李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社

1第一章绪论1设,的相对误差为，求的误差。0XLNX解近似值的相对误差为RE而的误差为LN1LNLEXX进而有2设的相对误差为2，求的相对误差。XN解设，则函数的条件数为NF|PXFC又,1NFX1|NPX又RPRC且为2REX0NR3下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字,102X31X856X430X571X解是五位有效数字；102X是二位有效数字；23是四位有效数字；856X是五位有效数字；40是二位有效数字。571X4利用公式23求下列各近似值的误差限1,2,3124X123X24/X其中均为第3题所给的数。1234,X解241321334150020XXX12443310015X2312313243110085602385605XXX24243353/110560XX5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R时允许的相对误差限是多少解球体体积为34VR则何种函数的条件数为234PRCARPRRVR又1R3故度量半径R时允许的相对误差限为103RR6设，按递推公式（N1,2,）028Y1780NY计算到。若取（5位有效数字），试问计算将有多大误差17329810Y解0N109Y98737101083Y依次代入后，有1017830Y即，107若取,8329102931008Y的误差限为。327求方程的两个根，使它至少具有4位有效数字（）。561X78329解，20故方程的根应为1,2873X故19582X具有5位有效数字211873017863287952X具有5位有效数字28当N充分大时，怎样求12NDX4解12ARCTN1ARCTNNDXN设。ARCT,则N1122ARCTNTA1ARCTN1NDXNA9正方形的边长大约为了100CM，应怎样测量才能使其面积误差不超过21CM解正方形的面积函数为2AX2A当时，若,10X1则2故测量中边长误差限不超过0005CM时，才能使其面积误差不超过21CM10设，假定G是准确的，而对T的测量有秒的误差，证明当T增加时S的21ST0绝对误差增加，而相对误差却减少。解2,0TSGA当增加时，的绝对误差增加T21RGTTA5当增加时，保持不变，则的相对误差减少。TTS11序列满足递推关系N1,2,NY10NY若（三位有效数字），计算到时误差有多大这个计算过程稳定吗02140Y解Y20又1NY10Y又210Y2Y101028Y计算到时误差为，这个计算过程不稳定。10Y810212计算，取，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好6F,，。6213329702解设，6YX若，则。4102X若通过计算Y值，则6126716YXYXA若通过计算Y值，则32263YXA若通过计算Y值，则31247132YXYXA通过计算后得到的结果最好。313,求的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多2LN1FXX30F大若改用另一等价公式。22LN1LN1XX计算，求对数时误差有多大解,2LN1FXX30L89F设89,UYF则412故731067YUA若改用等价公式22LN1LN1XX则3089F此时，715983YU第二章插值法1当时，,求的二次插值多项式。,2X034FXFX解012200102101222,3412613FXFFXLXXXLX则二次拉格朗日插值多项式为20KLXYLX2234113576LLXX2给出的数值表LNFX8X0405060708LNX09162910693147051082603566750223144用线性插值及二次插值计算的近似值。LN054解由表格知，0123124,5,6,7,8998,054XXXFFF若采用线性插值法计算即，LN4F则056211221205XLXLXFLXFLX693470618051059若采用二次插值法计算时，LN5412000111202212065045XLXXLXLFLFLFL5096056931470605182045XXX2413842L3给全的函数表，步长若函数表具有5位有效数字，COS,09X1/60,H研究用线性插值求近似值时的总误差界。解求解近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，X是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数的近COSX似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。9当时，09X令COSF取01,60810XH令,54II则54092X当时，线性插值多项式为1,K111KKKKXXLFF插值余项为11COS2KKRXXFX又在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且，故计算中有误差传COS0,1X播过程。51121110KKKKKKKKKKFXXXRFFXFXHX总误差界为101211285COS106051KKKKKKRXXFXXFHFX4设为互异节点，求证（1）0NKKJXL0,1N（2）0NKJJJL,K证明（1）令KFX若插值节点为，则函数的次插值多项式为。,01,JNFXN0NKJLXLX插值余项为11NNNNFRXFL又,K10NFRX0NKKJL,1N0002NKJJJJIKIKJJINNIIKJIXLCLXXL由上题结论可知又110NKIJXL0NIKIIKCXX原式得证。5设且求证2,FXCAB0,FB21MAMX8XBAB解令，以此为插值节点，则线性插值多项式为01,0101XXLFFBAFAFX10LX又插值余项为1012RFXLFXX02FX0122104XXBA又2MXMAX8ABBFF6在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求的近似值，要使4EXE截断误差不超过，问使用函数表的步长H应取多少610解若插值节点为和，则分段二次插值多项式的插值余项为,IX1I1221113IIIRXFXX4MA6IIIXF设步长为H，即11,IIIIXHX43432267REE若截断误差不超过，则6106243705XEH7若，42,NNYY求及解根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。N441NNYEY40440401212JJNJJNJJJJNJNYY1442NNYEY242NY8如果是M次多项式，记，证明的K阶差分FXFXHFXFX13是次多项式，并且（为正整数）。0KFXMK10MFXL解函数的展式为TAYLOR21111MMFXHFXHFFXHFH其中,又是次数为的多项式FXM10MFHFX211MFFXH为阶多项式FX2F为阶多项式FX2M依此过程递推，得是次多项式KFXK是常数MFX当为正整数时，L10F9证明1KKKGFGF证明1KKKFFF1111KKKKKKGFGFFFF得证10证明1100NNKNKFGFGF证明由上题结论可知141KKKFGFGF101100NKKKKNNKKKFGF11010211NKNNNFGFFGFFFGG1100NKNKFFGF得证。11证明1200NJNJYY证明11200NJJJJ12110NNYYY得证。12若有个不同实根，101NNFXAAX12,NX证明110,2KNJJKF证明有个不同实根X12,NX且01NFAA2NNXXX令1则11KKNNJJJJXXFA15而2313NNNXXXXX1211NJJJJJJJJNXXXX令,KG121,KNJJXX则121,KNJJGX又121,KNJNJNXGFA110,KNJJFX得证。13证明阶均差有下列性质（1）若，则FXCF0101,NNFXCFX（2）若，则G01,NXGX证明（1）120011,JNJJJJJJJNFXFXXX120011,JNJJJJJJJNFFX0011JNJJJJJJJNCFXX0011JNJJJJJJJNFCX1,NFX得证。2FXFG1600011,JNJJJJJJJNFXFXXX0011JJNJJJJJJJNFGX0011JNJJJJJJJNFXX0011JNJJJJJJJNGX0,NNFX得证。14求及。7431,FX0172,F0182,F解X若2,0,8IIX则01,NFF701,1FFX801,0FF15证明两点三次埃尔米特插值余项是422311/4,KKKRXFXXX解若，且插值多项式满足条件1,K33KKHXFXF1111,KX插值余项为3RXFH由插值条件可知10KKX17且10KKRX可写成221KKGXX其中是关于的待定函数，GX现把看成上的一个固定点，作函数1,K2231KKTFHTGXTTX根据余项性质，有10,KKX22310KKFXGXHR223112KKKKTFTXTXTXTKX10由罗尔定理可知，存在和，使,KX1,KX12,即在上有四个互异零点。X1K根据罗尔定理，在的两个零点间至少有一个零点，TT故在内至少有三个互异零点，T1,KX依此类推，在内至少有一个零点。4T1,KX记为使1,KX44430FHGX又30T41,KFGXX18其中依赖于X4221KKFRX分段三次埃尔米特插值时，若节点为，设步长为，即0,KNH在小区间上0,1,KXHN1X422141KKFRXFX224144MA1XAX238KBABAXXFHF16求一个次数不高于4次的多项式P（X），使它满足0,10,2PP解利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式01,XYM11300210121JJJHXXMXX210023XX02119223231HXXX设0PA其中，A为待定常数32211XX4从而213PX17设，在上取，按等距节点求分段线性插值函数/FX5X10N，计算各节点间中点处的与值，并估计误差。HIXHIF解若0105,则步长H0,IXI21F在小区间上，分段线性插值函数为1,IX111IIHIIIXIFF1221IIIIXX各节点间中点处的与的值为HIXF当时，45X047,0486HFIX当时，3579X当时，2X139,15HFIX当时，150703X当时，0X8,HFIX20误差125MAXMAX8IIHFIF又2F2324,161XFXF令0F得的驻点为和X1,230X1,235MAX4HFFIX18求在上分段线性插值函数，并估计误差。2F,ABHIX解在区间上，,01,0,1,NIIIXHXN012MAIINHFX函数在小区间上分段线性插值函数为1,IX111221IIHIIIIIIIXFFXX误差为2112221MAXMAX8,AX4IIHIBHBFIFHFFIXA19求在上分段埃尔米特插值，并估计误差。F,AB解在区间上，,AB01,0,1,NIIIXHXN令01MIINH43,FXFX函数在区间上的分段埃尔米特插值函数为1,I2111211IIHIIIIIIIIIIIIIIXFXXXFX42311321214IIIIIIIIIIIIIIXHHXXHX误差为422141MAX2HIIIBFXIXF22又4FX44012MAAX6IHXBINHFI20给定数据表如下XJ025030039045053YJ0500005477062450670807280试求三次样条插值，并满足条件1025,05368SS解010234968HX111234,5,47JJJJHH123010012349,95485,7FXFFFX2304120110231223423344343,68652,37,6640,6,150SXSXDFFHFXFXDHFFDFXH由此得矩阵形式的方程组为21M05202M15494372M23562M374012M415求解此方程组得0123478,607,06539M三次样条表达式为11221160,16JJJJJJJJJXXSMHHXYYN将代入得01234,2433333367590481025106931096252,197543,86470524014860XXXXXSXXX33196209,11659538745,XX041230420,357,640SXDFDF由此得矩阵开工的方程组为0412392457360507M求解此方程组，得01234,8096,0MM又三次样条表达式为311221166JJJJJJJJJXXSHHXYY将代入得01234,M25333336297051096725,348118691803,2905286094059XXXXXSXX3,1467751,XX21若是三次样条函数，证明2FCABSX2221BAABAXDDFXFXSDX若，式中为插值节点，且，则20,1IIXSNI01NAXBBAFDXBAFSA证明2221BABBAABAFXSDXFXSDFX从而有22BBAABAFXDSXDFXSDX第三章函数逼近与曲线拟合1，给出上的伯恩斯坦多项式及。SIN2FX0,11,BFX3,F解I,F,伯恩斯坦多项式为260,NNKKBFXFPX其中1NKK当时，1N0PXX101,SINSIN02BFPFXX当时，330221222331PXXXXPX3022333223,1SIN1SINI62510498KKBFFPXXXXXAA2当时，求证F,NBFX证明若，则FX0,NNKKBFFPX270111111NKNKKKNKKNKKKKNKKNKNKKNXXXXX3证明函数线性无关,N证明若2010,NAXAXR分别取，对上式两端在上作带权的内积，得,K,11X0112NAN此方程组的系数矩阵为希尔伯特矩阵，对称正定非奇异，只有零解A0。函数线性无关。1,NX4。计算下列函数关于的与F0,1C1,F2F3,122FXXM与N为正整数，3,FX104XE解若，则13,F282310FX在内单调递增3,01MAX,FF01AMX,FF1162207FXD若，则21,02FX0112MA4XFFD1122036FFXD若M与N为正整数1,FX当时,00F2911MNMNFXXX当时,0,XN0FX在内单调递减FM当时,1XFX在内单调递减。FN01,MAX,MNFFFA102220SIN1SIINCO1MMNFFXDTTTDA12204211420SINCOSINMMFXDXTTN若410XFXE当时，,F30910910XXXFEE在内单调递减。F,0110110901120220MAX,25347XXXFEFFDEEDFED5。证明FGF证明FGFF6。对，定义1,XGCAB1,2BAFFXDFGA问它们是否构成内积。解令（C为常数，且）1FX0则031而,BAFFXD这与当且仅当时，矛盾0,0F不能构成上的内积。1,CB若，则2,AFGFXDFAG,BABKFFXFGDAGF,则1HCA,BABBAAFGFXGHXDFGAHDXFH20BAFXF若，则,0F,且2BAXD2FAFF0X即当且仅当时，F,0F故可以构成上的内积。1,CAB7。令，试证是在上带权的正交2,01NNTXXNTX0,121X多项式，并求。0123,解若，则2,NNTXX3210212NMTXPDXDX令，则，且，故1TX,TT10122111NMNMTDTTTTTDT又切比雪夫多项式在区间上带权正交，且KTX0,121X12,1,0NMNMTXDT是在上带权的正交多项式。NX0,21X又01,T1120,1,XX222,81,0TXXX334,1TX32148,01XX8。对权函数，区间，试求首项系数为1的正交多项式2,33,01,23NX解若，则区间上内积为21,1,FGFXDX定义，则011NNNXX其中1012121321121,/,/0,/0,/NNNXXDXXDXD226583X34322212221212213233,/,5510,/,56750194XXDXXXXDXX9。试证明由教材式给出的第二类切比雪夫多项式族是上带权NUX0,1的正交多项式。21X证明若2SINARCOSNXU令，可得COX122100SINARCSIN1ARCOSIIOSSINI1MXDXDDMN当时，20I1COS12D当时，MN350002SIN1SICOS1COSIN1CS1OSIN1INCOS1MDMNDMDM0SI120SIN1SI0MD又，故20SISI得证。10。证明切比雪夫多项式满足微分方程NTX2210NNXT证明切比雪夫多项式为COSAR,1NXX从而有36222322221SINARCOSI1SINARCOSCOSAR1SIARCSSARC1INOONNNNNTXXTXXNXXTXXXA0得证。11。假设在上连续，求的零次最佳一致逼近多项式FX,ABFX解在闭区间上连续F,存在，使12,XAB2MIN,AXBFF取12PFF则和是上的2个轮流为“正”、“负”的偏差点。12,由切比雪夫定理知P为的零次最佳一致逼近多项式。FX12。选取常数，使达到极小，又问这个解是否唯一A301MXA解令3FX则在上为奇函数1,301MAXF37又的最高次项系数为1，且为3次多项式。FX与0的偏差最小。3312T44XX从而有A13。求在上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。SINFX0,2解122220SI,COSIN02,CS,ARO08697156FXFXFBAAXFXFXFBAXA于是得的最佳一次逼近多项式为FX120P即SIN56,0XX误差限为1ISN0526P14。求在上的最佳一次逼近多项式。,XFE0,1解,0XXFEF38221201LN11LN22LNXXFBAAEEFEAFFBAXEA于是得的最佳一次逼近多项式为FX11LN22EPEX15。求在区间上的三次最佳一致逼近多项式。431F0,解43,FXX令，则12T1T且X4343211096FTT令，则1GTFT432109GTTT若为区间上的最佳三次逼近多项式应满足,3P31MAXINTPT当4241812GTT时，多项式与零偏差最小，故3T39343217058TGTT进而，的三次最佳一致逼近多项式为，则的三次最佳一致逼近多项式FX316PTFX为32321705685948PTXXXX16。，在上求关于的最佳平方逼近多项式。F1,241,SPANX解,FX若1,GFXD且，则2401,22012201021,59,3,57FFF则法方程组为012235739A解得012785643A故关于的最佳平方逼近多项式为FX241,SPANX40240124785608315SXAXX17。求函数在指定区间上对于的最佳逼近多项式F,SPAN1,32,013COS0,4L,2XFXFE解1,3FX若1,GFXD且，则有0,221016,34,LN,FF则法方程组为012L36243A从而解得012958A故关于的最佳平方逼近多项式为FX1,SPANX0142958S,XFE若10,GD且，则有01,X41220101,3,FEF则法方程组为0123AE从而解得0187624A故关于的最佳平方逼近多项式为FX1,SPANX0187624S3COS,0FXX若10,GD且，则有01,X2201012,3,FF则法方程组为01223A从而解得0159247A42故关于的最佳平方逼近多项式为FX1,SPANX01259437SLN,2FX若21,GFXD且则有0,2201017,3,3,2LN,2LN,4FF则法方程组为013L237N24A从而解得016382A故关于最佳平方逼近多项式为FX1,SPANX0163782S18。，在上按勒让德多项式展开求三次最佳平方逼近多项式。SINFX,1解I,2F按勒让德多项式展开0123,PXXP431012122213341,SINCOS08,I,SIN0581,FXPXDXFXXXDFP则0011222334,/5,/68107AFXFPAX从而的三次最佳平方逼近多项式为F301232324234316851590568SXPAXPAXX19。观测物体的直线运动，得出以下数据时间TS00919303950距离SM010305080110求运动方程。解被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程SABT令1,PN则2201016,53,47,8,08,SS则法方程组为62147537AB44从而解得78504236AB故物体运动方程为8ST20。已知实验数据如下IX1925313844JY190323490733978用最小二乘法求形如的经验公式，并计算均方误差。2SABX解若，则2SABX1,PN则2201015,769,3,4,325,FF则法方程组为5277436969AB从而解得0451AB故297260531YX均方误差为42006JJJY21。在某佛堂反应中，由实验得分解物浓度与时间关系如下时间T0510152025303540455055浓度41Y0127216286344387415437451458462464用最小二乘法求。YFT解45观察所给数据的特点，采用方程,0BTYAE两边同时取对数，则LNT取11,LN,SPASYXTT则SBX220101,063,975,84,02489,FF则法方程组为106376597523AB从而解得8461AB因此520874961AEB749612TYE22。给出一张记录用FFT算法求的离散谱。,30,KFKC解4,3210,KF则78N04152623374,IIIE4601234567K43210123X4444041A84048022216000JC2223，用辗转相除法将化为连分式。2236XR解2236183943210753XRX24。求在处的阶帕德逼近。SINFXX3,3RX解由在处的泰勒展开为IF0357SINX得0,C1234,60,C51,24760,C从而132314546BC即32110060B从而解得3210B又100,123KJKJACB则0112301213760ABCC故48230133237610AXAXRBXX25。求在处的阶帕德逼近。FE02,121RX解由在处的泰勒展开为XF231XE得0123,6C从而213CB即16解得13B又100,12KJKJACB则011012236ACB49故2012122364AXRBX2BABABAKSXFSXDDXFXFXSDXSBSFSXDFBF110112KNXKKKKFXSBFSAFSFSBAA第四章数值积分与数值微分1确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度10121120323/40/0HHHFXDAFHFAFHFFFXFXDHAFH解求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过M的多项式均能准确地成立，但对于M1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。（1）若101HFXDAFHFAFH令，则F501012HA令，则FX1令，则2FX31HA从而解得01433AH令，则FX30HHDX101AFFAF故成立。01HXHFH令，则4F4510123HHFXDXAFAFH故此时，101HFXDFFF故HAHAH具有3次代数精度。（2）若2101HFXDFFF令，则1F04A51令，则FX10AH令，则2FX316从而解得014383AHH令，则FX2230HHDX101AFFAF故成立。201HXHFH令，则4F22564HHXDX1013AFFAFH故此时，2101HFXDFFF因此，2101HFAFHFAFH具有3次代数精度。（3）若12123/FXDFFXF令，则F1122/XFFXF令，则F521203X令，则F21X从而解得或1208956X120689X令，则3F110XDX1223/FFF故不成立。1123/XXF因此，原求积公式具有2次代数精度。（4）若200/0HFDFHAFFH令，则1FX0,H2/0FAHFFH令，则X200211/0HHFDAFFH令，则2FX23003211/0HHFDXAFFHAH故有53321HAHA令，则3FX340024411/02HHFDXFFHH令，则4FX450025511/0236HHFDXFFHH故此时，20/,1HFXDFFF因此，00HFHH具有3次代数精度。2分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分12011091260,84,034SIN,6XDNED解2118,84XABHF复化梯形公式为781201KHTFFXFB复化辛普森公式为54778102401576KKHSFAFXFXFB221,XENBHF复化梯形公式为9101213948KHTFAFXFB复化辛普森公式为991010241576KKSFFXFXFB3,NABHF复化梯形公式为34121724KHTFFXFB复化辛普森公式为33410221736,4SIN6KKSFAFXFXFBNBHF复化梯形公式为5612103562KHTFAFXFB复化辛普森公式为556102410357KKSFFXFXFB3。直接验证柯特斯教材公式（2。4）具有5交代数精度。证明柯特斯公式为0123473279BAAFXDFXFFXFFX令，则1550123497327BAAFXDFXFFXFBA令，则FX220123417379BBAAFDAXFFXFFXBA令，则2F233012341779BBAAFXDXAFFXFFXBA令，则3FX3440123417279BBAAFDXAFFXFFXBA令，则4FX45501234173279BBAAFDXAFFXFFXBA令，则5FX56601234173279BBAAFDXAFFXFFXBA令，则6FX01234073279HBADFXFFXFFX56因此，该柯特斯公式具有5次代数精度。4。用辛普森公式求积分并估计误差。10XED解辛普森公式为462BAABSFFF此时，0,1,XFE从而有12406326S误差为40418235,0,1BARFFE5。推导下列三种矩形求积公式2324BABAFFXDABAFFFXDABA证明1,FFX两边同时在上积分，得,ABBBAAFXDFXD即22,BAFFAXFBXAB两边同时在上积分，得,BBAAFXDAFXD57即223,2BAFFXDABABFABFFXX两连边同时在上积分，得,AB222BBBAAAFFXDFFXDXD即34BAABFFF6。若用复化梯形公式计算积分，问区间应人多少等分才能使截断误差不10XIED0,1超过若改用复化辛普森公式，要达到同样精度区间应分多少等分5102,解采用复化梯形公式时，余项为2,1NBARFHFAB又0XIED故,01XFF221NERHH若，则5F2610HE当对区间进行等分时，,N故有510286E因此，将区间213等分时可以满足误差要求采用复化辛普森公式时，余项为4,1802NBAHRFFAB又,XE58444,1|280280XNFEERHFH若，则5F41HE当对区间进行等分时0,NH故有154037E因此，将区间8等分时可以满足误差要求。7。如果，证明用梯形公式计算积分所得结果比准确值大，并说FXBAIFXDI明其几何意义。解采用梯形公式计算积分时，余项为3,12TFRBAB又且0FXT又1RI即计算值比准确值大。其几何意义为，为下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积。0FX8。用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过510102320SIN1XEDX解10XIED59K0KT1KT2KT3KT007717433107280699071351212071698280713287007132720307142002071327260713271707132717因此072ISINXDK0KT1KT03451313611862828374446923210因此0I32XDK0KT1K2KT3K4KT5K014230249511117136991015174342104437969102012725102045744310266367210207224010207620710207669141022227021020757121020759431020759391020759365102112607102075909102075922102075922102075922102075922因此102759I9。用的高斯勒让德公式计算积分,3N31SIXED解31INXI令，则,2T1,T用的高斯勒让德公式计算积分205607459607459608901948IFFF用的高斯勒让德公式计算积分3N600