第四版概率论与数理统计答案

1数理统计的主要任务之一是依据样本推断总体推断的基本内容包括两个方面一、依据样本寻找总体未知参数的近似值和近似范围二、依据样本对总体未知参数的某种假设作出真伪判断第七章参数估计2设已知总体X的分布,但其中一个或几个分布参数是未知的。从总体中抽取样本,得到样本观察值,寻求适当的统计量作为未知参数的估计量,统计量的观察值就作为未知参数的估计值,这就是参数估计问题点估计区间估计估计未知参数的取值范围，并使此范围包含未知参数真值的概率为给定的值参数估计用某一数值作为未知参数的近似值X,XN,23学习重点理解点估计的概念掌握矩估计法和极大似然估计法了解估计量的评选标准（无偏性、有效性、相合性）理解区间估计的概念会求单个正态总体的均值和方差的置信区间会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间4,0,试估计参数设有以下的样本值为未知参数数的泊松分布为参假设它服从以是一个随机变量次数一天中发生着火现象的在某炸药制造厂X例171点估计250126225490756543210KNKK火的天数次着发生着火次数5解,X因为XE所以用样本均值来估计总体的均值EX6060KKKKNKNX1625642235429017502501221221的估计为故XE6一、点估计问题的一般提法,2121为相应的一个样本值本的一个样是是待估参数知的形式为已的分布函数设总体NNXXXXXXXXFX“,2121来估计未知参数用它的观察值一个适当的统计量点估计问题就是要构造NNXXXXXX“,21的估计量称为NXXX“,21的估计值称为NXXX“,简记为通称估计7点估计的思想方法设总体X的分布函数的形式已知,但含有一个或多个未知参数1,2,K设X1,X2,XN为总体的一个样本构造K个统计量11221212,NNKNXXXXXXXXX“随机变量758二、估计量的求法由于估计量是样本的函数,是随机变量,故对不同的样本值,得到的参数值往往不同,如何求估计量是关键问题常用构造估计量的方法两种矩估计法和最大似然估计法91矩估计法,212121为待估参数其中其分布律为为离散型随机变量或其概率密度为为连续型随机变量设KKKXPXXPXXFX“的样本，为来自若XXXXN,21“,阶矩存在的前假设总体KX,21即的函数且均为K“10XXFXXEKLLLD,21“X为连续型,21KRXLLLXPXXEX“或X为离散型KLXRX,2,1,“可能取值的范围是其中,2,1,11KLXNALNILIL“总体矩依概率收敛于相应的因为样本矩的连续函数率收敛于相应的总体矩样本矩的连续函数依概我们用样本矩作为相应总体矩的估计量，以样本矩的连续函数作为总体矩的连续函数的估计量这种方法称为矩估计法。11矩估计法的具体做法设1112221212,KKKKK“75可以从中解出1,2,K，得到1112221212,KKKKKUUUUUUUUU“这种估计量成为矩估计量，其观察值称为矩估计值以分别作为的估计量II以AI分别代替式中的I是包含K个未知参数1,2,K的联立方程组13212,0,021的估计量求的样本是来自总体未知其中上服从均匀分布在设总体XXXXXN“解1XE因为,2根据矩估计法,例2122NIIXXN1211222NIIAXXN的估计量的估计值13,21的估计量求的样本是来自总体未知其中上服从均匀分布在设总体BAXXXXBABAXN“解1XE,2BA22XE,41222BABA2XEXD,1211NIIXNABA令222412ABABA,112NIIXN例2X1412,22121AAABABA即解方程组得到A,B的矩估计量分别为32121AAAA,312NIIXXNX32121AAAB312NIIXXNX15例3设总体,其中及都是未知参数，如果取得样本观测值为求及的矩估计值。,1NXX“,2NX22解因为总体X的分布中有两个未知参数，所以应考虑一、二阶原点矩，我们有12222XEXXEXDXEX16NIINIIXNXN12221112122111XXNXXNNIINIINIINIINIIXXNXXNXXN1221221111所以得到矩估计量而矩估计值是由矩估计值方法得17NIINIINIIXXNXXNXXN1221221111实际上，对于任意总体，其均值和方差存在，但和是未知参数，如果取得样本为则总体均值和方差的估计量都为1,NXX“2218矩估计法的优点是直观、简便；特别是对总体的均值与方差进行估计时，并不一定要知道总体服从什么分布。但是，矩估计法对于那些原点矩不存在的总体是不适合的。191基本思想例甲乙两人比较射击技术，分别射击目标一次，甲中而乙未中。可以认为甲射击技术优于乙射击技术。例有两外形相同的箱子,各装100个球A箱99个白球1个红球B箱1个白球99个红球现从两箱中任取一箱,并从箱中任取一球,结果所取得的球是白球所取的球来自哪一箱A箱在获得了观察资料之后,给参数选取一个数值,使得前面的观察结果出现的可能性最大二、最大似然估计法20属离散型设总体X1,为待估参数设分布律XPKXP,21的样本是来自总体XXXXN“,121NIINXPXXX的联合分布律为则“2似然函数的定义可能的取值范围是其中,2121的概率取到观察值则样本NNXXXXXX“发生的概率为即事件NNXXXXXX,2211“,121NIINXPXXXLL“称为样本似然函数L,2121一个样本值的为相应于样本又设NNXXXXXX“21例如X,即EXXXPXNIINXPXXXL121,EXXPIXIINIIXEXI122最大似然估计法,21LXXXN选取使似然函数时得到样本值“,取得作为未最大值的的知数估计值参,MAX,2121NNXXXLXXXL“即可能的取值范围是其中,2121NNXXXXXX“记为有关与样本值这样得到的,21NXXX“,的最大似然估计值参数的最大似然估计量参数23属连续型设总体X2,为待估参数设概率密度为XF,21的样本是来自总体XXXXN“,121NIINXFXXX的联合密度为则“,2121一个样本值的为相应于样本又设NNXXXXXX“,121NIINXFXXXLL“称为样本的似然函数L,MAX,2121NNXXXLXXXL“若,21NXXX“,21NXXX“,的最大似然估计值参数的最大似然估计量参数24000XXEXFXX其它00,0,0211NNIXXXXEINIINXFXXXL121,例如253求最大似然估计量的步骤,121121NIINNIINXFXXXLLXPXXXLL“或写出似然函数一LNLNLNLN11NIINIIXFLXPL或取对数二,0DLND,DLND的最大似然估计值解方程即得未知参数并令求导对三LL对数似然方程26最大似然估计法也适用于分布中含有多个未知参数的情况此时只需令,2,1,0LNKILI“,2,1,IIKIK的最大似然估计值数即可得各未知参个方程组成的方程组解出由“对数似然方程组27,121的最大似然估计量求个样本的一是来自设PXXXXPBXN“,2121一个样本值的为相应于样本设NNXXXXXX“解,1,0,11XPPXXPXXX的分布律为似然函数IIXNIXPPPL111,111NIINIIXNXPP例428,1LNLNLN11PXNPXPLNIINII,01LNDD11PXNPXPLPNIINII令的最大似然估计值解得P11NIIPXXN的最大似然估计量为P11XXNPNII这一估计量与矩估计量是相同的29,22122的最大似然估计量和求的一个样本值是来自为未知参数设总体XXXXNXN“解的概率密度为X,E21,2222XXFX的似然函数为,E21,22212IXNIL例530,21LN22LN2,LN12222NIIXNNL,0,LN,0,LN222LL令,0112NIINX,021212222NIIXN31解得由0112NIINX,11XXNNII解得由021212222NIIXN,1212XXNNII为的最大似然估计量分别和故2,X1212XXNNII它们与相应的矩估计量相同32,21的最大似然估计量求的一个样本值是来自总体未知其中上服从均匀分布在设总体BAXXXXBABAXN“解,MIN21NLXXXX“记,MAX21NHXXXX“的概率密度为X,0,1,其他BXAABBAXF例633,21BXXABXXXAHLN等价于因为“的函数的似然函数为作为BA,其他,0,1,HLNXBXAABBAL有的任意于是对于满足条件BAXBXAHL,11,NLHNXXABBAL34,NLHHLXXXBXABAL取到最大值时在即似然函数的最大似然估计值BA,MIN1INILXXA,MAX1INIHXXB的最大似然估计量BA,MIN1INIXAMAX1INIXB35,021似然估计量的最大求的一个样本是来自的泊松分布服从参数为设XXXXXN“解的分布律为因为X,2,1,0,ENXXXXPX“NIIXXLI1E,E11NIIXNXNII的似然函数为所以练习36,LNLN11NIINIIXXNL,0LNDD1NIIXNL令的最大似然估计值解得,11XXNNII的最大似然估计量为11XXNNII这一估计量与矩估计量是相同的37三、小结两种求点估计的方法矩估计法最大似然估计法在统计问题中往往先使用最大似然估计法在最大似然估计法使用不方便时,再用矩估计法,121121NIINNIINXFXXXLLXPXXXLL“或似然函数3873估计量的评选标准对于总体的同一个未知参数，由于采用的估计方法不同，可能会产生多个不同的估计量。这就提出了一个问题，当总体的同一个参数存在不同的估计量时，究竟采用哪一个更好这涉及到用什么样的标准来评价估计量的好坏问题。对此，我们介绍几个常用的评价标准无偏性、有效性和相合性。39注意无偏估计不是唯一存在在评价一个估计量的好坏时,我们当然希望估计量与被估参数越接近越好但估计量是一个随机变量,它的取值随样本的观测值而变,有时与被估参数的真值近些,有时远些,我们只能从平均意义上看估计量是否与被估参数尽量接近,最好是等于被估参数于是有无偏估计量的概念,212121否则称为有偏的无偏估计的为则称若的估计量为设定义NNNXXXXXXEXXX一、无偏性40是的估计量，且满足E，则称是的无偏估计量。无偏性说明，不同的样本得到的不同，可能大于，也可能小于，多次抽样时，的平均值与真实值一致。54321012345000501015020250303504F我们不可能要求每一次由样本得到的估计值与真值都相等，但可以要求这些估计值的期望与真值相等定义的合理性定义的合理性41例如设总体X的均值为，方差均未知,22,EXES20可知,是总体均值X的无偏估计22S是总体方差的无偏估计不是总体方差的无偏估计211NIIXXN242证明22211NNIIEXXEXNEX22111NIINEXXNN221NIDXEXNDXEX222221NNNN不是总体方差的无偏估计211NIIXXN243例1设总体X的K阶矩KEXKK1存在,又设X1,X2,XN是X的一个样本试证明不论总体服从什么分布,K阶样本矩X1,X2,XN与X同分布,故有证KKKIXEXEI1,2,N,即有11NKKIKIEAEXN11NKKIIAXN是K阶总体矩K的无偏估计量。44二、有效性一个参数的无偏估计量不是唯一的,假若参数有两个无偏估计量,我们认为其观测值更密集在参数真值附近的一个较为理想由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度的度量,所以无偏估计以方差小者为好这就引出了估计量的有效性这一概念,定义21212121222111有效比称简有较高的效率比则称使不等式成立有一个且至少有若对的无偏估计量都是与设DDXXXXXXNN45三、相合性（一致性）估计量的无偏性和有效性都是在样本容量固定的前提下提出的我们自然希望随着样本容量的增大,一个估计量的值稳定于待估参数的真值这就对估计量提出了相合性的要求,0|LIM,0,2121一致估计的为参数则称总有若对于任意的估计量为为待估参数有概率函数设总体定义NNNXXXPXXXXPXLIM|1NP相合估计46对应总体的某一个样本观测值，我们可以得到点估计量的一个观测值，但是它仅仅是参数的一个近似值由于是一个随机变量，它会随着样本的抽取而随机变化，不会总是和相等，而存在着或大、或小，或正、或负的误差即便点估计量具备了很好的性质，但是它本身无法反映这种近似的精确度，且无法给出误差的范围为了弥补这些不足，我们希望估计出一个范围，并知道该范围包含真实值的可靠程度这样的范围通常以区间的形式给出，同时还要给出该区间包含参数真实值的可靠程度这种形式的估计称之为区间估计74区间估计47点估计有使用方便、直观等优点,但它并没有提供关于估计精度的任何信息,为此提出了未知参数的区间估计法如对明年小麦的亩产量作出估计为若设X表示明年亩产量,则估计结果为P800X100095明年小麦亩产量八成为8001000斤区间估计区间估计481区间估计的定义,1,1,1,10,212121称为置信水平置信上限的置信一下限和分别称为置信度为和间的置信区的置信度为为参数则称区间使得量存在两个统计若对于事先给定的本的一个样为取自这个总体参数为未知具有概率函数设总体定义NNNXXXXXXPXXXXXPX称概率为置信度或置信水平称区间是的置信度为的置信区间分别称为置信下限和置信上限11,FX注意点估计给出的是未知参数的一个近似值区间估计给出的是未知参数的一个近似范围,并且知道这个范围包含未知参数值的可靠程度491100,2121的区间包含未知参数大约有这些区间中将得到许多不同的区间在重复取样下NNXXXXXX,“,“,1,2121则犯错误的概率为的真值含着参数包区间因此若认为的真值的概率为包含参数区间随机解释为的区间估计的意义可以参数NNXXXXXX1212,NNXX,502求置信区间的方法与步骤对于给定的置信度1,怎样根据样本来确定未知参数的置信区间,21,就是参数的区间估计问题求未知参数的置信区间的步骤如下1构造一个含有未知参数而不含有其他未知参数的样本函数随机变量,21NXXXWW“，且已知其分布2对给定的置信度1，根据,21NXXXW“的分布定出分位点A和B，使得1,21BXXXWAPN“枢轴量,513从不等式BXXXWAN,21“中解出，得出其等价形式NNXXXXXX,212211“这时必有于是,21即为的置信度为1的置信区间1212,1NNPXXXXXX1212,NNXX,52例1设总体XN,2,其中2已知,X1,X2,XN为X的一个样本,求一个区间使之以1的概率包含的真值解1选择包含的分布已知函数2构造Z的一个1区间不妨设2Z212Z即1/22ZNXZPNXZ/1,0N1ZP533变形得到的1置信区间122NZXNZXP,22NZXNZX所求1置信区间为P|Z|1/2/2XX1Z/254满足同一置信度的置信区间可能有很多个，如例1中，置信度为95005的置信区间为196,1963XXNN对于任给的1,202,11只要125,记相应的上1,2分位点为1U和2U则所确定的区间21,XUXUNN都是的置信度为95的置信区间，55例如，取2002,1003,得置信区间为206,1884XXNN在众多区间中，应取哪一个注意到置信度相同的置信区间的长度往往不同，例如，区间1的长度和区间2的长度分别为2196392NN和188206394NN置信区间越短越好一般来说,置信区间取成对称区间56几点说明置信区间的长度越小，估计的精度越高反映了估计的精度12121反映了估计的可靠程度，越小，越可靠越小，1越大，估计的可靠程度越高，但这时，122往往增大，因而估计的精度降低确定后，置信区间的选取方法不唯一，常选最小的一个3在求参数的置信区间时，一般先保证可靠性在保证可靠性的基础上，再提高精度通常，增大样本容量可以提高精度4573单个正态总体均值和方差的区间估计1选择包含的分布已知函数2构造Z的一个1区间1/22ZNXZPNXZ/1,0N3变形得到的1置信区间,22NZXNZX设总体XN,2,X1,X2,XN为一组样本，1）2已知,求的置信度为1置信区间582）2未知,求的置信度为1置信区间1选择包含的分布已知函数2构造T的一个1区间3变形得到的1置信区间NSXT/1NT11|2/NTTP/2/2111SSPXTNXTNNN1,12/2/NSNTXNSNTX591选择包含2的分布已知函数3变形得到2的1置信区间2221SN12N1221P222121111NSPNN11,112122222NSNNSN2构造的一个1区间23）总体均值未知,求2的置信度为1置信区间60例2设总体XN,092,X1,X2,X9为来自总体的简单随机样本，样本均值为5，求的置信度为95的置信区间。例3设总体XN,2,X1,X2,X9为来自总体的简单随机样本，样本均值为5，样本方差为1，求的置信度为95的置信区间。例4设总体XN,2,X1,X2,X9为来自总体的简单随机样本，样本均值为5，样本方差为1，求2的置信度为95的置信区间。61解由题意得,050,90,522X,22NZXNZXN9Z0025196,NZX24412,NZX25588,所求置信区间为4412，5588解由题意得25,1,005,XS22,SSXTXTNNN9T0025823062SXTN4231,2SXTN5769,所求置信区间为4231，576962解由题意得21,005,S2222111,11NSNSNNN922211NSN0456,222111NSN3670,所求置信区间为0456，367020025817534209758218063A两个正态总体均值差的区间估计设第一个总体XN1,12,第二个总体YN2,22,X,Y相互独立,从中分别抽取容量为N1,N2的样本,样本均值和样本方差分别记为,2221SYSX4正态总体均值与方差的区间估计642构造Z的一个1区间3变形得到12的1置信区间122ZZZP,22212122221212NNZYXNNZYX112,22已知,12的1置信区间1,0/22212121NNNYXZ1选择包含12的分布已知函数65212222,2未知,12的1置信区间2/1/1212121NNTNNSYXTW1选择包含12的分布已知函数2构造T的一个1区间3变形得到12的1置信区间112,11221212/21212/NNSNNTYXNNSNNTYXWW12|212/NNTTP661选择包含12/22的分布已知函数2构造F的一个1区间3变形得到12/22的1置信区间2211122222/1,1/SFNNS1,12121NNF1,1212NNFP1F2122111212122111111SSFNNFNN,/22111,1FNNB两个正态总体方差比12/22的1置信区间12,未知,2221122211111SSFNNFNN,67例随机地从甲、乙两厂生产的蓄电池中抽取一些样本，测得蓄电池的电容量HA如下甲厂137,138,143,141,142,138,141,144乙厂136,142,138,140,141,138,140,139,143,142设两厂生产的蓄电池电容量分别服从正态总体,211N，,222N，两样本独立若已知252,4522221，求21的置信度为095的置信区间例568故21的置信度为095的置信区间为08286,2029HA解1220025810196NNZZ/,求得,5140X9139Y2212212245225196142858810ZNN/60YX222212121212,XYZXYZNNNN69例随机地从甲、乙两厂生产的蓄电池中抽取一些样本，测得蓄电池的电容量HA如下甲厂137,138,143,141,