电磁场课后习题答案

1EXERCISE24SOLUTIONPYTHAGOREANTHEOREM毕达哥拉斯定理，即勾股定理222|22ABABABAABBABABABNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL0ABABNULLNULLNULLNULL222|ABABABNULLNULLNULLNULLNULLANULLBNULLNULLAB组成一个三角形,NULLNULLNULLNULLABABNULLANULLBABNULLNULL2EXERCISE210SOLUTION0,2,12YZPOPANULLNULLNULLNULLNULLNULLQOP2,0,323XZQOQAANULLNULLNULLNULLNULLNULL232222XZYZXYZPQOQOPAAAAAAANULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL3EXERCISE211SOLUTION32,484,765XYZXYZXYZAAAABAAACAAANULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLABCNULLNULLNULL组成一个三角形,ABCNULLNULLNULLNULLANULLBNULLC0ABNULLNULL又组成一个直角三角形RIGHTANGLETRIANGLE,ABCNULLNULLNULLNULLANULLBNULLCNULLNULLAB432,2,XYZYAAAABAABNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLXYZYZXXZABAAAAAAAA3226446NULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLSOLUTIONNULLYANULLXANULLZA5EXERCISE228SOLUTIONYXZB,ANULLNULL沿XY平面上半径为B的闭合圆路径，,02DLBDANULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLDL,0DLDLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL0DLNULLNULLNULLNULLNULL6EXERCISE229SOLUTIONYXZB1METHOD1在以坐标原点为球心、半径为B的球面上，2,SIN,0,02RRRBADSBDDANULLNULLNULLNULLNULLNULL220023300SINSIN4RRRDSBABDDABDDBNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL72METHOD2YXZBVSDSFDVFNULLNULL应用GAUSSDIVERGENCETHEOREMVRDSRDVNULLNULLNULLNULLNULLNULLV是以坐标原点为球心、半径为B的球的体积XYZRXAYAZANULLNULLNULLNULL3RNULL3343343VRDSDVBBNULLNULLNULLNULLNULL8EXERCISE233SOLUTION第一问求标量函数F12X2YZ2在点P1,0,1对距离的最大变化率即是求|PF2212FXYZ2242XYZXYZFFFFAAAXAZAYZAXYZNULLNULLNULLNULLNULLNULL在P点1,0,1XYZ|24PXYFAANULLNULL在P点，标量函数F的梯度的大小为2|241577PF9第二问求标量函数F12X2YZ2在X,Y和Z方向的变化率即是求F在X,Y和Z三个方向的方向导数。2/24,/,/2FXXFYZFZYZ10第三问求F沿从点P1,0,1到点Q1,1,1方向的变化率即是求在P点，F沿PQ方向的方向导数。QOP1,0,11,1,1XZXYZPOPAQOQAAANULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL2XYPQOQOPAANULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL沿PQ方向的单位矢量为2221|5521XYLXYAAPQAAAPQNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL|24PXYFAANULLNULL在P点，F沿PQ方向的方向导数为2147|24555PLXYXYPFFAAAAALNULLNULLNULLNULLNULL11EXERCISE234SOLUTION1圆柱坐标系中11NULLZFFFFZZRAZANULLNULLNULL,0,ZRRRZ21213ZRZNULL2球坐标系中22111SINSINSINRFFRFFRRRRNULLRRRANULLNULL,0,0RRRRR3213RRRRNULLZZFFAFAFANULLNULLNULLNULLRRFFAFAFANULLNULLNULLNULL12EXERCISE235SOLUTIONXXYYXZZZYFFAFAFFFFFXYZANULLNULLNULLNULLNULL矩坐标系中233XYZFXYAXYZAZXANULLNULLNULLNULL2322333FXYXYZZXYXZZXXYNULL将P点坐标X1,Y1,Z2代入上式即可13COAXIALLINECOAXIALCABLE同轴线EXERCISE247SOLUTION14EXERCISE247SOLUTION圆柱坐标系中22222211FFFFZLN/KB与坐标变量和Z无关2110KKK同轴线内外导体之间的电介质中的电位分布函数满足拉普拉斯方程15EXERCISE37SOLUTION第一问求空间各点的ENULL体电荷密度为，/VKR即电荷是球对称分布。空间中的电场强度可表示为REERANULLNULL在以坐标原点为球心的球面上的各点处电场强度大小相同。空间被分为三个区域,RAARBRB在以坐标原点为球心、半径为R的球面（如图中虚线所示）上可利用高斯定律的积分形式，求空间各点的电场强度。AB16FSDDSQNULLNULLNULLNULLNULL自由空间中0/FSEDSQNULLNULLNULLNULLNULL0/FSERDSQNULLREERANULLNULL204/FERQQF是半径为R的球面所包围的自由电荷的总量。1RB时，220022SIN42FVBABAKQDVRDRDDRKRDRKBA22220042FRRQKBAERANULLNULLNULL总结空间中各点的电场强度为222022200/2/2RRRAERAKRARARBAKBARRBNULLNULLNULLAB18第二问求穿过RB的球面的电通量222FSDDSQKBANULLNULLNULLNULLNULL（单位是库仑）QF是半径为B的球面所包围的自由电荷的总量，即空间中总的自由电荷。AB19EXERCISE311SOLUTION假设无限长均匀带电导线位于坐标系的Z轴，导线上电荷的线密度为L。空间中的电场强度可表示为NULLNULLEEA在以Z轴为中轴、半径为、高度为1的圆柱面上可利用高斯定律的积分形式，求自由空间中的电场强度。0/NULLNULLNULLNULLNULLLSEDSNULLNULLNULLNULLNULLLSDDS在圆柱面的上顶面、下底面，,0NULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLZDSDSAEDS0/NULLNULLNULLNULLNULLLSEDS21000/NULLNULLLEADDZAP2021000/NULLNULLLEADDZA02LE02NULLNULLLEAPA选取点A作为电位参考点点A和点P的和Z坐标相同，点A的A。自由空间中任意点P的电位为00LN22NULLNULLNULLNULLNULLNULLAALLPAVEDLADA等电位面为CONSTANT即无限长均匀带电导线的等电位面为与该导线同轴的圆柱面。21EXERCISE323SOLUTION假设无限长的线电荷位于坐标系的Z轴，电荷密度为L。电介质中的电通量密度可表示为NULLNULLDDA在以Z轴为中轴、半径为、高度为1的圆柱面上利用高斯定律的积分形式，求电介质中的电通量密度。NULLNULLNULLNULLNULLLSDDS2100NULLNULLLDADDZA2LD2NULLNULLLDA第一问求电介质中的电场强度电介质中的电场强度为2LDEANULLNULLNULL22第二问将线电荷视为半径为的圆柱体0，求电介质中的束缚电荷密度1210111,2NULLNULLNULLNULLNULLLDEPDA1110111112NULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLLRRRRRDPDEDDA将电介质视为媒质1；半径为的圆柱体所围区域是自由空间，视其为媒质2。10NULLVBP11NULLZFFFFZ即电介质中束缚体电荷密度为02321|SBNSAPPNULLNULLNULL12在圆柱面上，束缚面电荷密度为媒质2是自由空间20NULLP在圆柱面上NULLNULLNAA112NULLNULLLRRPA110|22NULLNULLLLRRSBAA注意在无限长的线电荷表面，单位长度内的束缚电荷为011LIM2RRSBLLRRC/M2单位长度内的总电荷TOTAL1LRLLRR24PLANE0YYZXO104020EXAMPLE318自由空间和电介质的分界面是平面Y0SOLUTION令Y0的区域是自由空间，即媒质2。已知02|134050XYYZEAAANULLNULLNULLNULL求01|YENULL自由空间和电介质的分界面上无自由面电荷，边界条件12|NSSFADDNULLNULLNULL1020|NYNYDD12|0NSAEENULLNULLNULL1020|TYTYEE25ANULL矢量的法向分量为ANULLNNNAAAANULLNULLNULLNULL矢量的切向分量为ANULLTTTAAAANULLNULLNULLNULL在分界面Y0上NYAANULLNULL12,TZTXAAAANULLNULLNULLNULL02|134050XYYZEAAANULLNULLNULLNULL法向分量TNAAANULLNULLNULL2602|134050XYYZEAAANULLNULLNULLNULL法向分量2020|1350|40TYXZNYYEAAEANULLNULLNULLNULLNULL202200|4NYNYYDEANULLNULLNULL1020|1350TYTYXZEEAANULLNULLNULLNULL1020|TYTYEE1020|NYNYDD10200|4NYNYYDDANULLNULLNULL1001010|40|40NYNYYYDEANULLNULLNULLNULL2710|1350TYXZEAANULLNULLNULL10|NYYEANULLNULL分界面上电介质一侧的电场强度为法向分量101010|1350TYNYXZYYEEEAAANULLNULLNULLNULLNULLNULLV/M28EXERCISE338SOLUTION第一问THEPOTENTIALFUNCTIONINEACHMEDIUM电介质1和电介质2中均无自由电荷两种电介质中的电位函数分别为111LNCACVD222LNCCBVDC1,D1,C2,D2是待求系数，由边界条件解出。求电位的最终目的是求电场强度，只需求出C1和C2。29111LNCACVD222LNCCBVD边界条件210122121|0|0BACCCCSFVVVVVVVNN22LN0CBD110LNCADV1122LNLNCCDCCD21|CCCCNVVAANNULLNULL2121CC302211011222121LN0LNLNLNCBDCADVCCDCCDCC01120221LNLNLNLNVCCBACVCCBAC两种电介质中的电位函数分别为111LNCACVD222LNCCBVD31第二问THEANDFIELDSINEACHMEDIUMENULLDNULL0111112LNLNAVVCEVAACBACNULLNULLNULLNULL111LNCACVD222LNCCBVD01111211LNLNAVDECBACNULLNULLNULL0222221LNLNAVVCEVAACBACNULLNULLNULLNULL02221211LNLNAVDECBACNULLNULLNULL思考为什么12DDNULLNULL32第三问THECHARGEDISTRIBUTIONONTHEINNERCONDUCTOR根据边界条件12|NSSFADDNULLNULLNULL在圆柱面A两侧媒质2是导体，媒质1是电介质1，02112,0,|11LNLNNAAVAADDCBAACNULLNULLNULLNULLNULL011211LNLNAVDCBACNULLNULL在内导体的表面上A，自由面电荷密度为01121|11LNLNSFAVADCBAACNULLNULLC/M233对于单位长度的同轴电缆，内导体上的自由电荷总量为0122211LNLNFSFVQACBACCOAXIALCABLE第四问THECAPACITANCEPERUNITLENGTH此同轴电缆的单位长度电容为1201212121221111111LNLNLNLN22FLQCCCCBCBVCCACACCCF/M1212,LNLNCCCBAC式中34第二章电子教案中计算电容部分有一例题同轴线的内导体半径为A，外导体的内半径为B，内外导体之间填充介电常数为的电介质。此同轴线单位长度内的电容为2LNCBAF/M35填充两层电介质的同轴电缆的单位长度电容为12121212111111LNLN22LCCCCBCCACCCF/M121222,LNLNCCCBAC式中即总电容等于两个电容器串联后的电容。36EXERCISE510SOLUTION双导线ZXYII通有恒定电流I的无限长直导线在自由空间中产生的磁场，磁通密度为02IBANULLNULLP是场点到导线的垂直距离左边导线在场点P产生的磁通密度为012XIBAYNULLNULL采用矩坐标系，场点P是平面X0上的一点，其坐标为0,Y,Z，Y的取值范围是。AYBA右边导线在场点P产生的磁通密度为022XIBABYNULLNULLB37场点P处的磁通密度为012112XIBBBAYBYNULLNULLNULLNULL平面X0上，两导线之间区域的面积元为XDSDYDZANULLNULLNULLNULL支撑两条平行导线的两支架的间距为L，通过由两条平行导线和两个支架所形成的区间的磁通为00000112111122LN|LN|LN10LXXSBALBAAABABAYBAAAYAIBDSADYDZAYBYIIDYDZDYYBYYBYILILYYBNULLNULLNULLNULLNULLNULLL38EXERCISE5120BNULL1225XYZBXAYACZANULLNULLNULLNULLSOLUTION12250C37C39EXERCISE524SOLUTIONXYZ102010OABC已知2235TXYZBAAANULLNULLNULLNULL求1BNULLTHEFIELDINFREESPACEBNULL介质1是自由空间，介质2是电导率有限的介质，1110122202,1BHHBHHNULLNULLNULLNULLNULLNULL0SFJNULL分界面平面2YX40上12|0NSSFAHHJNULLNULLNULLNULL12|TSTSHHNULLNULL12|0NSABBNULLNULLNULL12|NSNSBBNULLNULL40ANULL矢量的法向分量为ANULLNNNAAAANULLNULLNULLNULL矢量的切向分量为ANULLTNAAANULLNULLNULLNANULL关键是求出分界面上由介质2指向介质1的法向单位矢量。NANULL注意是矢量的单位矢量。NANULLCONULLNULLNULLNULL411求NANULLA点的坐标是4,0,0，B点的坐标是0,2,0，4,2XYOAAOBANULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL42XYBAOAOBAANULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL分界面上的一个切向单位矢量为1TANULL1422|255XYXYTAAAABAABANULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL分界面上的另一个切向单位矢量为2TANULL2TZAANULLNULL42|424|255OAOBCOBANULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL2228|416/55CAOACONULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL121688|555XYXYTAAAACACAANULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLOACACONULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL16848455XYXYXAAAACOCAOAANULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL注意是矢量的单位矢量，NANULLCONULLNULLNULLNULL48554|25YNYXXAACOAAACONULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL43已知2235TXYZBAAANULLNULLNULLNULL25XYNAAANULLNULLNULL在分界面平面2YX40上22222355524840816555XYXYNNNXYZXYXYXYAAAABBAAAAAAAAAAANULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL222235081628145TNXYZXYXYZBBBAAAAAAAANULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL4420816NXYBAANULLNULLNULL228145TXYZBAAANULLNULLNULLNULL12|TSTSHHNULLNULL12|NSNSBBNULLNULL22202814510XYZTTAAABHNULLNULLNULLNULLNULL102814510XYZTAAAHNULLNULLNULLNULL11100281450280140510XYZTTXYZAAABHAANULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL10816NXYBAANULLNULLNULL45102801405TXYZBAAANULLNULLNULLNULL10816NXYBAANULLNULLNULLTHEFIELDINFREESPACEISBNULL11108160280140505217405TNTXYXYZXYZBBBAAAAAAAANULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL46EXERCISE528SOLUTIONCOAXIALCABLEAB同轴线的内、外导体上分别通有大小相等、方向相反的直流I。采用圆柱坐标系，内导体的中轴线在Z轴上。假设内导体上的电流沿Z方向。根据安培环路定律的积分形式FVFSCIDSJDLHNULLNULL可求出内导体和内、外导体之间媒质中的磁场强度。1内导体中2VFZIJAANULLNULL222200FVFZZSIIIJDSADDAAANULLNULLNULLNULLNULLNULL0A472内、外导体之间的媒质中ABFII3外导体之外的媒质中B0FI202FFFCHDLIHADAIHINULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLHHANULLNULL2FIHANULLNULL2200FIAAIIABB20220IAAAIHAABBNULLNULLNULL48内导体和内、外导体之间媒质中的磁场强度分别为202IIHAAANULLNULL2EIHAABNULLNULL1内导体中的磁场能量密度为220024,11228IIIIMIIWBHHHANULLNULLNULLNULL单位长度的同轴线，内导体中的磁场能量为222130024,000816AMIMIVIIWWDVDDDZA492内、外导体之间媒质中的磁场能量密度为20022,11228EEEEMEIWBHHHNULLNULLNULLNULL单位长度的同轴线，内、外导体之间媒质中的磁场能量为2221002,001LN84BMEMEVAIIBWWDVDDDZA3单位长度的同轴线中，储存的总磁场能量为2200,LN164MMIMEIIBWWWAJ/M50EXERCISE76SINMITSINMITBAWDLYXZPSOLUTION左边导线在场点P产生的磁场强度为SIN2MLEFTZITHAXNULLNULL场点P是平面Z0上平行双线传输线中间的一点，其坐标为X,Y,0，X的取值范围是0,D。右边导线在场点P产生的磁场强度为SIN2MRIGHTZITHADXNULLNULL采用矩坐标系，N匝矩形线圈放置于平面Z0上，位于平行双线传输线的中间。51SINMITSINMITBAWDLYXZP场点P处的磁场强度为SINSIN22SIN112LEFTRIGHTMMZZMZHHHITITAAXDXITADXXNULLNULLNULLNULLNULLNULL场点P处的磁通密度为00SIN112MZITBHADXXNULLNULLNULL以矩形线圈为边界的开曲面（图中蓝色阴影区域）的面元为ZDSDXDYANULLNULLNULLNULL022DWDWXYL52与矩形线圈交链的磁通为002020220220SIN112SIN112SIN112SINLN|LN|2SINL2MZZSSDWLMDWDWMDWDWDWMDWDWXXMITBDSADXDYADXXITDXDYDXXLITDXDXXLITXDXLITNULLNULLNULLNULLNULLNULLN10矩形线圈中的感应电动势为0DENDT53EXERCISE77SOLUTION1计算正方形截面环形螺线管的自感NLII假设螺线管通有恒定电流I，则首先需计算穿过整个螺线管的全磁通（磁链）。计算穿过整个螺线管的磁链时，注意本题是教材EXAMPLE513的特例。54EXAMPLE513所示的矩形截面环形螺线管，共有N匝。环的内半径为A，外半径为B，高度为H。若线圈中通有电流I，求穿过整个螺线管的全磁通。ZAXISABHZAXIS55EXAMPLEATOROIDALWINDINGWITHNTURNSISWOUNDINTHEFORMOFARINGTHEINNERANDTHEOUTERRADIIOFTHERINGAREAANDB,ANDTHEHEIGHTOFTHERINGISHIFTHEWINDINGCARRIESACURRENTOFI,FINDTHEMAGNETICFLUXENCLOSEDBYTHERINGSOLUTION在环内取半径为的园作为积分路径，应用安培环路定律ABCHDLNINULLNULLNULLNULLNULL线圈是密绕的，磁场集中在螺线管内。电流分布的对称性，磁力线是以环形螺线管的中轴为圆心的同心园族。HHANULLNULL202CHDLHADAHNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL56CHDLNINULLNULLNULLNULLNULL2H2NIHANULLNULL通过单匝线圈的磁通量为,SBDSDSDDZANULLNULLNULLNULLNULLNULLNULLNULL0LN/22BHANIDNIHDZBA穿过整个螺线管的全磁通为2LN/2NIHNBA2NIBANULLNULL韦伯匝数WEBERTURNZAXISABH5720LN/2RNHNLBAIIZAXISABH对于正方形截面环形螺线管，即HBA穿过整个螺线管的磁链为2LN/2NIHNBA自感为已知条件为A20CM，B25CM，N200，R500将以上各量代入自感计算公式，即可算出自感。58DIELDT2当线圈中通有的电流为I2SIN314TA时，求线圈中的感应电动势利用如下公式计算公式中的自感L在第一问已求出。59EXERCISE79SOLUTION设载流长导线为回路1，正方形环为回路2。假设载流长导线沿Z轴放置，其上的电流为I，在垂直于载流长导线的平面内，任选半径为的园作为积分路径，应用安培环路定律CHDLINULLNULLNULLNULLNULL,HHADLDANULLNULLNULLNULLNULLNULL的变化范围是02,22002HADAHDHINULLNULL载流长导线在自由空间中产生的磁场强度为12IHANULLNULL磁通密度为01012IBHANULLNULLNULL60长导线上通有电流I时，所产生的通过回路2的磁链为2212112SBDSNULLNULLNULLNULLNULL正方形环的匝数为12,DSDDZANULLNULLNULLNULLNULL的变化范