高中数学导数知识点归纳总结

14导导数数知识要点知识要点1导数（导函数的简称）的定义设0X是函数XFY定义域的一点，如果自变量X在0X处有增量X，则函数值Y也引起相应的增量00F；比值FFY0称为函数F在点0到之间的平均变化率；如果极限XFFXLIMLI000存在，则称函数XFY在点0处可导，并把这个极限叫做FY在处的导数，记作0XF或0|X，即FXFXLILI00注是增量，我们也称为“改变量”，因为X可正，可负，但不为零以知函数FY定义域为A，FY的定义域为B，则A与关系为B2函数XF在点0处连续与点0X处可导的关系函数FY在点处连续是FY在点0处可导的必要不充分条件可以证明，如果XF在点0处可导，那么XFY点0处连续事实上，令X0，则相当于于是LIMLILIM000XFFXFXFFXX0LIMLILI00000XFFXFFFXXX导数导数的概念导数的运算导数的应用导数的几何意义、物理意义函数的单调性函数的极值函数的最值常见函数的导数导数的运算法则如果XFY点0处连续，那么XFY在点0处可导，是不成立的例|F在点处连续，但在点处不可导，因为XY|，当0时，1XY；当X0时，1XY，故XY0LIM不存在注可导的奇函数函数其导函数为偶函数可导的偶函数函数其导函数为奇函数3导数的几何意义函数XFY在点0处的导数的几何意义就是曲线XFY在点,0XF处的切线的斜率，也就是说，曲线XFY在点P,0XF处的切线的斜率是F，切线方程为00XFY4求导数的四则运算法则VU2121XFXFFYXFXFFYNNCVCV（为常数）02VUU注V,必须是可导函数若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导例如设XXF2SIN，XG2COS，则,XGF在0处均不可导，但它们和GFCOSIN在0处均可导5复合函数的求导法则XUFXF或XUY复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形6函数单调性函数单调性的判定方法设函数XFY在某个区间内可导，如果XF0，则XFY为增函数；如果XF0，则F为减函数常数的判定方法；如果函数F在区间I内恒有F0，则XFY为常数注0XF是F（X）递增的充分条件，但不是必要条件，如32XY在,上并不是都有F，有一个点例外即X0时F（X）0，同样0F是F（X）递减的充分非必要条件一般地，如果F（X）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么F（X）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的7极值的判别方法（极值是在0X附近所有的点，都有XF0F，则0XF是函数F的极大值，极小值同理）当函数XF在点0处连续时，如果在附近的左侧XF0，右侧XF0，那么0XF是极大值；如果在0X附近的左侧F0，右侧F0，那么F是极小值也就是说是极值点的充分条件是X点两侧导数异号，而不是XF0此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）注若点0X是可导函数XF的极值点，则XF0但反过来不一定成立对于可导函数，其一点是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零例如函数3XFY，0使XF0，但0不是极值点例如函数|F，在点处不可导，但点X是函数的极小值点8极值与最值的区别极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较注函数的极值点一定有意义9几种常见的函数导数I0C（为常数）XCOSSIN21ARCSINX1NNX（R）XXSINCS2ROSXIIXLNEXAALOG1L1ARCTN2XXEXLNOT2XRIII求导的常见方法常用结论X1|LN形如21NAXAXY或21NBXBXAAY两边同取自然对数，可转化求代数和形式无理函数或形如XY这类函数，如XY取自然对数之后可变形为XYLNL，对两边求导可得XXLNLN1LN导数知识点总结复习经典例题剖析考点一求导公式。例1FX是312FX的导函数，则1F的值是。考点二导数的几何意义。例2已知函数YFX的图象在点MF，处的切线方程是12YX，则1F。例3曲线324YX在点13，处的切线方程是。点评以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三导数的几何意义的应用。例4已知曲线CXXY23，直线KXYL，且直线L与曲线C相切于点0,YX，求直线L的方程及切点坐标。点评本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。考点四函数的单调性。例5已知132XAXF在R上是减函数，求A的取值范点评本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。考点五函数的极值。例6设函数328FXAXBC在1X及2时取得极值。（1）求A、B的值；（2）若对于任意的0，都有2F成立，求C的取值范围。点评本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数XF的极值步骤求导数XF；求0的根；将0XF的根在数轴上标出，得出单调区间，由XF在各区间上取值的正负可确定并求出函数F的极值。考点六函数的最值。例7已知A为实数，AXXF42。求导数XF；（2）若01F，求XF在区间2,上的最大值和最小值。点评本题考查可导函数最值的求法。求可导函数XF在区间BA,上的最值，要先求出函数XF在区间BA,上的极值，然后与AF和进行比较，从而得出函数的最大最小值。考点七导数的综合性问题。例8设函数3FXABC0为奇函数，其图象在点1,F处的