本科毕业论文-微积分在几何上的应用

学科分类号0701本科生毕业设计论文题目（中文）微积分及其应用（英文）CALCULUSANDTHEAPPLICATIONOFTHECALCULUS学生姓名吴伟明学号0809401040系别数学系专业数学与应用数学指导教师吴红英起止日期2011122012052012年5月1日目录摘要I关键词IABSTRACTIKEYWORDSI1前言22微积分介绍221微积分的基本内容2211微积分的发展23微积分在几何中的应用231求平面图形的面积232求平面曲线的弧长4微积分在经济学中的应用241导数在经济学边际分析部分的应用2411第四章三级标题25微积分在物理学中的应用251第五章二级标题2511第五章三级标题26结束语2参考文献2致谢2附录A2微积分及其应用摘要微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求解导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了行星运动三定律。此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。希望通过本文的介绍能使人们意识到微积分与其他各学科的密切关系，让大家能意识到理论与实际结合的重要性。关键词微积分；应用；经济学；物理学；几何CALCULUSANDTHEAPPLICATIONOFTHECALCULUSABSTRACTCALCULUSISABRANCHOFMATHEMATICSTOSTUDYTHEDIFFERENTIAL,INTEGRALOFFUNCTION,ANDTHECONCERNCONCEPTSANDAPPLICATIONSINHIGHERMATHEMATICSITISABASICDISCIPLINEOFMATHEMATICSITINCLUDESLIMITS,DIFFERENTIALCALCULUS,INTEGRALCALCULUSANDTHEUSEOFDIFFERENTIALCALCULUSDIFFERENTIALCALCULUSINCLUDESSOLVINGTHEDERIVATIONOFTHEOPERATORANDITISATHEORYABOUTTHERATEOFCHANGEITMAKESTHEFUNCTION,VELOCITY,ACCELERATION,ANDTHESLOPEOFTHECURVECANBEDISCUSSEDTHROUGHACOMMONSETOFSYMBOLSCALCULUSANDTHECOMPUTINGTHEOPERATIONPROVIDEACOMMONSETOFMETHODSFORTHEDEFINITIONANDCALCULATIONOFTHEAREAANDVOLUMECALCULUSDEVELOPSWITHTHEAPPLICATIONOFTHECALCULUSNEWTONUSEDCALCULUSANDDIFFERENTIALEQUATIONSTODERIVETHETHREELAWSOFTHEMOVEMENTOFTHEPLANETFROMTHELAWOFUNIVERSALGRAVITATIONINITIALLYSINCETHEN,THECALCULUSNOTONLYPROMOTESTHEDEVELOPMENTOFMATHEMATICSGREATLY,BUTPROMOTESTHEVARIOUSBRANCHESABOUTNATURALSCIENCES,SOCIALSCIENCESANDAPPLIEDSCIENCEGREATLY，SUCHASASTRONOMY,MECHANICS,PHYSICS,CHEMISTRY,BIOLOGY,ENGINEERINGANDECONOMICSANDITAPPLICANTSWIDENANDWIDENINTHESEDISCIPLINES,ESPECIALLYCONTRIBUTESTOTHECONTINUOUSDEVELOPMENTOFTHESEAPPLICATIONSAFTERTHEEMERGENCEOFTHECOMPUTERIHOPETHATICANMAKEPEOPLEAWAREOFTHECLOSERELATIONSHIPOFTHECALCULUSANDOTHERDISCIPLINESTHROUGHTHISARTICLE,SOTHATWECANAWAREOFTHEIMPORTANCEOFTHECONNATIONBETWEENTHEORYANDPRACTICEKEYWORDSCALCULUSAPPLICATIONECONOMICSPHYSICS前言微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具。如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。通过研究微积分在物理，经济等方面的具体应用，得到微积分在现实生活中的重要意义，从而能够利用微积分这一数学工具科学地解决问题。微积分的发展历史表明了人的认识是从生动的直观开始，进而达到抽象思维，也就是从感性认识到理性认识的过程。人类对客观世界的规律性的认识具有相对性，受到时代的局限。随着人类认识的深入，认识将一步一步地由低级到高级、不全面到比较全面地发展，人类对自然的探索永远不会有终点。2微积分的介绍21微积分的基本内容211一阶微分定义设函数在某区间内有定义，及在此区间内。XFY0XX如果函数的增量，可表示为（其0F0FXOAY中A是不依赖于的常数），而是比高阶的无穷小，那么称XXO函数FX在点是可微的，且称作函数在点相应于自变量增0A0X量的微分，记作，即。XDYX通常把自变量X的增量称为自变量的微分，记作，即DX。于是函数的微分又可记作。函数的微分XDFYFDY与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。几何意义设是曲线上的点M的在横坐标上的增量，是XXFYY曲线在点M对应在纵坐标上的增量，是曲线在点M的切线对应DY在纵坐标上的增量。当非常小时，比要小得多X|X|X高阶无穷小，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。212多元微分多元微分又叫全微分，是由两个自变量的偏导数相对应的一元微分的增量表示的。为函数Z在点处的全增量（其中A、BOYBXAZ,YX不依赖于和，而只与X、Y有关，,即是Z2YX在点的全微分。总的来说，微分学的核心思想便是以直线代替曲线，即在微小的邻域内，可以用一段切线段来代替曲线以简化计算过程。21不定积分设为函数的一个原函数，我们把函数的所有原函数XFXFXF（C为任意常数）叫做函数的不定积分。记作。XFDXF其中叫做积分号，叫做被积函数，X叫做积分变量，叫F做被积式，C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。由定义可知求函数的不定积分，就是要求出的所有的原XFXF函数，由原函数的性质可知，只要求出函数的一个原函数，再F加上任意的常数C，就得到函数的不定积分。XF211积分与微分关系积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。一个函数的不定积分指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数，其中一个实变函数在区间上的定XFCXF,BA积分，是一个实数。它等于该函数的一个原函数在B的值减去在A的值。积分从不同的问题抽象出来的两个数学概念。定积分和不定积分的统称。不定积分是为解决求导和微分的逆运算而提出的。例如已知定义在区间I上的函数，求一条曲线，使得它XFLXFY,在每一点的切线斜率为。函数的不定积分是的FXFF全体原函数（见原函数），记作。如果是的一个原函数，F则，其中C为任意常数。例如，定积分是以平面图形的面积问题引出的。为定义在上的函数，为求由和XFY,BA0,YBXA所围图形的面积S，采用古希腊人的穷竭法，先在小范围内F以直线代替曲线，求出S的近似值，再取极限得到所求面积S，为此，先将分成N等分，取，,BABXAN10,1IIXI记，则为S的近似值，当时，的极限应可作1IIIXPNP为面积S。把这一类问题的思想方法抽象出来，便得定积分的概念对于定义在上的函数，作分划，若存在,BAXFYBXAN10一个与分划及的取法都无关的常数I，使得,其中则称I,1IIX为在上的定积分，表为即称为积分区间，为被积XF,BXF函数，A，B分别称为积分的上限和下限。当的原函数存在时，XF定积分的计算可转化为求的不定积分这是C牛顿莱布尼兹公XF式。22微积分的发展微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具。微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。早在古希腊时期，欧多克斯提出了穷竭法。这是微积分的先驱，而我国庄子的天下篇中也有“一尺之锤，日取其半，万世不竭”的极限思想，公元263年，刘徽的九间算术作注时提出了“割圆术”，用正多边形来逼近圆周。这是极限论思想的成功运用。积分概念是由求某一些面积、体积和弧长引起的，古希腊数学家阿基米德在抛物线求积法中求出抛物线弓形的面积，人没有用极限，是“有限”开工的穷竭法，但阿基米德的贡献真正成为积分学的萌芽。微分是联系到对曲线作切线的问题和函数的极大值、极小值问题而产生的。微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作起源于1629年费尔玛陈述的概念，他给同了如何确定极大值和极小值的方法。其后英国剑桥大学三一学院的教授巴罗又给出了求切线的方法，进一步推动了微分学概念的产生。前人工作终于使牛顿和莱布尼茨在17世纪下半叶各自独立创立了微积分。1605年5月20日，在牛顿手写的一面文件中开始有“流数术”的记载，微积分的诞生不妨以这一天为标志。牛顿关于微积分的著作很多写于16651676年间，但这些著作发表很迟。他完整地提出微积分是一对互逆运算，并且给出换算的公式，就是后来著名的牛顿莱而尼茨公式。如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分枝还是牛顿和莱布尼茨。微积分的产生一般分为三个阶段极限概念；求积的无限小方法；积分与微分的互逆关系。最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的。前两阶段的工作，欧洲的大批数学家一直追朔到古希腊的阿基米德都作出了各自的贡献。对于这方面的工作，古代中国毫不逊色于西方，微积分思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学不能比拟的。公元前7世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想；公元前4世纪墨经中有了有穷、无穷、无限小、无穷大的定义和极限、瞬时等概念。刘徽公元263年首创的割圆术求圆面积和方锥体积，求得圆周率约等于31416，他的极限思想和无穷小方法，是世界古代极限思想的深刻体现。微积分思想虽然可追朔古希腊，但它的概念和法则却是16世纪下半叶，开普勒、卡瓦列利等求积的不可分量思想和方法基础上产生和发展起来的。而这些思想和方法从刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的证明到公元5世纪祖恒求球体积的方法中都可找到。北宋大科学家沈括的梦溪笔谈独创了“隙积术”、“会圆术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究。从微积分成为一门学科来说，是在17世纪，但是，微分和积分的思想早在古代就已经产生了。公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德的著作圆的测量和论球与圆柱中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。作为微积分的基础极限理论来说，早在我国的古代就有非常详尽的论述，比如庄周所著的庄子一书中的“天下篇”中，著有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的高徽在他的割圆术中提出“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。他在1615年测量酒桶体积的新科学一书中，就把曲线看成边数无限增大的直线形。圆的面积就是无穷多的三角形面积之和，这些都可视为黄型极限思想的佳作。意大利数学家卡瓦列利在1635年出版的连续不可分几何，就把曲线看成无限多条线段（不可分量）拼成的。这些都为后来的微积分的诞生作了思想准备。由于16世纪以后欧洲封建社会日趋没落，取而代之的是资本主义的兴起，为科学技术的发展开创了美好前景。到了17世纪，有许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述问题做了大量的研究工作。笛卡尔1637年发表了科学中的正确运用理性和追求真理的方法论（简称方法论），从而确立了解析几何，表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来发现几何性质，证明几何性质。他不仅用坐标表示点的位置，而且把点的坐标运用到曲线上。他认为点移动成线，所以方程不仅可表示已知数与未知数之间的关系，表示变量与变量之间的关系，还可以表示曲线，于是方程与曲线之间建立起对应关系。此外，笛卡尔打破了表示体积面积及长度的量之间不可相加减的束缚。于是几何图形各种量之间可以化为代数量之间的关系，使得几何与代数在数量上统一了起来。笛卡尔就这样把相互对立的“数”与“形”统一起来，从而实现了数学史的一次飞跃，而且更重要的是它为微积分的成熟提供了必要的条件，从而开拓了变量数学的广阔空间。3微积分在几何中的应用31求平面图形的面积311直角坐标情形设曲线与直线及X轴所围曲边梯形0XFY,BAX面积为A,取X为积分变量,则，则此面积为，FADXFABAD面积为XFFBAD21例1计算两条抛物线在第一象限所围图形的面积。2,Y解由得交点，2XY1,0,XADD21001323X例2计算抛物线与直线所围图形的面积。XY24XY解由得交点为简便计算,选取Y积分变量,42X8,则有YYADD2124236121Y8312设，求曲线及射线围成0,CR,的曲边扇形的面积。在区间上任取小区间，则对应,D该小区间上曲边扇形面积的近似值为，所求曲边扇形21D2A的面积为D21A例3计算阿基米德螺线对应从变到所围图形面0AR02积。解2320322041D1AAA32求平面曲线的弧长定义若在弧AB上任意作内接折线,当折线段的最大边长时，线的长度趋向于一个确定的极限,则称此极限为曲线弧AB的弧长，即，称此曲线弧为可求长的。定理任意光滑曲线弧IINIMS10LM都是可求长的。321曲线弧由直角坐标方程给出弧长元素BXAFY，因此所求弧长XYXSD1DD22XFSD12322曲线弧由参数方程给出,弧长元素弧TTY微分,因此所求弧长TXSDDD2222TTS22323曲线弧由极坐标方程给出,另R，则得弧长为，因此所SIN,COSRYRXD22RDS求弧长D22例子求连续曲线段的弧长TYXDCOS2解，,0COSX2XY122XDCOS12024IN22X33求立体的体积331平行截面面积为已知函数的立体体积设所给立体垂直于X轴的截面面积为,在上连续,XABA则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体D,VD积为XAVBA例4一个平面经过半径为R的圆柱体的底面圆的中心,并与底面交成角,计算该平面所截圆柱体所得立体的体积。解取坐标系，则圆的方程为，垂直于X轴的截面是直22YX角三角形,其面积为，利用对称性TAN1RARTAN31T2DTAN21202XXRV34求旋转体的体积当我们考虑到连续曲线段绕X轴，轴旋转一周所BAXFY围成的立体体积时,有，当我们考虑到连续曲线段BADV2绕Y轴旋转一周所围成的立体体积时,有DYCXVDC2例5计算由椭圆所围图形绕X轴旋转而转而成的椭球体12BYAX的体积解利用直角坐标方程，则2AXABY20202234DDXAXYVA35求旋转体的侧面积设平面光滑曲线，且，求它绕X轴旋转一周,1BACXFY0XF所得到的旋转曲面的侧面积侧面积元素位于上的圆台的侧D,面积，积分后得旋转体的侧面积XFXFSYSD12D2XFBA12注意侧面积元素，因为不是薄片侧面积YXSS2YDX2的线性主部。若光滑曲线由参数方程给出，则STT它绕X轴旋转一周所得旋转体的侧面积为TTTSD222例子求由星形线绕X轴旋转一周所得的旋转TAYX33SIN,COS体的表面积S。解利用对称性20420351DCOSI1SI2ATT4微积分在经济学中的应用微积分在经济领域中的应用，主要是研究在这一领域中出现的一些函数关系，因此必须了解一些经济分析中常见的函数。导数在经济学中的应用是十分广泛的，因为在经济学中很多函数里面都有导数的存在才能去进行一些定量分析进而得出最优化的结果。根据导数的一些性质可以为大家解释一些经济学函数图像的走向问题，为何会出现此种走向等等。同样的在极限的概念基础上面，很多微积分的概念理论得到发展，很多经济学的知识也得到有效的解决。像一些复利问题，还有用极限方法解决弹性计算问题。积分的应用是由人们在生产生活活动中，为了解决复杂和动态过程的量化累积而引入的。在日常经济活动中，积分的应用也非常广泛，比如求总值（如总成本和总利润等），包括其他变量时间累计的总量等。这些经济活动内容涉及到很多个领域，且函数表达方式都有所不同，但它们的原理都是一样的。这些都是微积分在经济学中的广泛应用。41导数在经济学中的应用我们先介绍下导数的定义导数反映函数的自变量在变化时，相应的函数值变化的快慢程度变化率。函数在某一点XFY的导数表达式如下若函数在某区间内每一点都可导，则0XXFY称在该区间内可导，记为在该区间内的可导函FYF数（简称导数）。导数在引进经济学之后，对经济分析带来了很大变革，可以定量分析很多以前没办法分析的经济问题。导数在经济学中最通常的应用是边际和弹性。经济学中的边际经济变量都是用增加某一个经济变量一单位从而对另一个经济变量带来的影响是多少，如边际效用、边际成、边际收益、边际利润、边际替代率等等。这些边际概念几乎都用导数来表示。411边际需求与边际供给需求函数在点P处可导其中Q为需求量，P为商品价格，F则其边际函数称为边际需求函数，简称边际需求，称0PF为当价格为时的边际需求，其经济意义为当价格达到时，如0果价格上涨一个单位，则需求量将相应减少单位。0PF供给函数可导其中Q为供给量，为商品价格，则其PP边际函数称为边际供给函数，简称边际供给，称为当PQ价格为时的边际供给。其经济意义为当价格达到时，如果价0P0格上涨一个单位，则供给增加单位。PQ4111边际成本函数总成本函数0CT平均成本函数Q/0C称为边际成本函数，代表固定成本，代表可变成本。0CT称为当产量为时的边际成本，其经济意义为当产量达到0QC0Q时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减个单位。0Q例1某种产品的总成本C（万元）与产量Q（万件）之间的函数关系式（即总成本函数）为QQC12041求生产水平为（万件）时的平均成本和边际成本，并从降10Q低成本角度看，继续提高产量是否合适解当Q10时的总成本为（万元）130012041C0所以平均成本（单位成本）为（元/件）3边际成本2034QQCM10342MC因此在生产水平为10万件时，每增加一个产品总成本增加3元，远低于当前的单位成本，从降低成本角度看，应该继续提高产量4112边际收益函数总收益函数，RQ平均收益函数边际收益函数简称边际收益，称为当商品销售量为时的边际收益，经济0QR0Q意义为当销售量达到时，如果增减一个单位产品，则收益将相应地增减单位。总收益TR是产量Q与价格P的乘积,0即PTR总利润为总收益与总成本的差值,TRC即。C若价格随Q的变化而改变,则Q最大时总收益TR和总利润不一定取P到最大值,并且收益最大时的产量不一定能产生最大的利润,下面,运用导数对收益进行优化分析。例2设垄断厂商的需求函数为,总成本函数QP4012TC,54602Q1求为多少时使总收益最大,与此相应的价格,总收益及总利润各为多少2求为多少时总利润最大,价格,总收益及总利润为多少Q解1已知厂商的产品的需求函数为QP4012则2401QPTR总收益最大，即要求82所以。15Q导数方法即0DTR0812QDT得15所以时，最大。QT把代入4Q12P得6P总收益90TR总利润1C2240Q56T82CR总利润最大时，得082QDQ4Q把代入4P12得10P总收益4160QTR总利润C4113边际利润函数利润函数，QRL平均利润函数边际利润函数QCRL称为当产量为时的边际利润，其经济意义是当产量达0QL0Q到时，如果增减一个单位产品，则利润将相应增减单位。00L在以上的定义中我们都发现不管是边际成本、边际利润，都是导数的一些很简单的应用。导数是函数关于自变量的变化率，在经济学中，也存在变化率的问题，因此我们可以把微观经济学中的很多问题归结到数学中来，用我们所学的导数知识加以研究并解决。导数在经济学中的意义可以解释为用增加一个经济变量的一个单位从而对另一个经济变量带来的影响是多少。比如边际替代率边际替代率的概念是这样来定义的为了维持原有的满足程度不变，消费者为增加一单位商品X而必须放弃的商品Y的数量。用公式表示就是XYMRS5微积分在物理学上的应用51微积分解决物理问题时的微元选物理现象及其规律的研究都是以最简单的现象和规律为基础的，例如质点运动学是从匀速、匀变速直线运动开始，带电体产生的电场是以点电荷为基础。实际中的复杂问题，则可以化整为零，把它分割成在小时间、小空间范围内的局部问题，只要局部范围被分割到无限小，小到这些局部问题可近似处理为简单的可研究的问题，把局部范围内的结果累加起来，就是问题的结果。微积分在物理学中的应用相当普遍，有许多重要的物理概念，物理定律就是直接以微积分的形式给出的，如速度，加速度DTRV，转动惯量，安培定律，电磁感应定律DTVA2RDMIBLIDFN在用积分求解物理问题中涉及到积分元，积分变量，积分上下限如何确定等问题，有时积分或积分变量选得好，计算就变得很方便和简单，否则就难于计算甚至求不出结果。在应用微积分方法解物理问题时，微元的选取非常关键，选的恰当有利于问题的分析和计算，其一要保证在所选取的微元内能近似处理成简单基本的物理模型，以便于分析物理问题；其二要尽量把微分选取的大，这样可使积分运算更加简单，因为微分和积分互为逆运算，微分微的越细，越精确，但积分越繁琐，计算工作量较大，所以还要在微分和积分这对矛盾之间协调处理。微元的选取不是唯一，在每一种微元里近似的物理模型是不同的，重积分远比一元积分麻烦。所以在分析物理问题时，应充分利用对称性，选取适当的一元微元，使积分运算简单；不管选取怎样的微元，结果是相同的，都是问题的精确解。由此看出，用微积分解题的神奇之处，由于微元无限趋近于零，使得有限范围内的近似值到无限小范围内的精确，从而完成了问题的精确求解。511求变力沿直线所作的功设物体在连续变力作用下沿X轴从移动到，力的方XFABX向与运动方向平行，求变力所做的功。在上任取子区间，在其上所作的功元素为,BA,DX，因此变力在区间上所作的功为DXFWXF,BABADXFW5111例1在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为S的活塞从点A处移动到点B处，求移动过程中气体压力所作的功。解建立坐标系，由波义耳马略特定律知压强P与体积V成反，即比，故作用在活塞上的力为，功元素为XSKVPXKSF，所求功为DFDWABKDXWBABALNL5112求侧体压力设液体密度为，深为H处的压强，当平板与水面平行时，HGP平板一侧所受的压力位,当水平不与水面平行时，所受侧压力AP问题就需要用积分解决。小例一个水平横放的半径为R的圆桶,内盛半桶密度为的液体，求这个桶的一个端面所受的侧压力。解建立坐标系,所论半圆的方程为利用对称2XY0RX性，侧压力元素，端面所受侧压力为DXXRXGDP22RXXGP0325113引力问题质量分别为，的质点，相距R，二者间的引力大小1M2，方向为沿两质点的连线，若考虑物体对质点的引力,则21RKF需用积分解决小例设有一长度为L,线密度为的均匀细直棒,在其中垂线上距A单位处有一质量为M的质点M,试计算该棒对质点的引力。解细棒上小段对质点的引力大小为，故垂,DX2XADMKF直分力元素为，棒2322COSXADKAFY对质点的引力的垂直分力为，棒对质点引力的24LLMY水平分力，故该棒对质点的引力大小为0XF241LAKMLF6结束语如果说我大学四年在自己的专业领域，也就是数学这个专业领域内有什么重要收获的话，那“培养出了对数学的兴趣”绝对是最值得一提的。之所以这么说是因为在与以前初中、高中同学的交流中，我发现很多同学都不太喜欢自己的专业，甚至是讨厌自己的专业，究其原因，有的是因为在填报志愿时未经深思熟虑就随便选了个专业，或者根据父母朋友的意愿选了个“好找工作的”专业，后来却发现并不符合自己的兴趣，还有的则是根据自己的兴趣选择了喜欢的专业，但他们最初的兴趣不但没有在大学四年的学习过程中得到升华，反而被消磨殆尽，这是很可悲的。没有学习兴趣，在别人看来再好的学校再好的专业，对自己来说学习起来只能是索然无味，或者说至少会丧失很多学习过程中应有的乐趣。我相信“兴趣是最好的老师”，所以我很庆幸自己经过大学四年的学习后，开始喜欢上自己的专业，这种兴趣不再是自己初中、高中时单纯喜欢计算数学题目，为自己可以解答难度极大的数学题目而开心，这种低层次、低境界的兴趣在经过大学四年专业知识的打磨之后已经逐渐升级。现在我的确还会钟情于一些数学题目的解答，但我会更关心题目背后的一些东西，比如它的历史、来源、影响、应用等等。同时我也深知，大学本科阶段的这些专业知识也不过是些非常基础的知识，即使是在我拿到理学的学士学位之后，若论专业水平，也只能说是比普通的数学爱好者多知道一些，并没有什么值得特别炫耀的，若论实践能力和动手操作能力，则远不如该专业的专科学生以及教师。说这么多只是想提醒自己，要学的东西还太多参考文献1同济大学数学教研室高等数学（第四版）【M】北京高等教育出版社19932数学分析上册华东师范大学数学系编（第三版）【M】北京高等教育出版社20013李文林，数学史概论（第二版）【M】，北京高等教育出版社，2002，（8）144196。4邓东皋，孙小礼，张祖贵，数学与文化【M】，北京北京大学出版社，1990，（5）369378。5高鸿业西方经济学（第五版）【M】北京中国人民大学出版社,2007,86张丽玲导数在微观经济学中的应用【J】河池学院学报,2007,277周波经济效益最优化数学模型的建立与应用【J】内江科技，2009（11）1268林承初定积分概念的推广及其几何物理意义【J】河南教育学报200629孙丰良微积分初步【M】延边大学出版社200010罗圆圆大学物理上册【M】修订版南昌江西高级出版社2005345致谢感谢我的导师吴红英教授，她严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作、学习中的榜样；她循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪。感谢钟芳志、戴元军同学对我的帮助和指点。没有他们的帮助和提供资料对于我一个对网络知识一窍不通的人来说要想在短短的几个月的时间里学习到网络知识并完成毕业论文是几乎不可能的事情。AGANEMPLOYMENTTRIBUNALCLAIEMLOYMENTTRIBUNALSSORTOUTDISAGREEMENTSBETWEENEMPLOYERSANDEMPLOYEESYOUMAYNEEDTOMAKEACLAIMTOANEMPLOYMENTTRIBUNALIFYOUDONTAGREEWITHTHEDISCIPLINARYACTIONYOUREMPLOYERHASTAKENAGAINSTYOUYOUREMPLOYERDISMISSESYOUANDYOUTHINKTHATYOUHAVEBEENDISMISSEDUNFAIRLYFORMOREINFORMU,TAKEADVICEFROMONEOFTHEORGANISATIONSLISTEDUNDERFURTHERHELPEMPLOYMENTTRIBUNALSARELESSFORMALTHANSOMEOTHERCOURTS,BUTITISSTILLALEGALPROCESSANDYOUWILLNEEDTOGIVEEVIDENCEUNDERANOATHORAFFIRMATIONMOSTPEOPLEFINDMAKINGACLAIMTOANEMPLOYMENTTRIBUNALCHALLENGINGIFYOUARETHINKINGABOUTMAKINGACLAIMTOANEMPLOYMENTTRIBUNAL,YOUSHOULDGETHELPSTRAIGHTAWAYFROMONEOFTHEORGANISATIONSLISTEDUNDERFURTHERHELPATIONABOUTDISMISSALANDUNFAIRDISMISSAL,SEEDISMISSALYOUCANMAKEACLAIMTOANEMPLOYMENTTRIBUNAL,EVENIFYOUHAVENTAPPEALEDAGAINSTTHEDISCIPLINARYACTIONYOUREMPLOYERHASTAKENAGAINSTYOUHOWEVER,IFYOUWINYOURCASE,THETRIBUNALMAYREDUCEANYCOMPENSATIONAWARDEDTOYOUASARESULTOFYOURFAILURETOAPPEALREMEMBERTHATINMOSTCASESYOUMUSTMAKEANAPPLICATIONTOANEMPLOYMENTTRIBUNALWITHINTHREEMONTHSOFTHEDATEWHENTHEEVENTYOUARECOMPLAININGABOUTHAPPENEDIFYOURAPPLICATIONISRECEIVEDAFTERTHISTIMELIMIT,THETRIBUNALWILLNOTUSUALLYACCEPTIIFYOUAREWORRIEDABOUTHOWTHETIMELIMITSAPPLYTOYOUIFYOUAREBEINGREPRESENTEDBYASOLICITORATTHETRIBUNAL,THEYMAYASKYOUTOSIGNANAGREEMENTWHEREYOUPAYTHEIRFEEOUTOFYOURCOMPENSATIONIFYOUWINTHECASETHISISKNOWNASADAMAGESBASEDAGREEMENTINENGLANDANDWALES,YOURSOLICITORCANTCHARGEYOUMORETHAN35OFYOURCOMPENSATIONIFYOUWINTHECASEYOUARECLEARABOUTTHETERMSOFTHEAGREEMENTITMIGHTBEBESTTOGETADVICEFROMANEXPERIENCEDADVISER,FOREXAMPLE,ATACITIZENSADVICEBUREAUTOFINDYOURNEARESTCAB,INCLUDINGTHOSETHATGIVEADVICEBYEMAIL,CLICKONNEARESTCABFORMOREINFORMATIONABOUTMAKINGACLAIMTOANEMPLOYMENTTRIBUNAL,SEEEMPLOYMENTTRIBUNALSTHELACKOFAIRUPTHEREWATCHMCAYMANISLANDSBASEDWEBB,THEHEADOFFIFASANTIRACISMTASKFORCE,ISINLONDONFORTHEFOOTBALLASSOCIATIONS150THANNIVERSARYCELEBRATIONSANDWILLATTENDCITYSPREMIERLEAGUEMATCHATCHELSEAONSUNDAY“IAMGOINGTOBEATTHEMATCHTOMORROWANDIHAVEASKEDTOMEETYAYATOURE,“HETOLDBBCSPORT“FORMEITSABOUTHOWHEFELTANDIWOULDLIKETOSPEAKTOHIMFIRSTTOFINDOUTWHATHISEXPERIENCEWAS“UEFAHASOPENEDDISCIPLINARYPROCEEDINGSAGAINSTCSKAFORTHE“RACISTBEHAVIOUROFTHEIRFANS“DURINGCITYS21WINMICHELPLATINI,PRESIDENTOFEUROPEANFOOTBALLSGOVERNINGBODY,HASALSOORDEREDANIMMEDIATEINVESTIGATIONINTOTHEREFEREESACTIONSCSKASAIDTHEYWERE“SURPRISEDANDDISAPPOINTED“BYTOURESCOMPLAINTINASTATEMENTTHERUSSIANSIDEADDED“WEFOUNDNORACISTINSULTSFROMFANSOFCSKA“AGEHASREACHEDTHEENDOFTHEBEGINNINGOFAWORDMAYBEGUILTYINHISSEEMSTOPASSINGALOTOFDIFFERENTLIFEBECAMETHEAPPEARANCEOFTHESAMEDAYMAYBEBACKINTHEPAST,TOONESELFTHEPARANOIDWEIRDBELIEFDISILLUSIONMENT,THESEDAYS,MYMINDHASBEENVERYMESSY,INMYMINDCONSTANTLYALWAYSFEELONESELFSHOULDGOTODOSOMETHING,ORWRITESOMETHINGTWENTYYEARSOFLIFETRAJECTORYDEEPLYSHALLOW,SUDDENLYFEELSOMETHING,DOIT一字开头的年龄已经到了尾声。或许是愧疚于自己似乎把转瞬即逝的很多个不同的日子过成了同一天的样子；或许是追溯过去，对自己那些近乎偏执的怪异信念的醒悟，这些天以来，思绪一直很凌乱，在脑海中不断纠缠。总觉得自己似乎应该去做点什么，或者写点什么。二十年的人生轨迹深深浅浅，突然就感觉到有些事情，非做不可了。THEENDOFOURLIFE,ANDCANMEETMANYTHINGSREALLYDO而穷尽我们的一生，又能遇到多少事情是真正地非做不可DURINGMYCHILDHOOD,THINKLUCKYMONEYANDNEWCLOTHESARENECESSARYFORNEWYEAR,BUTASTHEADVANCEOFTHEAGE,WILLBEMOREANDMOREFOUNDTHATTHOSETHINGSAREOPTIONALJUNIORHIGHSCHOOL,THOUGHTTOHAVEACRUSHONJUSTMEANSTHATTHEREALGROWTH,BUTOVERTHEPASTTHREEYEARSLATER,HISWRITINGOFALUMNIINPEACE,SUDDENLYFOUNDTHATISNTREALLYGROWUP,ITSEEMSISNOTSOIMPORTANTTHENINHIGHSCHOOL,THINKDONTWANTTOGIVEVENTTOOUTYOURINNERVOICECANBEINTHEHIGHSCHOOLCHILDRENOFTHEFEELINGSINAPERIOD,BUTWASEVENTUALLYINFARCTIONWHENGRADUATIONPARTYINTHETHROAT,LATERAGAINSTOODONTHEPITCHHEHASSWEATPROFUSELY,LOOKEDATHISTHROWNABASKETBALLHOOPS,SUDDENLYFOUNDHIMSELFHASALREADYCANTREMEMBERHISAPPEARANCEBAUMGARTNERTHEDISAPPOINTINGNEWSMISSIONABORTEDRPLAYSANIMPORTANTROLEINTHISMISSIONSTARTING