考前归纳总结：导数中的探索性问题

导数中的探索性问题一、常见基本题型1探索图像的交点个数问题，可转化方程解的个数求解，例1、已知函数32FXAX,1若是的极值点，求F在1,A上的最大值；（2）在（1）的条件下，是否存在实数B，使得函数GXB的图像与函数FX的图象恰有3个交点若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，试说明理由。解（1）因为1X是FX的极值点,所以,10,4,3FA0FX由得3,在区间1,4上,X在1,3单调减在3,4单调增,且16412,FF所以,MA16FF2设3FXGXXB,由题意可得FX有三个零点,又由于0是的一个零点,所以,只要再有两个零点且都不相同即可因此,方程2430X有两个不等实根且无零根,所以,B所以,存在实数B使得函数GX的图像与函数FX的图象恰有3个交点,7B且3（2）探索函数的零点个数问题例2已知函数，是否存在正实数，使得函数21,LNFXAA在区间内有两个不同的零点若存在，请求出G1,E的取值范围；若不存在，请说明理由A解，LN2XA因在区间内有两个不同的零点,所以，1E0X即方程在区间内有两个不同的实根20XXLN1,E设，21HALX12HXAX2121AXAX令，因为为正数，解得或（舍）0当时,是减函数；1XE0HXX当时,，是增函数为满足题意，只需在内有两个不相等的零点,故XE,解得MIN10HEX12EA3探索函数图象的位置关系问题例3若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足KBFXGX和，则称直线为和的“隔离直线”FXKGXKLYKXBFGX已知，（其中为自然对数的底数）2HLNEXE1求的极值；FXX2函数和是否存在隔离直线若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，H请说明理由解1，FXX2LN0EX2E当时，F当时，此时函数递减；0X0XX当时，此时函数递增；E当时，取极小值，其极小值为02由（1）可知函数和的图象在处有公共点，XHEX则，2EG当时，X0X当时，此时函数递增；0XE0GXGX当时，此时函数递减；当时，取极大值，其极大值为0从而，即恒成立2LNGXEXE2XEX函数和存在唯一的隔离直线HY二、针对性练习1设函数2L1F1求函数的单调区间；X2当时,是否存在整数，使不等式恒1EM22FXME成立若存在，求整数的值；若不存在，请说明理由。M解1由得函数的定义域为，0XFX1,。22X由得；由得，FX00F函数的递增区间是；递减区间是。,1,02由1知,在上递减,在上递增。F1E1EMIN0FXF又，且,2F23221E时,。1EMAXFE不等式恒成立,22FX，2AXMINFF即2223300E11是整数，。M存在整数，使不等式恒成立。22FXME2已知定义在R上的二次函数满足，且的CBA20XRX最小值为0，函数，又函数。NXH1XRHXF（I）求的单调区间；F（II）若二次函数图象过（4，2）点，对于给定的函数图象上的点XRXFA（），当时，探求函数图象上是否存在点B（）（1,YX31F2,YX），使A、B连线平行于X轴，并说明理由。（参考数据E271828）2解（I）,2,02XRXRXR即可得又在X0时取得最小值0，,CAB,0212XAXFANH令,0F解得当X变化时，的变化情况如下表XF的单调递增区间是，的单调递减区间是（，）。FX20,AXFA2（II）证明若二次函数图象过（4，2）点，则，所以XR81A812XNXF令由（I）知在（0，2）内单调递增，3FXGXF故,2G即取则,3EX032941