复变函数参考答案1-8章

复变函数与积分变换同步练习参考答案中北大学复变函数教研室编印1复变函数同步练习第一章参考答案三、作业题1、1设23412IZI，则Z5，辐角主值为4ARCTAN3。2设551111IZI，则其实部为125，虚部为3225。提示本题注意到212II，212II。则522211111211132111112112525IIIIIZI。3一复数对应的向量按逆时针方向旋转23时对应的复数为1I，则原复数为1313I22。提示本题相当于解23131313112222IZEIIII。4设112IZ，23ZI，则12ZZ的指数式I122E，12ZZ的三角式为155COSSIN21212I。52122LIM1ZZZZZZ32。提示2111222123LIMLIMLIM1112ZZZZZZZZZZ。6设复数Z满足ARG23Z，5ARG26Z，那么Z13I。提示（利用复数的几何意义）向量2Z与向量2Z夹角为5632，在复平面上，代表复数2Z、Z、2Z的点在平行于X轴的直线上（由于此三点的虚轴没有发生变2化）。连接0，2Z，2Z的三角形为RT。因此推出向量2Z，2ARG3Z，即13IZ。本题也可以利用代数法来做。2、把复数0,SINCOS1IZ化为三角表示式与指数表示式，并求Z的辐角主值。可参照例题4解（解法一）2221COSSIN4SIN2SIN22R；因为当0，1COS0，则SINARGARCTANARCTANCOT1COS2ZARCTANTAN22，所以1COSSIN2SINCOS22ISIN2II22SIN2E。即1COSSINII22SIN2E。上式对于0及时也成立。（解法二）利用三角公式，有21COSSIN2SIN2SINCOS222II2SINSIN2COS2SINCOSSIN222222II三角表示式I22SIN2E指数表示式。3、解下列方程5511ZZ。分析显然原方程可化简为一个典型的二项方程。解由直接验证可知原方程的根1Z。所以原方程可改写为5111ZZ。令11ZZ，1则51，2方程2的根为246855551,IIIIEEEE。即IE，24680,5555。但3由1II2SINSINCOS11COSSIN122211COSSIN12COSCOSSIN222IEIZITAN2I。故原方程的根为TAN2ZI，其中24680,5555。4、函数1Z把Z平面上的下列曲线映射成平面上怎样的曲线13X22211XY且0Y。解1令ZXIY，UIV，11ZZ。即221UIVXIYUIVUV。因此22UXUV，22VYUV。而已知曲线方程为3X。故Z平面上直线3X在1Z下的像曲线为22103UVU，这是平面上过原点的圆周。2方程2211XY化为2212XXY，而22221,XYUVZXYXY。因此所求的像恰为12U且0V）。5、证明22221212122ZZZZZZ，并说明其几何意义。证明（利用公式2ZZZ）左式2212121212ZZZZZZZZ22121211221222ZZZZZZZZZZ，得证。几何意义平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和。6、如果ITZE，证明12SINNNZITZ成立。证明IIII12ISINNTNTNNTNTNZEEEETZ。得证。7、设12ZZFZIZZ0Z，试证当0Z时，FZ的极限不存在。证明1令IZRE，IZRE，则1SIN22IIIIREREFZIRERE。因为40ARG0LIM0ZZFZ，0ARG4LIM1ZZFZ。所以，FZ在0Z无极限。证明222222212RE2IM2REIM222ZZZIZZZXYFZIZZXYIZZ。令Z沿直线YKX趋向于零，有22200LIM,LIM1XXYKXYKXXYKUXYXYK，显然，当取不同值时，,UXY趋向于不同的值。所以0LIMZFZ不存在。8、试确定极限2LIMZAZABZABZA存在与否。解由于2ZABZABZAZB，故2LIMLIMLIMZAZAZAZABZABZAZBZBABZAZA。9、试确定函数2233XYIXYFZFXIYXIY连续与否。解当0X，0Y时，即0Z时，由于FZ的分子、分母皆为连续函数，故FZ为连续函数；当0X，0Y时，即0Z，由于FZ在该点无定义，即FZ在0Z不连续。故在除去原点的复平面上FZ连续。5复变函数同步练习第二章参考答案1、1函数2222FZXYXIXYY在12Y处可导，在Z平面处处不解析。2函数FZUIV是解析函数，则22UV的共轭调和函数是2UVC。3设IZIE，则REZ20,1,2,2KKNULL；函数5ZFZE的周期是10I；1II的辐角主值是1LN22；1II的模为240,1,2,KEKNULL。提示1II11LN12LN222LN214244IIIKIIKKIILNIEEEEE0,1,2,KNULL,故1ARG1LN22II；2410,1,2,KIIEKNULL。422I2LN22ECOSLN22KKISINLN222IKIK0,1,2,NULL；方程SINHZI的解为20,1,2,2ZKIKNULL。5设函数REFZZZ，求0F0。2、试证下列函数在复平面上任何点都不解析1REZ；2Z1。解1利用CR条件，即用解析的充要条件判别，REZX，即UX，0V。1UX，60UY，0VX，0VY。以上四个偏导存在且连续，但由于UVXY，不满足CR条件，故在复平面上处处不解析。2利用CR条件，即用解析的充要条件判别，即22XUXY，22YVXY。44222222UXYXYXXX，2222UXYYXY，2222VXYXXY，44222222VXYXYXYX。以上四个偏导存在且连续，但由于UVXY，不满足CR条件，故在复平面上处处不解析。注判断一个函数,FZUXYIVXY解析，须满足一下两个条件FZ的实部,UXY与虚部,VXY关于变量,XY的偏导存在且连续，即可微；CR条件。3、设2323LXYXIYNXMY为解析函数，试确定NML,的值。解令3232FZMYNXYIXLXY，因为FZ解析，所以满足CR条件，由32,UXYMYNXY，32,VXYXLXY，得2UXYNX，223UYMXNY；223VXLYX，2VXYLY。由CR条件，有22XYNXYL，222233YMXNXLY；比较系数得LN，13ML，3N，故3N，3L，1M。4、下列函数在何处可导何处解析12FZXIY；解令2UX，VY，则,UV在Z平面上处处可微且2UXX，0UY，0VX，1VY；要使UVXY，UVYX，须21X。因此在直线12X上时，FZ可7导，在Z平面上处处不解析。22FZZZ。解设ZXIY，则222232FZZZXIYXIYXIYXYXXY23IXYY，令32UXXY，23VXYY，则,UV在Z平面上处处可微且223UXYX，2UXYY，2VXYX，223VXYY。若使UVXY，UVYX。须使222233XYXY，22XYXY，解得0XY，故函数2FZZZ仅在点0Z处可导，在复平面上处处不解析。5、写出下列函数的解析区域，并求其导数。122FZZ；解由于2222FZZZ，故FZ在复平面内处处解析。22211FZZZ；解当1Z时，5322241ZZFZZ，故FZ在复平面内除1Z外处处解析。3221ZFZZZ；解当1322ZI时，222224311ZZZFZZZZZ，FZ在复平面内除1322ZI外处处解析。4AZBFZCZD,CD中至少有一个不为零；解若0C，则1AZBAAZBCZDDD，在全平面成立。若0C，且DZC，则22AZBAAZBAZBCADBCCZDCZDCZD，在全平面内除8点DZC外处处解析。6、设U及V是解析函数FZ的实部及虚部，且224UVXYXXYY，ZXIY，求FZ。解1将U，V分别对X和Y求导，得22424UVXXYYXYXYXX，22442UVXXYYXYXYYY。利用CR条件，并对上述两式右边化简得22363UUXXYYXY，22363UUXXYYYX。于是得2233UXYX，6UXYY，2D3UUYXYCXY。再对上式关于X求偏导并进行比较，得222333UYCXXYX，23CXX，于是，3CXXC。233UXYXC，222343VUXYXXYYXYXC2232433XYXXYYYXYC。故23323333FZXYXIYXYCZC。解2将U，V分别对X和Y求导，得2222424363UVXXYYXYXYXXYYXX2222424336UVXXYYXYYXYXXYYY对、两式利用CR条件有22363UVXXYYXX；22336VUYXXYXX；9解上述两方程有2233UXYX，6VXYX。而2223363UVFZIXYIXYZXX，积分得3FZZC。7、已知调和函数21UXY，2FI，求解析函数FZUIV。解1由CR条件的一个等式2UVYXY，从而2,2DVXYYYFXYFX。而VFXX，21UXY。再由CR条件，得21FXX，从而21FXXC。因此，22,1VXYYXC。于是，22211FZXYCIYX。又2FI，解之得0C。故21FZUIVIZ。解2由题意及CR条件有2UYX，21VUXXY，所以22121UVFZIYIXIZXX，积分得21FZIZC（C为复常数）。又由于2FI，解之得0C。故21FZUIVIZ。8、求下列函数的值111II；LN22LN22441LN1ARG121N1KIKIIIIKILIEEE242COSLN2SINLN244KEI，0,1,2,KNULL。233LNI；10LN33IARG33I2LN2326IKIK，0,1,2,KNULL。3LN1REII；LN1IIARG1ILNIIARGI2LN1IIREREKLNEELN2II22LN2242422REEREEKKK242COSLN22SINLN2222REEKKIK242COSLN222EKK。42IM1。21210222IMIMIMSIN22LNLNIKIKEEEK0,1,2,KNULL9、解方程1130ZEI；2SINCOS2ZZ，求IMZ。解1原方程等价于13ZEI，两边取对数，得13ZLNILN13ARG132LN223IIIKIK（0,1,2,KNULL）。2由于SINSINSINCOSHCOSSINHZXIYXYIXY，COSCOSCOSCOSHSINSINHZXIYXYIXY，则由所给方程得SINCOSCOSH2COSSINSINH0XXYXXYSINH0COSSINYXX或；即0Y或4XK（0,1,2,KNULL）。当0Y时，SINCOS2ZZ无解。当4XK时，若K为偶数，则COSH2Y，即12212YYYEEE11（解关于YE的方程），故LN21Y；若K为奇数时，则COSH2Y，无解。所以SINCOS2ZZ的解为LN214ZKI（0,1,2,KNULL）。故IMLN21Z。10、证明121212COSCOSCOSSINSINZZZZZZ。证明1122121211COSCOSSINSIN22IZIZIZIZZZZZEEEE112212122112111224IZIZIZIZIZZIZZIZZIZZEEEEEEEEI12122112121212COS42IZZIZZIZZIZZIZZIZZEEEEEEZZ。12复变函数同步练习第三章参考答案1、1沿YX的积分120841DIZZZ133133I；沿2YX的积分120841DIZZZ133133I。提示解析函数在单连域内的积分与路径无关，只与起、终点有关。123208131841D121133IZZZIIII2设FZ在单连域B内解析且不为零，C为B内任一闭路，则24DCFZFZZFZNULL0。3设1CZ，则当1A时，2DZCEZZANULL0。41DZZZZNULL2I；3DZZZZNULL6I。5设FZ在1Z时，作圆周112CZ正向，2112CZ正向及3122CZ，从而有12333111DDD121212CCCIZZZZZZZZZZZZNULLNULLNULL331D12CZZZZNULL。由2知1233111DD121212CCZZIZZZZZZNULLNULL。又因为311ZZ在3C内解析，所以3332111D212112CZZIIZZZZZNULL。16故1101212III。6、设1C与2C为不经过0Z的两条互不包含也互不相交的闭路，求122001DSIND2CCZZZZIZZZZNULLNULL的值。解1当0Z在1C的内部时，由柯西积分公式有0122220001DSIND1222ZZCCZZZZIZZIZZZZINULLNULL。2当0Z在2C的内部时，由柯西积分公式有01220001DSIND102SINSIN22ZZCCZZZZIZZIZZZZINULLNULL。3当0Z不在1C与2C的内部时，由柯西积分定理有122001DSIND10022CCZZZZIZZZZINULLNULL。7、设C为正向圆周3Z，200371DCZZFZZZZNULL，求1FI的值。解令2371ZZZ，则Z在复平面上解析，故20000371D2CZZFZZIZZZNULL33ZZ时，00FZ；当3Z；3能否求出2F解1若2Z内，由柯西积分定理得2221D0FZZ。18由于02Z，故00FZ。3若2Z时，则不能求出2221DFZZ。故不能求出2F。11、计算积分DZCEZZ，C为圆周2Z正向与圆周1Z组成的。解当C为圆周2Z正向与圆周1Z负向组成时，根据复合闭路的定义，可知圆周2Z正向与圆周1Z的负向构成一个复合闭路，根据闭路变形公式得D0ZCEZZ。当C为圆