湘教版九年级数学教案

第1章一元二次方程第1课时建立一元二次方程模型教学目标1、在把实际问题转化为一元二次方程的模型的过程中，形成对一元二次方程的感性认识。2、理解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程。3、知道一元二次方程的一般形式，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式，能写出一般形式的二次项系数、一次项系数和常数项。重点难点重点能建立一元二次方程模型，把一元二次方程整理成一般形式。难点把实际问题转化为一元二次方程的模型。教学过程（一）创设情境前面我们曾把实际问题转化成一元一次方程和二元一次方程组的模型，大家已经感受到了方程是刻画现实世界数量关系的工具。本节课我们将继续进行建立方程模型的探究。1、引导学生设人行道宽度为XM，表示草坪边长为352XM，找等量关系，列出方程。352X29002、引导思考小明与小亮第一次相遇以后要再次相遇，他们走的路程有何关系怎样用他们再次相遇的时间表示他们各自行驶的路程通过思考上述问题，引导学生设经过TS小明与小亮相遇，用S表示他们各自行驶的路程，利用路程方面的等量关系列出方程2T001T23T。3、能把，化成右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式的形式吗让学生展开讨论，并引导学生把，化成下列形式4X2140X3250，001T22T0。（二）探究新知1、观察上述方程和，启发学生归纳得出如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是AX2BXC0，A，B，C是已知数且A0，其中A，B，C分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项。2、让学生指出方程，中的二次项系数、一次项系数和常数项。（三）讲解例题例1把方程X33X4X22化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项。解去括号，得3X25X12X24X4，化简，得2X2X160。二次项系数是2，一次项系数是1，常数项是16。点评一元二次方程的一般形式AX2BXC0A0具有两个特征一是方程的右边为0，二是左边二次项系数不能为0。此外要使学生认识到二次项系数、一次项系数和常数项都是包括符号的。例2下列方程，哪些是一元一次方程哪些是一元二次方程12X35X2；2X225；3X1X2X26；4X23X1X12。解方程1，3是一元一次方程；方程2，4是一元二次方程。点评通过一元一次方程与一元二次方程的比较，使学生深刻理解一元二次方程的意义。（四）应用新知课本P4，练习第3题，（五）课堂小结1、一元二次方程的显著特征是只有一个未知数，并且未知数的最高次数是2。2、一元二次方程的一般形式为AX2BXC0A0，一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项都是根据一般形式确定的。3、在把实际问题转化为一元二次方程模型的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。（六）思考与拓展当常数A，B，C满足什么条件时，方程A1X2BXC0是一元二次方程这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么当常数A，B，C满足什么条件时，方程A1X2BXC0是一元一次方程当A1时是一元二次方程，这时方程的二次项系数是A1，一次项系数是B；当A1，B0时是一元一次方程。布置作业课本习题11中A组第1，2，3题。教学后记第2课时因式分解法、直接开平方法（一）教学目标1、知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程。2、学会用因式分解法和直接开平方法解形如AXB2K0K0的方程。3、引导学生体会“降次”化归的思路。重点难点重点掌握用因式分解法和直接开平方法解形如AXB2K0K0的方程。难点通过分解因式或直接开平方将一元二次方程降次为一元一次方程。教学过程（一）复习引入1、判断下列说法是否正确1若P1，Q1，则PQL，若PQL，则P1，Q1；2若P0，G0，则PQ0，若PQ0，则P0或Q0；3若X30或X60，则X3X60，若X3X60，则X30或X60；4若X3或X62，则X3X61，若X3X61，则X3或X62。答案1，。2，。3，。4，。2、填空若X2A；则X叫A的，X；若X24，则X；若X22，则X。答案平方根，2，。（二）创设情境前面我们已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是什么消元、化二元一次方程组为一元一次方程。由解二元一次方程组的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路吗引导学生思考得出结论解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程。给出11节问题一中的方程352X29000。问怎样将这个方程“降次”为一元一次方程（三）探究新知让学生对上述问题展开讨论，教师再利用“复习引入”中的内容引导学生，按课本P6那样，用因式分解法和直接开平方法，将方程352X29000“降次”为两个一元一次方程来解。让学生知道什么叫因式分解法和直接开平方法。（四）讲解例题展示课本P7例1，例2。按课本方式引导学生用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程。引导同学们小结对于形如AXB2K0K0的方程，既可用因式分解法解，又可用直接开平方法解。因式分解法的基本步骤是把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积本节课主要是用平方差公式分解因式的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解。直接开平方法的步骤是把方程变形成AXB2KK0，然后直接开平方得AXB和AXB，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解。注意1因式分解法适用于一边是0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程；2直接开平方法适用于形如AXB2KK0的方程，由于负数没有平方根，所以规定K0，当K0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；由例11知，当B24AC0时，方程有两个相等的实数根。2、让学生观察方程X20，当B24AC0，所以原方程有两个不相等的实数根。2原方程可化为X23X0，因为B24AC32410，所以原方程有两个相等的实数根。3因为B24AC6242160，即M1。布置作业课本习题12中A组第5题，选做B组第1题的2468，第4题。教学后记第8课时一元二次方程的应用（一）教学目标1、让学生在经历运用一元二次方程解决一些代数问题的过程中体会一元二次方程的应用价值。2、在应用一元二次方程的过程中，提高学生的分析问题、解决问题的能力。重点难点重点建立一元二次方程模型解决一些代数问题。难点把一些代数问题化归为解一元二次方程的问题。教学过程（一）复习引入1、回顾你已经学过了用什么样的方程解应用题“列方程解应用题”你有什么经验让学生自己总结，因人而异，教师可以加以引导归纳。2、填空（1）当X时，代数式3X5与32X的值互为相反数。（2）当X，Y时，代数式2XY的值为6，代数式3XY的值为9。（3）一元二次方程AX2BXC0（A0），当B24AC0时，方程有两个不相等的实数根；当B24AC0时，方程有两个相等的实数根；当B24AC0时，方程没有实数根。（二）创设情境前面我们已经体会到方程是刻画现实世界数量关系的工具，现在通过学习一元二次方程的应用能使我们更进一步感受到方程的作用，数学的价值。（三）讲解例题1、展示课本P19P20，例1，例2。说明和建议（1）让学生明确解这尖题的步骤是首先用方程表示题中的数量关系（即列出方程），然后将方程整理成一般形式并求解，最后作答。（2）对于基础较好学生可让他们自己探索解题方法，然后看书上的解答，交换批改，并交流解题经验，教师加以适当的总结。2、展示课本P21，例3。注意（1）利用“复习引入”中的内容让学生明确，当B24AC0时，一元二次方程AX2BXC0A0，有两个相等的实数根。1解这类题,首先要将方程整理成关于X2的一般形式,从而正确地确定X的二次项系数、一次项系数及常数项A，B，C此题是用T表示，然后把问题化归为解一个（此题是关于T的）一元二次方程。（四）应用新知课本P21，练习第1，2题（五）课堂小结1、用一元二次方程解一些代数问题的基本步骤是什么2、在本节课的解题中要注意一些什么问题（六）思考与拓展将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，若这种商品涨价X元，则可赚得Y元的利润。（1）写出X与Y之间的关系式；（2）为了赚得8000元利润，售价应定为多少元，这时应进货多少个解（1）商品的单价为50X元，每个的利润是（50X）40元，销售量是5010X个，则依题意得Y（50X）40（50010X），即Y10X21000X5000。（2）依题意，得10X2400X50008000。整理，得X240X3000。解得X110,X230。所以商品的单价右定为501060（元）或503080（元）当商品和单价为60元时，其进货量只能是5001010400（个）；当商品每个单价为80元时，其进货量只能是5001030200（个）布置作业课本习题1A组第1，2题，选做B组第1题。教学后记第9课时一元二次方程的应用（二）教学目标1、会建立一元二次方程的模型解决实际问题，并能根据具体问题的实际意义，对方程解的合理性作出解释。2、让学生进一步感受一元二次方程的应用价值，提高学生的数学应用意识。重点难重重点应用一元二次方程解决实际问题。难点从实际问题中建立一元二次方程的模型教学过程（一）复习引入1、复习列方程解应用题的一般步骤（1）审题仔细阅读题目，分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；（2）设未知数用字母（如X）表示题中的未知数，通常是求什么量，就设这个量为X；（3）列方程根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程；（4）解方程求出所给方程的解；（5）检验既要检验所求方程的解是否满足所列出的方程，又要检验它是否能使实际问题有意义；（6）作答根据题意，选择合理的答案。2、说一说，菱形的面积与它的两条对角线长有什么关系（二）讲解例题1、展示课本P22例4，按下列步骤讲解（1）引导学生审题，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；（2）确定本题的等量关系是菱形的面积矩形面积；（3）引导学生根据题意设未知数；（4）引导学生根据等量关系列方程；（5）引导学生求出所列方程的解；（6）检验所求方程的解合理性；（7）根据题意作答；（8）按课本P22P23格式写出解答过程。注意设未知数和作答时都不要漏写单位。2、展示课本P23例5，让学和仿照例4解答此题，然后看书上的解答，交换批改，并交流解题经验。在检验所求方程解的合理性时，教师要特别注意用图形引导学生思考，作出正确判断。（三）应用新知课本P24，练习。（四）课堂小结1、用“（1）审、（2）设、（3）列、（4）解、（5）验、（6）答”六个字概括列方程解应用题的六步，使学和生对方程解应用题的步骤更熟悉。2、在运用一元二次方程解实际问题时，一定要注意检查求得的方程的解是否符合实际情况。（五）思考与拓展如图12，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，（1）如果子的顶端下滑1米，那么底端也将滑动1米吗（2）梯子顶端下滑多少距离正好等于底部下端距离。解（1）设底端将滑动X米，依题意，得72（X6）2102解得X16（不合题意，舍去），X2661（米）661（2）设顶端下滑X米则底端正好滑动X米，依题意，得（8X）2（6X）2102解得X2（米）答（略）布置作业课本习题13中A组第3题，选做B组第3题。教学后记第10课时一元二次方程的应用（三）教学目标1、会熟练地列出一元二次方程解应用题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。2、在组织学生自主探索、相互交流、协作学习的过程中，培养学生敢于探索、勇于克服困难的精神和意志，在探索中获得成功的体验。重点难点重点会熟练地列出一元二次方程解应用题。难点将实际问抽象为一元二次方程的模型教学过程（一）复习引入提问1、列方程解应用题的基本步骤是什么2、利用一元二次方程解决实际问题时，特别要注意什么（二）探究新知把学生分成若干个学习小组，让他们以小组为单位按课本P24P26“探究”栏目设计的程序，进行探究学习，然后各组之间相互交流，教师加以适当引导归纳，得出正确结论。（三）讲解例题例某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，若每件的售价为A元，则可卖出35010A件，物价局规定商品的利润不能超过进价的20，商店计划要赚400元，则每件商品的售价为多少元解依题意得（A21）35010A400整理得A256A7755解得A125，A231又因为21（120）252而A125252，A231252，所以A25答每件售价为25元点评（1）要掌握关系式利润销售价进价，从而得出“卖出商品的利润卖出一件商品的利润卖出的件数”这个等量关系。（2）要注意题目的限制条件。（四）应用新知课本P26，练习（五）课堂小结1、列方程解应用题的关键是准确分析题中各种显现和隐含的数量关系和等量关系。2、列方程解应用题的实质是把实际问题转化为数学问题（解一元二次方程）求解。（六）思考与拓展在一个长为50米，宽30米的矩形空地上建造一个花园，要求修筑同样宽的道路，使余下的部分种植花草，且使花草的总面积是整块空地面积的，请你画出设计图，并计算路宽。说明与建议（1）让学生分成几个小组共同设计，然后每个小组派一人上台演示自己小组所设计的方案，教师给出相应评价。（2）下面提供两种设计方案方案一如图13，阴影部分是宽为X米的两条垂条直的道路，则依题意有（50X）30X3050。整理得X280X3750解得X1530，X27530依题意只能取X15（米）方案二如图14阴影部分是宽为X米的道路，则依题意有（502X）（302X）3050，整理得4X2160X3750解得X12530，X237530依题意只能取X125米。布置作业课本习题13中A组第4题，选做B组第2题。教学后记第11课时小结与复习（一）教学目标1、理清本章的知识结构，培养学生归纳能力。2、掌握本章的有关概念，一元二次方程的四种解法因式分解法、直接开平方法、配方、公式法。3、掌握本章的主要数学思想和方法。重点难重重点一元二次方程解法。难点选用适当的方法解一元二次方程。教学过程（一）复习引入1、回顾本章的主要数学思想和方法。本章主要的数学思想是化归与转化，即把需要解决或较难解决的问题，通过适当的方法，把它化归与转化为已经解决或较容易解决的问题，从而使问题得以解决。如一元二次方程，通过“降次”转化为两个一元二次方程，降次的基本方法是因式分解法或直接开平方法，为了能这么做，往往要抚配方，即要把含未知数的项放在一个完全平方式里，再求解。也可以用一元二次方程的求根公工直接求解。配方法是一种非常重要的方法，由于配方的过程要进行较繁琐的运算，在解一元二次方程时，实际运用较少，但它是推导一元二次方程求根公式的基础，而且在今后学习二次函数等内容时，还将多次用到，是中学数中的重要方法，应熟练掌握这种方法。2、理清本章的知识结构图。请同学们用知识结构图将所学的有关一元二次方程的知识连接起来。整理知识结构图的要求应根据学生具体情况而定，提供下面三种建议，供选用方法一由学和自己设计知识结构图，而后全班行交流，互相补充，逐步完善。方法二教师引导学生设计知识结构图，然后全班交流。方法三教师给出知识结构图框架，由学生填上具体内容（参考课本P29的知识结构图）。说明在知识结构图和教学过程中，既要注复习知识、方法，又要注意培养学生的归纳总结能力。（二）讲解例题例1选择题（1）MX23XX20是关于X的一元二次方程的条件是（）AM1BM1CM0DM为任意实数（2）用配方法解方程4X24X150时将方程配方的结果是（）A（X2）219B（2X1）216C（X）24D（X1）24答案BC评注（1）先把方程化成关于X的一元二次方程的一般形式（M1）X23X20然后确定M10,即M1。（2）配方法虽然在解一元二次方程时很少用，但配方法是一种很重要的数学方法，不可忽视。例2选择适当的方法解下列方程（1）（X1）22X（X1）0（2）9（X3）24（X2）20（3）2Y23Y（4）X22X40解（1）中主程左边有因式X1，不能将方程程两边同除以X1，而应选用因式分解的方法，把方程变形为（X1）（X1）2X0，所以X11，X2（2）中程左边是平方差形式，既可用平方差公式分解因的方法求解，又可用先移项得9（X2）24X22，然后直接开平方得3（X3）2（X2），再求方程的解，解得X1，X25。（3）中方程可化为4Y2Y60，1244（6）970，解得X1，X2（4）中方程是一元二次方程的一般形式，且左边不易分解因式，因此可用公式法解此方程，解得X1，X2评注1、公式法是解一元二次方程的一般方法，应掌握这种解一元二次方程的通法。2、因式分解法、直接开平方法是解一元二次方程的特殊方法，要注意这两种方法适用的方程形式。3、一般先看方程能否用因式分解法或直接开平方法求解，如不能用这两种方法再考虑用公式法解。（三）巩固练习1填空（1）（K1）X2KX10是关于X的一元二次方程的条件是。（2）填写下表。一元二次方程一般形式二次项数一次项系数常数项3X252X（X1）24X20X（X）0答案（1）K1。（2）见下表一元二次方程一般形式二次项系数一次系数常数项3X252X3X22X50325（X1）24X230123X20X2000X（X）0X2X0102、选做课本复习题一中B组第1，2题。（四）课堂小结1、一元二次方程的一般形式是什么2、解一元二次方程的四种方法所适用的方程的条件是什么3、怎么选择适当的法解一无二次方程（五）思考与拓展1、已知方程MX2MX3MX2X20,当M时，为一元二次方程；当M时，为一元一次方程。答案M1，M12、选做课本复习题一的C组题。布置作业课本复习题一中A组第1、2、3题。教学后记第12课时小结与复习（二）教学目标1、熟练运用一元二次方程解实际问题。2、通过将一些实际问题抽象为方程模的过程，让学生形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题，理解问题，并能运用所学知识解决问题，体会数学的价值。重点难重重点运用一元二次方程解实际问题。难点找出问题中的等量关系，列出一元二次方程。教学过程（一）复习引入学生交流讨论下列问题。1、运用一元二次方程解实际问题的一般步骤是什么2、运用一元二次方程解实际问题关键是什么3、运用一元二次方程解实际问题要注意什么（二）讲解例题例1某工厂生产一种产品，今年产量为200件，计划通过技术改造，使今后两年的产量都比前一年增一个相同的百分数，这样三年的总产量达到1400件，求这个百分数。分析此题是增长率问题，运用复利公式QA（1X），通过列方程求出X的值。解设这个百分数为X。则今后第一年的产量为200（1X）件，今后第二年的产量为200（1X）2件，根据题意，得200200（1X）200（1X）21400化简得X23X40，解得X11，X24（不合题意，舍去）。所以X11100答这个百分数为100评注1、题中1400件是三年的总产量，不要误以为是今后第三年的产量。2、运用一元二次方程解实际际问题时要注意检查求出的方程的解是否符合实际情况。3、一般情况，增长率为百分数。例2某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品和销售情况，请解答以下问题（1）当销售单价为每千克55元时，计算月销售量和月销售利；（2）设销售单价为每千克X元，月销售利润为Y元，求Y与X之间的关系式；（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润到达8000元，销售单价应定为多少（4）要使得月销售利润达到9000元销售单价应定为多少（5）有没有可能获取大于9000元的利润解（1）当销售单价定为每千克55元时，月销售利润为500（5550）10450（千克）所以月销售利润为（5540）4506750（元）（2）当销售单价为每千克X元时，月销售量为500（X50）10100010X（千克），而每千克的销售利润是X40千克，所以月销售利润为Y（X40）（100010X），即Y10X21400X40000。（3）要使月销利润达到8000元，即Y8000，所以10X21400X400008000，即X248000,解得X160，X280。当销售单价为每千克X元时，月销售量为500（6050）10400（千克），月销售成本为4040016000（元）。当销售单价定为每千克60元时，月销售量为500（8050）10200（千克），月销售成本为402008000（元）。由于80001000016000，而月销售成本不超过10000元，所以销售单价应定为每千克80元。（4）要使月销售利润达到9000元，即Y9000，所以10X21400X400009000，即X2140X49000，解得X1X270，销售单价应定为每千克70元。（5）要获取大于9000元的利润，则Y9000，所以10X21400X400009000，即X2140X49000，（X70）20无论X取何实数，此不等式都不成立。所以，没有可能获取大于9000元的利润。评注（3）要注意“成本不超过10000元”这个限制条件，（5）仅供学有余力的同学思考。（三）巩固练习选做课本复习题一中B组第4、5题。（四）课堂小结运用一元二次方程解实问题的关键是找出问题中的等量关系，以便引出方程，要注意检查求出的方程的解是否符合实际情况。（五）思考拓展一容器盛江满纯酒精63升，第一次倒出若干升后加水充满，第二次倒出同样升数的酒精溶液，再加水充满，这时容器内的纯酒精为28升。求每次倒出酒精容液的升数。分析浓度问题，关键是利用基本关系式浓度解设每次倒出X升，第一次倒出后剩下的纯精为63X升，加水充满后酒精溶液的浓度是，第二次倒出纯酒精X升，第二次倒出后剩下纯酒精（63X）升。根据题意，得（63X）28即（63X）（1）2863（1）228所以1X121，X2105（不合题意，舍去）答；每次倒出酒精溶液21升。评注本题也可以看作是增长率问题，因为每倒出相同体积的酒精溶液后，再用水充满，酒精溶液降低的浓度是相同的，此题中每一次倒出相同体积的酒精溶液后，每次酒精降低的浓度均为由增长率问题可得出方程（1）2布置作业课本复习题一中A组第4、5、6题，选做B组第3题。教学后记定义与命题（1）教学目标1了解定义的含义2了解命题的含义3了解命题的结构，会把一个命题写成“如果那么”的形式教学重点、难点重点命题的概念难点象范例中第（3）题，这类命题的条件和结论不十分明显，改写成“如果那么”形式学生会感到困难，是本节课的难点教学过程一、创设情景，导入新课（1）阅读新华社酒泉2005年10月11日这篇报导神舟六号载人飞船将于10月12日上午发射，神舟六号飞船搭乘两名航天员，执行多天飞行任务按计划，飞船将从中国酒泉卫星发射中心发射升空，运行在轨道倾角424、近地点高度为200千米、远地点高度为347千米的椭圆轨道上，实施变轨后，进入343千米的圆轨道要读懂这段报导，你认为要知道哪些名称和术语的含义（2）什么叫做平行线（在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线）什么叫做物质的密度（单位体积内所含某一物质的质量叫做密度）二、合作交流，探求新知1定义概念的教学从以上两个问题中引入定义这个概念一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义象问题（1）中的轨道倾角、近地点高度、远地点高度、变轨的含义必须有明确的规定，即需要给出定义完成做一做请说出下列名词的定义1无理数；2直角三角形；3一次函数；4频率；5压强2命题概念的教学教师提出问题判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断哪些没有对事情作出判断（1）对顶角相等；2画一个角等于已知角；3两直线平行，同位角相等；4，两条直线平行吗5鸟是动物；6若，求的值；7若，则AB42A2BA答案句子1357对事情作了判断，句子246没有对事情作出判断其中135判断是正确的，（7）判断是错误的在此基础上归纳出命题的概念一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题象句子1357都是命题；句子246都不是命题说明讲解定义、命题的含义时，要突出语句的作用句子根据其作用分为判断、陈述、疑问、祈使四个类别定义属于陈述句，是对一个名称或术语的意义的规定而命题属于判断句或陈述句，且都对一件事情作出判断与判断的正确与否没有关系3命题的结构的教学告诉学生现阶段我们在数学上学习的命题可看做由题设或条件和结论两部分组成题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项这样的命题可以写成“如果那么”的形式，其中以“如果”开始的部分是条件，“那么”后面的部分是结论如“两直线平行，同位角相等”可以改写成“如果两条直线平行，那么同位角相等”三、师生互动运用新知下面通过书本中的范例介绍如何找出一个命题的条件和结论，并改写成“如果那么”的形式例1指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果那么”的形式1三条边对应相等的两个三角形全等；2在同一个三角形中，等角对等边；3对顶角相等；4同角的余角相等；5三角形的内角和等于180；6角平分线上的点到角的两边距离相等分析找出命题的条件和结论是本节课的难点，因为命题在叙述时要求通顺和简练，把命题中的有些词或句子省略了，在改写是注意把时要把省略的词或句子添加上去（1）“三条边对应相等”是对两个三角形来说的，因此写条件时最好把“两个三角形”这句话添加上去，即命题的条件是“两个三角形的三条边对应相等”，结论是“这两个三角形全等”可以改写成“如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等”（2）学生可能会说条件是“在同一个三角形中”，结论是“等角对等边”教学时可作这样引导“等角对等边含义”是指有两个角相等所对的两条边相等，然后提问学生，一个三角形满足什么条件时，有两条边相等这个命题的条件是什么结论是什么值得注意的是，命题中包含了一个前提条件“在一个三角形中”，在改写时不能遗漏（3）可作如下启发对顶角指两个角的关系，相等指两个角相等把“两个角”添补上去，写成“是对顶角的两个角相等”，这样学生不难得出这个命题的条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”这个命题可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”（4）条件是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”这个命题可以改写成“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”（5）条件是“三个角是一个三角形的三个内角”，结论是“这三个角的和等于180”这个命题可以改写如果“三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180”；6如果“一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等”例2下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题1若AAC，则CB吗4两点之间线段最短；5解方程；032X6123答案（1）（2）（4）（6）是命题，（3）（5）不是命题例3（1）请给下列图形命名，并给出名称的定义答案略（2）观察下列这些数，找出它们的共同特征，给以名称，并作出定义52，2，0，2，8，14，20，答案能被2整除的整数是偶数四、应用新知体验成功课内练习教材中安排了4个课内练习，第1题是为定义这个概念配置的，第2题是为命题这个概念配置的，第3、4题是为命题的结构配置的第4题可以通过同伴或同桌的合作交流完成五、总结回顾，反思内化学生自由发言，这节课学了什么教师做补充三个内容分组成题是由条件和结论两部命题的的结构通常命的判断的句子事情作出正确或不正确命题的概念对某一件子名称或术语的意义的句定义的含义规定某一六、布置作业定义与命题（2）教学目标1理解真命题、假命题、公理和定义的概念2会判断一个命题的真假，会区分定理、公理和命题。3通过对真假命题的判断，培养学生树立科学严谨的学习方法。教学重点、难点重点判断一个命题的真假是本节的重点。难点公理、命题和定义的区别。教学过程（一）合作学习复习命题的概念，思考下列命题的条件是什么结论是什么边长为A（A0）的等边三角形的面积为3/4两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行对于任何实数，提问上述命题中，哪些正确哪些不正确得出真命题、假命题的概念正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。把学生分成两组，一组负责说命题，然后指定第二组中某一个人来回答是真命题还是假命题（二）举例判断下列命题是真命题还是假命题（1）X1是方程X22X30的解。（2）X2是方程（X24）/（X23X2）的解。（3）如图，若12，则。（4）一个图形经过旋转变化，像和原图形全等。（三）讲述公理和定义公理人类经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据。这样公认为正确的命题叫做公理。例如“两点之间线段最短”，“一条直线截两条平行所得的同位角相等”，然后提问学生你所学过的还有那些公理定理用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。定理也可以作为判断其他命题真假的依据。举例请用学过的公理或定理说明下面这个命题的正确性“等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线互相重合“（四）课内练习见书本作业题（五）作业见作业本证明（1）教学目标1了解证明的含义。2体验、理解证明的必要性。3了解证明的表达格式，会按规定格式证明简单命题。教学重点、难点重点本节教学的重点是证明的含义和表述格式。难点本节教学的难点是按规定格式表述证明的过程。教学过程一、新课引入教师借助多媒体设备向学生演示课内节前图比较线段AB和线段CD的长度。通过简单的观察，并尝试用数学的方法加以验证，体会验证的必要性和重要性二、新课教学1合作学习一组直线A、B、C、D、是否不平行（互相相交），请通过观察、先猜想结论，并动手验证1证明的引入（1）命题“等腰直角三角形的斜边是直角边的倍”是真命题吗请说明理由2分析根据需要画出图形，用几何语言描述题中的已知条件和要说明的结论。教师对具体的说理过程予以详细的板书。小结归纳得出证明的含义，让学生体会证明的初步格式。（2）通过例2的教学理解证明的含义，体会证明的格式和要求例2、证明命题“如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且方向相同，那么这两个角相等”是真命题。分析根据需要画出图形，用几何语言描述题中的已知条件、以及要证明的结论（求证）。证明过程的具体表述（略）小结证明几何命题的表述格式（1）按题意画出图形；（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；（3）在“证明”中写出推理过程。（3）练习P76课内练习2三、例题教学例2、已知如图，AC与BD相交于点O，AOCO，BODO。求证ABCD（证明略）四、练习巩固P76课内练习3五、小结1证明的含义2真命题证明的步骤和格式3思考、探索假命题的判断如何说理、证明六、作业布置公理、定理教学目标1、知识与技能了解命题、公理、定理的含义；理解证明的必要性。2、过程与方法结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生说理有据，有条理地表达自己想法的良好意识。3、情感、态度与价值观初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值。OABCD重点与难点1、重点知道什么是公理，什么是定理。2、难点理解证明的必要性。教学过程一、复习引入教师讲解前一节课我们讲过，要证明一个命题是假命题，只要举出一个反例就行了。这节课，我们将探究怎样证明一个命题是真命题。二、探究新知（一）公理教师讲解数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。我们已经知道下列命题是真命题一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；全等三角形的对应边、对应角相等。在本书中我们将这些真命题均作为公理。（二）定理教师引导学生通过举反例来说明下面两题中归纳出的结论是错误的。从而说明证明的重要性。1、教师讲解请大家看下面的例子当N1时，（N25N521当N2时，（N25N521；当N3时，（N25N521。我们能不能就此下这样的结论对于任意的正整数（N25N52的值都是1呢实际上我们的猜测是错误的，因为当N5时，（N25N5225。2、教师再提出一个问题让学生回答如果AB,那么A2B2由此我们猜想当AB时，A2B2。这个命题是真命题吗答案不正确，因为35，但32（5）2教师总结在前面的学习过程中，我们用观察、验证、归纳、类比等方法，发现了很多几何图形的性质。但由前面两题我们又知道，这些方法得到的结论有时不具有一般性。也就是说，由这些方法得到的命题可能是真命题，也可能是假命题。教师讲解数学中有些命题可以从公理出发用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为推断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。三）例题与证明例如，有了“三角形的内角和等于180”这条定理后，我们还可以证明刻画直角三角形的两个锐角之间的数量关系的命题直角三角形的两个锐角互余。教师板书证明过程。教师讲解此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理。定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据。三、随堂练习课本P66练习第1、2题。四、课时总结1、在长期实践中总结出来为真命题的命题叫做公理。2、用逻辑推理的方法证明它们是正确的命题叫做定理。五、布置作业课本习题191第3题。证明（2）教学目标进一步体会证明的含义；探索并理解三角形内角和定理的几何证明；进一步熟练证明的方法和表述；让学生体验从实验几何向推理几何的过渡教学重点、难点重点探索三角形内角和定理的证明，进一步掌握证明的方法和表述难点例是由较复杂的题设条件得出若干结论，用到多个定理，是本节的难点教学过程一、复习证明的一般格式和表述，导入新课BCABCAPDEBCAED123A通过一个简单的命题的求证过程，让学生自己回顾证明一个命题的一般格式，并用自己的语言进行表述（1）求证线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等设问如何写出已知、求证，并画出图形如何进行证明（可由学生口述）（2）根据上述题目结合学生的回答引导学生归纳出证明一个命题的一般格式按题意画出图形；分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；在“证明”中写出推理过程二、合作交流，探究新知（一）通过一个简单的例子向学生简介把一个由实验得到的几何命题经过推理的方法加以论证，让学生体验实验几何向推理几何的简单过渡。命题求证三角形任何两边之和大于第三边（1）让学生回顾七年级对此命题的说明过程（2）教师通过“两点之间线段最短”来说明上述命题，并板书论证过程（二）探究新知问题三角形内角和定理是什么出示命题求证三角形三内角和等于180分析（1）这个命题的条件和结论是什么并根据条件和结论画出图形，写出已知，求证（2）请同学们回顾，在三角形部分，对这个命题是用哪种实验方法加以说明的（可请成绩较好的同学回答）（3）请同学们思考如何通过添加辅助线的方法把三个角拼在一起，这些线中哪些线容易产生相等的角（同学之间相互合作，讨论学习，时间可稍长）根据学生的回答，添辅助线并引导学生梳理推理的过程（此处可引导学生在不同的顶点处添加辅助线）（4）师生共同完成推理过程启发学生再思考，除了选三角形顶点作平行线之外，还有没有其他方法，比如选三角形边上一点（此处也可让学生相互讨论并尝试），师生共同探究出证明过程可在BC边上任意取一点P，作PDAB，交AC于点D；作PEAC，交AB于点E证明PDAB（已知）DPCBCDPA两直线平行，同位角相等又PEACEPBC两直线平行，同位角相等EPBEPDDPCCAB180等量代换设问三角形内角和外角之间有什么关系（学生讨论，自己试着给出证明过程）三、运用新知，体验成功如图，比较1与23的大小，并证明你的判断（可让学生自行完成，并口述过程，老师作点评）BCDO四、拓展提高，综合运用例已知如图，AD是BAC的角平分线，BCAD于点O，ACDC于点C求证（1）ABC是等腰三角形；（2）DB（一）启发诱导，形成思路（1）要证明ABC是等腰三角形，只需证明什么（ABAC或BACB）（2）证明两边相等或两角相等常用的方法是什么（三角形全等）图中能否找到以AB，AC为对应边的全等三角形ABO与ACO全等吗应该满足什么条件（3）要证明DB，你能找到合适的全等三角形吗根据已知ACDC，能得到D与三角形中哪个角互余根据已知BCDA，能得到B与三角形中哪个角互余（二）指导学生完成证明过程；（三）指明此题是由结论出发寻求解题思路，这是常用的一种数学方法分析法五、疏理全过程，形成小结（1）本节课你的最大收获是什么（可根据学生的回答大概归纳为三角形内角和定理的证明方法作平行线法；常用的几何证明方法由结论出发寻求使结论成立的条件，进而形成解题思路分析法）六、课外作业见作业本证明（3）教学目标1、继续学习证明的方法和表述2、通过探求，让学生归纳和掌握证明的两种思考方法。教学重点、难点重点本节教学重点是如何分析证明的途径难点难点是例6的证明，要用逆向思维的思考方法【教学过程】教师活动教学内容学生活动一、引例显示引例在RTABC中，ACBRT,CDAB于D。和老师一起读题，并要求能根据题意准确画图。图形中，有几个锐角4个回答问题提问通过观察,图形中这4个锐角大小有什么关系两两分别相等学生思考，然后个别提问提出问题，提问学生时帮助总结证明方法。问题求证ACDA证明ACBRTACDBCD90CDABAACD90BCDA其它证法亦可同学们思考，然后让一学生归纳方法。二、回顾板书课题42证明（3）1、指导学生，理解题意已知如图，AD是ABC的高，E是AD上一点，若ADBD，DEDC，求证1C审题，认真思考并且积极回答老师的提问三、新课讲解例52、思考证明两个角相等的方法有哪些证明两个角的方法较多，如两条直线平行，同位角相等或内错角相等，在本题总结的过程中帮助学生引导1和C在两个三角形有什么特点。学生讨论，然后提问总结。3、教师帮助总结通过证明1与C所在的三角形全等通过提问学生总结方法4、问如何证明在全等的证明过程中，已知两条件ADBD，DEDC通过AD是ABC的高，可证出ADCBDERT学生找已知条件和需证条件三、新课讲解例55、给出解题步骤证明AD是ABC的高BDEADCRT又BDAD（已知）DEDC（已知）BDEADC（SAS）1C（全等三角形的对应角相等）学生口述证题过程四、课堂练习一学生完成练习一后，出示参考证明核对（略）已知如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，12，求证BADE一学生在黑板上演示，其他学生在课本上完成ABCDABCDE1练习。五、新课讲解例6显示例6（屏幕显示）问证明两直线平行的方法有哪些已知AD是三角形纸片ABC的高，将纸片沿直线EF折叠，使点A与点D重合，求证EFBC审题后思考证明两直线平行主要有哪些方法。2、通过学生的回答，总结两直线平行的方法平行的证法较多，有时无从着手，但联系本题，需引导学生从结论出发进行思考。分组讨论，前面组回答，后面组补充总结3、问，若在多条交流的河流下游发现河水被污染，该怎么找到污染源总结出一条可行的方法逆流而上寻找污染源。发挥学生的发散思维，让学生充分思考，尽情发挥。4、联想本题，发生类比，从结论出发总结证明思路。联系本题，让学生总结出逆流而上寻找证题思路。5、出示证明过程证明因为将纸片沿直线EF折叠后，点A与点D重合，所以EF是线段AD的对称轴。EFAD（对称轴垂直平分连结两个对称点之间的线段）AD是ABC的高（已知）BCAD（三角形的高的定义）EFAD（垂直于同一条直线的两直线平行）通过总结，完成证题6、提出问题，让学生课外思考完成后上交。问审题从结论出发，还有其它的解法让学生解一题多种，学生可以互相讨论。六、课堂练习2出示（屏幕显示）已知如图，ADBC，BD，求证，ADCCBA请写出分析和证明过程学生仔细审题ABCDABCDEF要求学生用逆向思维的思考方式写出分析过程学生独立完成，互相讨论，总结方法。七、课堂小结问这节我们学到了什么1、会正确表述证明的过程2、会判断如何证明角、边相等，两直线平行3、学会用证明的两种思考方法，特别要体验逆向思维的必要性学生自由回答八、作业布置1、完成课本“作业题”2、预习下一节记录证明（4）教学目标1、理解反例的意义和作用。2、掌握在简单情况下利用反例证明一个命题是错误的教学重点、难点重点用反例证明一个命题是错误的难点如何构造一个反例去证明一个命题是错误的教学过程一、情景引入判断下列命题的真假1素数是奇数2黄皮肤、黑头发的人是中国人3在不同项点上有两个外角是钝角的三角形是锐角三角形我们对真命题的证明，掌握了一定的方法和技能，那么如何来说明一个命题是假命题呢今天我们将一起来探讨如何说明一个命题是假命题。从而引出课题反例与证明二、新课新授1、讨论（1）学生讨论1如何去判断一个命题是假命题的方法学生分小组讨论，教师巡回指导，师生总结判断一个命题是假命题只要举出一个反例即可。（2）学生讨论2怎么样反例才能判断一个命题是假命题学生分小组讨论，教师巡回指导，师生总结具备命题条件但不具备命题结论的例子如可以举2是素数，但不是奇数，从而证明“素数是奇数”是假命题（3）、让学生举一个反例去证明“黄皮肤、黑头发的人是中国人”是假命题2、例题讲解例题、判断下列命题的真假，并给出证明（1）若2XY0，则XY0（2）有一条边、两个角相等的两个三角形全等解（1）是假命题。取X1,Y2，则2XY2（1）20但X0且Y0。即X1，Y2具备2XY0的条件，但不具备命题的结论，所以此命题为假命题（2）假命题。如图ABC和ABC中，ABBCABAB但很明显ABC和ABC不全等，所以此命题为假命题例题小结如果要证明或判断一个命题是假命题，那么我们只要举出一个符合题设而不符合结论的例子就可以了。这称为举“反例”。3、变式练习判断命题“两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”的真假，并给出证明。分析这是一个假命题，要证明它是一个假命题，关键是看如何构造反例。本题可以从以下两方面考虑，（1）三角形ABC中，ABAC，在底边BC延长线上取点D，连DA，这样在ADB和ADC中，ADAD，DD，ABAC，显然观察图形可知ADB与ADCABCA|BC不全等，或者，在BC上任取一点E（E不是中点），如图444（2），则在ABE和ACE中，ABAC，BC，AEAE，显然它们不全等。解这是一个假命题，证明如下如图444（1），在ABC中，ABAC，延长CB到D，连结AD。则ABAC，（已