXANISEVERLASTINGREGARDLESSOFTHECHANGINGOFFOURSEASONSBESTOWEDBYNATURE,ITSSPECTACULARSEASONALLANDSCAPEANDMOUNTAINSAREJUSTBEYONDWORDARXANISACRUCIALDESTINATIONFORTHERECOMMENDEDTRAVELLINGROUTE,“CHINAINNERMONGOLIAARXANHAILARMANZHOULI“ITISALSOTHEJOINTOFTHEFOURPRAIRIESACROSSTHESINOMONGOLIANBORDER,WHEREPEOPLEGRAVITATETOWARDSTHEEXOTICATMOSPHEREMIXEDWITHCHINESE,RUSSIAN,ANDMONGOLIAELEMENTSASAHISTORICSITEFORTHEYITIANBATTLE,ARXANSTILLEMBODIESTHESPIRITOFGENGHISKHANWALKINGINTOARXAN,YOUWILLBEAMAZEDBYAKALEIDOSCOPEOFGORGEOUSCOLORSALLTHEYEARROUNDTHESPRINGAZALEASBLOOMINGREDINTHESNOW,THESUMMERSEAWAVERINGBLUEINTHEBREEZE,THEAUTUMNLEAVESPAINTEDINYELLOWCOVERINGVOLCANICTRACES,ANDTHEWINTERWOODSSHININGWHITEONTHEVASTALPINESNOWSCAPEHINGGANLEAGUEARXANCITYISSITUATEDINTHEFAREASTERNAREAOFINNERMONGOLIAAUTONOMOUSREGIONITSFULLNAME“HARENARXAN“MEANS“HOTHOLYWATER“INTHEMONGOLIANLANGUAGEARXANISATOURISMCITYINTHENORTHERNFRONTIERWITHABLENDOFLARGEFOREST,GRANDPRAIRIES,VASTSNOWFIELD,HEAVENLAKECLUSTER,THERMIUM,ASWELLASVOLCANICCLUSTERITISARAREANDUNIQUEECOTOURISMBASEFILLEDWITHHEALTHYSUNSHINE,CLEANAIRANDUNSPOILEDGREENNESTLEDCLOSETOTHECOUNTRYSLARGESTVIRGINFOREST,ANDKNOWNFORITSSPRINGANDECOLOGICALENVIRONMENT,ARXANISMARVELEDATBYMANYTOURISTSASTHEPURESTLANDONEARTHYOUCANNOTMISSOUTTHEAUTUMNOFARXANITISDEFINITELYTHEBESTWITHBRIGHTLYCOLOREDSCENERYFULLOFEMOTIONSAUTUMNINTHENORTHERNPARTOFTHECOUNTRYCOMESEARLIERTHANTHESOUTHASEPTEMBERRAINFOLLOWEDBYTHEFOOTPRINTSOFAUTUMNBRINGSMORECOLORSTOTHEONCEEMERALDGREENMOUNTAINANDBLOOMINGGRASSLANDSHUTTERBUGSFLOCKTOSEEFORTHEMSELVESTHEMARVELOFSPLENDIDCOLORSAROUNDTHEMOUNTAINSANDWATERS,MANYOFWHOMHAVETRAVELALONGDISTANCEANDEVENCAMPHEREONLYTOCAPTUREAMOMENTOFTHENATUREWONDERTHESILVERBIRCHTURNSGOLDEN,WHILETHELARCHISSTILLPROUDLYGREENYOUWILLFINDYOURSELFDROWNEDINTHEINTOXICATINGREDOFTHEWILDFRUITSASWELLASTHEGLAMOUROFFLOWERSINFULLBLOWNANDYOURHEARTWILLBELINGERINGONTHEWOODSASITSTIMEFORTHEWILDFRUITSTORIPETHEPICTURESQUEARXANINAUTUMNISINDEEDAFAIRYLANDONLYEXISTSINADREAMTHATSATISFIESALLYOURFANTASIESIFITRAINSHEAVILYONSATURDAYNIGHT,SOMEELDERLYCHINESEWILLSAYITISBECAUSEZHINU,ORTHEWEAVINGMAID,ISCRYINGONTHEDAYSHEMETHERHUSBANDNIULANG,ORTHECOWHERD,ONTHEMILKYWAYMOSTCHINESEREMEMBERBEINGTOLDTHISROMANTICTRAGEDYWHENTHEYWERECHILDRENONQIXI,ORTHESEVENTHNIGHTFESTIVAL,WHICHFALLSONTHESEVENTHDAYOFTHESEVENTHLUNARMONTH,WHICHISUSUALLYINEARLYAUGUSTTHISYEARITFALLSONSATURDAY,AUGUST2FOLKLORESTORYASTHESTORYGOES,ONCETHEREWASACOWHERD,NIULANG,WHOLIVEDWITHHISELDERBROTHERANDSISTERINLAWBUTSHEDISLIKEDANDABUSEDHIM,ANDTHEBOYWASFORCEDTOLEAVEHOMEWITHONLYANOLDCOWFORCOMPANYTHECOW,HOWEVER,WASAFORMERGODWHOHADVIOLATEDIMPERIALRULESANDWASSENTTOEARTHINBOVINEFORMONEDAYTHECOWLEDNIULANGTOALAKEWHEREFAIRIESTOOKABATHONEARTHAMONGTHEMWASZHINU,THEMOSTBEAUTIFULFAIRYANDASKILLEDSEAMSTRESSTHETWOFELLINLOVEATFIRSTSIGHTANDWERESOONMARRIEDTHEYHADASONANDDAUGHTERANDTHEIRHAPPYLIFEWASHELDUPASANEXAMPLEFORHUNDREDSOFYEARSINCHINAYETINTHEEYESOFTHEJADEEMPEROR,THESUPREMEDEITYINTAOISM,MARRIAGEBETWEENAMORTALANDFAIRYWASSTRICTLYFORBIDDENHEORDEREDTHEHEAVENTROOPTOCATCHZHINUBACKNIULANGGREWDESPERATEWHENHEDISCOVEREDZHINUHADBEENTAKENBACKTOHEAVENDRIVENBYNIULANGSMISERY,THECOWTOLDHIMTOTURNITSHIDEINTOAPAIROFSHOESAFTERITDIEDTHEMAGICSHOESWHISKEDNIULANG,WHOCARRIEDHISTWOCHILDRENINBASKETSSTRUNGFROMASHOULDERPOLE,OFFONACHASEAFTERTHEEMPRESSTHEPURSUITENRAGEDTHEEMPRESS,WHOTOOKHERHAIRPINANDSLASHEDITACROSSTHESKYCREATINGTHEMILKYWAYWHICHSEPARATEDHUSBANDFROMWIFEBUTALLWASNOTLOSTASMAGPIES,MOVEDBYTHEIRLOVEANDDEVOTION,FORMEDABRIDGEACROSSTHEMILKYWAYTOREUNITETHEFAMILYEVENTHEJADEEMPERORWASTOUCHED,ANDALLOWEDNIULANGANDZHINUTOMEETONCEAYEARONTHESEVENTHNIGHTOFTHESEVENTHMONTHTHISISHOWQIXICAMETOBETHEFESTIVALCANBETRACEDBACKTOTHEHANDYNASTY206BCAD220TRADITIONALLY,PEOPLEWOULDLOOKUPATTHESKYANDFINDABRIGHTSTARINTHECONSTELLATIONAQUILAASWELLASTHESTARVEGA,WHICHAREIDENTIFIEDASNIULANGANDZHINUTHETWOSTARSSHINEONOPPOSITESIDESOFTHEMILKYWAYCUSTOMSINBYGONEDAYS,QIXIWASNOTONLYASPECIALDAYFORLOVERS,BUTALSOFORGIRLSITISALSOKNOWNASTHE“BEGGINGFORSKILLSFESTIVAL“OR“DAUGHTERSFESTIVAL“INTHISDAY,GIRLSWILLTHROWASEWINGNEEDLEINTOABOWLFULLOFWATERONTHENIGHTOFQIXIASATESTOFEMBROIDERYSKILLSIFTHENEEDLEFLOATSONTOPOFTHEWATERINSTEADOFSINKING,ITPROVESTHEGIRLISASKILLEDEMBROIDERSSINGLEWOMENALSOPRAYFORFINDINGAGOODHUSBANDINTHEFUTUREANDTHENEWLYMARRIEDWOMENPRAYTOBECOMEPREGNANTQUICKLYTRADITIONTRANSFORMEDTHELOVESTORYOFNIULANGANDZHINU,ANDTHEQIXIFESTIVALHAVEBEENHANDEDDOWNFORGENERATIONSYETTHESEANCIENTTRADITIONSANDCUSTOMSARESLOWLYDYINGOUTMANYMODERNCHINESE,PARTICULARLYYOUNGSTERS,SEEMTOKNOWMOREABOUTSTVALENTINESDAYONFEBRUARY14,CHARACTERIZEDBYBOUQUETSOFROSES,CHOCOLATESANDROMANTICCANDLELIGHTDINNERS,THANTHEYDOABOUTTHEIRHOMEGROWNDAYFORLOVERSEVENQIXIISNOWADAYSREFERREDTOASTHE“CHINESEVALENTINESDAY“MOREANDMOREYOUNGCHINESEPEOPLEBEGINTOCELEBRATETHISDAYINAVERYSIMILARWAYASTHATINWESTERNCOUNTRIESFEWERPEOPLETHANEVERWILLGAZEATTHEHEAVENSONSATURDAYTOPICKOUTTHETWOSTARSSHININGBRIGHTONEITHERSIDEOFTHEMILKYWAY,THATIS,IFPEOPLEEVENKNOWONWHICHDAYQIXIFALLSTHEREAREREADYREMINDERSDOTTEDABOUT,INTHEFORMOFBIGADSSAYING“SALESONCHINESEVALENTINESDAY“INSHOPS,HOTELSANDRESTAURANTSBUTFEWYOUNGWOMENWILLMARKTHEFESTIVALWITHTHEIRBOYFRIENDS,ORTAKEPARTINTRADITIONALACTIVITIESTOPRAYFORCLEVERNESSALARGESCALEOFEXHIBITIONONTHESILKROADOPENEDTOTHEPUBLICINTHENAT