概率论与数理统计课后习题答案修订版复旦大学

1概率论与数理统计习题及答案习题习题习题习题一一一一1略见教材习题参考答案2设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生【解】（1）ABC（2）ABC（3）ABC（4）ABCABCABCABCABCABCABCABCABC5ABCABC6ABC7ABCABCABCABCABCABCABCABCABC8ABBCCAABCABCABCABC3略见教材习题参考答案4设A，B为随机事件，且P（A）07,PAB03，求P（AB）【解】P（AB）1P（AB）1PAPAB10703065设A，B是两事件，且P（A）06,PB07,求（1）在什么条件下P（AB）取到最大值（2）在什么条件下P（AB）取到最小值【解】（1）当ABA时，P（AB）取到最大值为06（2）当AB时，P（AB）取到最小值为036设A，B，C为三事件，且P（A）P（B）1/4，P（C）1/3且P（AB）P（BC）0，P（AC）1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率2【解】P（ABC）PAPBPCPABPBCPACPABC141413112347从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少【解】P5332131313131352CCCC/C8对一个五人学习小组考虑生日问题（1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率；（3）求五个人的生日不都在星期日的概率【解】（1）设A1五个人的生日都在星期日，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故P（A1）517（17）5（亦可用独立性求解，下同）（2）设A2五个人生日都不在星期日，有利事件数为65，故P（A2）55676753设A3五个人的生日不都在星期日P（A3）1PA111759略见教材习题参考答案10一批产品共N件，其中M件正品从中随机地取出N件（N30如图阴影部分所示22301604P22从（0，1）中随机地取两个数，求（1）两个数之和小于65的概率；（2）两个数之积小于14的概率【解】设两数为X,Y，则03121132,3NNPPNNNN38将线段0，A任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】设这三段长分别为X,Y,AXY则基本事件集为由0构成的图形，即02022AXAYAXYA正正（甲乙）（甲正乙正）（N1甲反N乙反）12（甲反1乙反）（甲反乙反）由对称性知P（甲正乙正）P（甲反乙反）因此P甲正乙正1246证明“确定的原则”（SURETHING）若P（A|C）PB|C,PA|CPB|C，则P（A）PB【证】由P（A|C）PB|C,得,PACPBCPCPC即有PACPBC同理由|,PACPBC得,PACPBC故PAPACPACPBCPBCPB47一列火车共有N节车厢，有KKN个旅客上火车并随意地选择车厢求每一节车厢内至少有一个旅客的概率【解】设AI第I节车厢是空的，（I1,N）,则1211112111NKKIKKIJKIIINPANNPANNPAAAN其中I1,I2,IN1是1，2，N中的任N1个显然N节车厢全空的概率是零，于是21121111221111111231111C12C11C01NNNKKINIKIJNIJNNKNIIINIIINNNNINISPANNNSPANNSPAAANSPASSSS0试证明不论0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1【证】在前N次试验中，A至少出现一次的概率为111NN49袋中装有M只正品硬币，N只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）在袋中任取一只，将它投掷R次，已知每次都得到国徽试问这只硬币是正品的概率是多少【解】设A投掷硬币R次都得到国徽B这只硬币为正品由题知,MNPBPBMNMN1|,|12RPABPAB则由贝叶斯公式知|PABPBPABPBAPAPBPABPBPAB121212RRRMMMNMNMNMNMNIII50巴拿赫（BANACH）火柴盒问题某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根试求他首次发现一盒空时另一盒恰有R根的概率是多少第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有R根的概率又有多少【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件，则有1212PBPB（1）发现一盒已空，另一盒恰剩R根，说明已取了2NR次，设N次取自B1盒（已空），NR次取自B2盒，第2NR1次拿起B1，发现已空。把取2NR次火柴视作2NR重贝努里试验，则所求概率为12211112CC222NNNRNNRNRRRPI式中2反映B1与B2盒的对称性（即也可以是B2盒先取空）（2）前2NR1次取火柴，有N1次取自B1盒，NR次取自B2盒，第2NR次取自B1盒，故概率为111212212111112CC2222NNNRNNRNRNRP51求N重贝努里试验中A出现奇数次的概率14【解】设在一次试验中A出现的概率为P则由00112220CCCC1NNNNNNNNNNQPPQPQPQPQ0011222N0CCC1CNNNNNNNNNNQPPQPQPQPQ以上两式相减得所求概率为113331CCNNNNPPQPQ112NQP11122NP若要求在N重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得211122NPP52设A，B是任意两个随机事件，求P（AB）（AB）（AB）（AB）的值【解】因为（AB）（AB）ABAB（AB）（AB）ABAB所求ABABABABABABABAB故所求值为053设两两相互独立的三事件，A，B和C满足条件ABC，PAPBPC0,PA|B1,试比较PAB与PA的大小2006研考解因为PABPAPBPABPABPBPABPB所以PABPAPBPBPA习题二1一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律【解】353524353,4,51301C3403CC506CXPXPXPX故所求分布律为X345P010306172设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求（1）X的分布律；（2）X的分布函数并作图；3133,1,1,12222PXPXPXPX2,13,13,2PXYPXYPXY12322333C060403C060403332212330603C0604C07033123223306C070306C070302436设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为002，且设各飞机降落是相互独立的试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于001每条跑道只能允许一架飞机降落【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则XB200,002，设机场需配备N条跑道，则有001PXN由于N很大，P很小，NP5，故用泊松近似，有25140E1510000069KKPXK2P保险公司获利不少于100003000020001000010PXPX5100E0986305KKK即保险公司获利不少于10000元的概率在98以上P（保险公司获利不少于20000）300002000200005PXPX550E0615961KKK即保险公司获利不少于20000元的概率约为6215已知随机变量X的密度函数为FXAE|X|,2122324C39P3当XA时，F（X）1即分布函数0,0,01,XXFXXAAXA18设随机变量X在2，5上服从均匀分布现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率【解】XU2,5，即1,2530,XFX其他2453123D3PXX故所求概率为22333321220CC33327P19设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布15E某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求PY1【解】依题意知15XE，即其密度函数为51E,050,XXFXX0该顾客未等到服务而离开的概率为2510110EDE5XPXX25,EYB,即其分布律为225525CE1E,0,1,2,3,4,511011E05167KKKPYKKPYPY20某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50，42）（1）若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些（2）又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些【解】（1）若走第一条路，XN（40，102），则4060406020977271010XPXP2C322由某机器生产的螺栓长度（CM）XN（1005,0062）,规定长度在1005012内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率【解】1005012|1005|012006006XPXP1222120045623一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160，2），若要求P120X20008，允许最大不超过多少【解】120160160200160120200XPXP3E,00,0XXFXFXX02FX当X0时1DEDE22XXXXFXFXXX当X0时00DEDED22XXXXFXFXXXX11E2X故其分布函数11E,021E,02XXXFXX2由12201111DDD22BFXXBXXXX得B1即X的密度函数为282,011,120,XXFXXX即1001Z即009Z故233Z（2）由0003PXZ得10003Z即097Z查表得275Z29由/200015PXZ得/2100015Z即/209985Z查表得/2296Z28设随机变量X的分布律为X21013PK1/51/61/51/151/30求YX2的分布律【解】Y可取的值为0，1，4，91005117111615301425119330PYPXPYPXPXPYPXPYPX故Y的分布律为Y0149PK1/57/301/51/3029设PXK12K,K1,2,令1,1,XYX当取偶数时当取奇数时求随机变量X的函数Y的分布律【解】1242PYPXPXPXK242111222111/1443K21113PYPY30设XN（0，1）（1）求YEX的概率密度；（2）求Y2X21的概率密度；（3）求YX的概率密度30【解】（1）当Y0时，0YFYPYY当Y0时，ELNXYFYPYYPYPXYLNDYXFXX故2/2LND111LNE,0D2YYYXFYFYFYYYYY222111PYX当Y1时0YFYPYY当Y1时221YFYPYYPXY2111222YYYPXPX1/21/2DYXYFXX故D1211D4122YYXXYYFYFYFFYY1/4121E,1212YYY301PY当Y0时0YFYPYY当Y0时|YFYPXYPYXYDYXYFXX故DDYYXXFYFYFYFYY2/22E,02YY31设随机变量XU（0,1），试求（1）YEX的分布函数及密度函数；（2）Z2LNX的分布函数及密度函数【解】（1）011PX当Z0时，0ZFZPZZ当Z0时，2LNZFZPZZPXZ/2LNE2ZZPXPX/21/2ED1EZZX即分布函数/20,01E,ZZZFZZ0故Z的密度函数为/21E,020,ZZZFZZ032设随机变量X的密度函数为FX22,0,0,XX由于P（X0）1，故06,则P（X由全概率公式有31|00642IIIPBPAPBA由贝叶斯公式有222|0009PAPBAPABPB49设随机变量X在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量YE2X的概率密度FYY【解】1,120,XXFX1时，ELNXYFYPYYPYPXYLN01ED1YXXY即11,10,1YYYFYY故21,10,1YYYFYY51设随机变量X的密度函数为FXX112X,求Y13X的密度函数FYY【解】3311YFYPYYPXYPXY4033211311DARCTG11ARCTG12YYXXXY故263111YYFYY52假设一大型设备在任何长为T的时间内发生故障的次数N（T）服从参数为T的泊松分布（1）求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；（2）求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q（1993研考）【解】（1）当TT与NT0等价，有1101ETTFTPTTPTTPNT即1E,00,0TTTFTT53设随机变量X的绝对值不大于1，PX11/8，PX11/4在事件1P|Y2|，即12,0,0,0,43其他YXAYXE求（1）常数A；（2）随机变量（X，Y）的分布函数；（3）P0X其他301,02PXY,0,0,55其他YYE求（1）X与Y的联合分布密度；（2）PYX题6图【解】（1）因X在（0，02）上服从均匀分布，所以X的密度函数为1,002,020,XXFX其他所以,XYFXYXYFXFYI独立5515E25E,0020,020,0,YYXY且其他25,DD25EDDYYXDPYXFXYXYXY如图0202550001D25ED5E5DE03679XYXXYX7设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为45F（X，Y）,0,0,0,1124其他YXYXEE求（X，Y）的联合分布密度【解】4228E,0,0,0,XYXYFXYFXYXY其他8设二维随机变量（X，Y）的概率密度为F（X，Y）482,01,0,0,YXXYX其他求边缘概率密度【解】,DXFXFXYYX20482D242,01,0,0,YXYXXX其他,DYFYFXYX12Y482D2434,01,0,0,YXXYYYY其他题8图题9图9设二维随机变量（X，Y）的概率密度为F（X，Y）其他,DYFYFXYX460EDE,0,0,0,YYXXYY其他题10图10设二维随机变量（X，Y）的概率密度为F（X，Y）,0,1,22YXYCX（1）试确定常数C；（2）求边缘概率密度【解】（1）,DD,DDDFXYXYFXYXY如图211214DD121XXCXYYC得214C2,DXFXFXYY2124221211,11,D840,0,XXXXXYY其他,DYFYFXYX522217D,01,420,0,YYXYXYY其他11设随机变量（X，Y）的概率密度为F（X，Y）,0,0,212/其他YYE（1）求X和Y的联合概率密度；（2）设含有A的二次方程为A22XAY0，试求A有实根的概率【解】（1）因1,01,0,XXFX其他故/21E01,0,20,YXYXYFXYXYFXFYI独立其他XYXY49题14图2方程220AXAY有实根的条件是2240XY故X2Y，从而方程有实根的概率为22,DDXYPXYFXYXY21/2001DED2121001445XYXY15设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X和Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为F（X）,0,1000,10002其他XX求ZX/Y的概率密度【解】如图,Z的分布函数ZXFZPZZPZY1当Z0时，0ZFZ（2）当00,1,2,3,I于是UMINX,Y0123P0280300250174类似上述过程，有WXY012345678P000200601301902401901200520雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点（X，Y）在屏幕上服从均匀分布（1）求PY0YX；53（2）设MMAXX，Y，求PM0题20图【解】因（X，Y）的联合概率密度为22221,0,XYRFXYR其他（1）0,0|PYYXPYYXPYX0,D,DYYXYXFXYFXY2/40542/401DD1DDRRRRRRRR3/831/2420MAX,01MAX,0PMPXYPXY001310,01,D144XYPXYFXY21设平面区域D由曲线Y1/X及直线Y0，X1,XE2所围成，二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，求（X，Y）关于X的边缘概率密度在X2处的值为多少题21图【解】区域D的面积为22EE0111DLN2SXXX（X,Y）的联合密度函数为54211,1E,0,20,XYFXYX0的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为P（01,03,30,0,3YFYYY因为X，Y相互独立，所以1,03,03,90,0,0,3,3XYFXYXYXY推得1MAX,19PXY26设二维随机变量（X，Y）的概率分布为101101A00201B02001C其中A,B,C为常数，且X的数学期望EX02,PY0|X005，记ZXY求（1）A,B,C的值；（2）Z的概率分布；（3）PXZ解1由概率分布的性质知，ABC061即ABC04由02EX，可得01AC再由0,0010005005PXYABPYXPXAB,得03AB解以上关于A，B，C的三个方程得02,01,01ABC2Z的可能取值为2，1，0，1，2，21,102PZPXY，XY5711,00,101PZPXYPXY，01,10,01,103PZPXYPXYPXY，11,00,103PZPXYPXY，21,101PZPXY，即Z的概率分布为Z21012P020103030130010201010204PXZPYB习题四1设随机变量X的分布律为X1012P1/81/21/81/4求E（X），E（X2），E（2X3）【解】111111101282842EX2222221111510182844EX3123232342EXEX2已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为X012345P590510C0583C141090510CC0340C231090510CC0070C321090510CC0007C411090510CC0C510510C0C故058300340100702000730405EX0501,520IIIDXXEXP2220050105831050103405050100432583设随机变量X的分布律为X101PP1P2P3且已知E（X）01,EX209,求P1，P2，P3【解】因1231PPP,又1233110101EXPPPPPII,22221231310109EXPPPPPIII由联立解得12304,01,05PPP4袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）N，问从袋中任取1球为白球的概率是多少【解】记A从袋中任取1球为白球，则0|NKPAPAXKPXKI全概率公式0011NNKKKPXKKPXKNNNEXNNI5设随机变量X的概率密度为F（X）其他求E（XY）【解】方法一先求X与Y的均值1022D,3EXXXXI55500EDEDED516ZYYZZEYYYZZZ令由X与Y的独立性，得2643EXYEXEYI方法二利用随机变量函数的均值公式因X与Y独立，故联合密度为52E,01,5,0,YXYXXYFXYFXFYI其他于是11525500522EDD2DED643YYEXYXYXXYXXYYII10设随机变量X，Y的概率密度分别为FX（X）0,0,0,22XXXEFY（Y）0,0,0,44YYYE60求（1）E（XY）（2）E（2X3Y2）【解】222000D2EDEEDXXXXXXFXXXXXXI201ED2XX401D4EDY4YYEYYFYYYI22242021D4ED48YYEYYFYYYYI从而1113244EXYEXEY222115232323288EXYEXEY11设随机变量X的概率密度为F（X）0,0,0,414XXXE为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值100元和200元/41/4111001EDE4XPYPXX1/420011EPYPX10201012512102012105112251221105PXUUPUXUUPXUUUUUUUU故2/2D125121211010E,D2XETUUXU令这里得2212/210/225E21EUU两边取对数有2211LN2512LN211022UU解得125111LN11LN1191091282212U毫米由此可得，当U109毫米时，平均利润最大25设随机变量X的概率密度为FX,0,0,2COS21其他XX对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于/3的次数，求Y2的数学期望（2002研考）【解】令1,31,2,3,40,3IXYIX则414,IIYYBP因为133PPXPX及/3011COSD3222XPXX,68所以111,42,242IIEYDYEY22114122DYEYEY,从而22215EYDYEY26两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间TII1,2服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启试求两台记录仪无故障工作的总时间TT1T2的概率密度FTT，数学期望E（T）及方差D（T）【解】由题意知55E,0,0,0TITFTT,U,U1,11,1若若Y1,11,1U,U若若试求（1）X和Y的联合概率分布；（2）D（XY）【解】（1）为求X和Y的联合概率分布，就要计算（X，Y）的4个可能取值1,1,1,1,1,1及1,1的概率PX1,Y1PU1,U1112DD11444XXPUPX1,Y1PU1,U1P0,PX1,Y1PU1,U111D11144XPU故得X与Y的联合概率分布为1,11,1,11,1110424XY2因22DXYEXYEXY,而XY及（XY）2的概率分布相应为202111424XY,2041122XY从而11220,44EXY211042,22EXY所以222DXYEXYEXY7131设随机变量X的概率密度为FXXE21，（1000387103870348,102012VP即有PV10503485有一批建筑房屋用的木柱，其中80的长度不小于3M现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3M的概率是多少【解】设100根中有X根短于3M，则XB（100，02）从而30100023013011000208PXPX1125125089442XB100,07，10175100077517511000703IIPXPX51110901379217用LAPLACE中心极限定理近似计算从一批废品率为005的产品中，任取1000件，其中有20件废品的概率【解】令1000件中废品数X，则P005,N1000,XB1000,005，EX50，DX475故120501302068956895475475PX61304510689568958设有30个电子器件它们的使用寿命T1，T30服从参数01单位（小时）1的指数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推令T为30个器件使用的总计时间，求T超过350小时的概率【解】1110,01IET21100,IDT1030300,ET3000DT故3503005350111091301814300030PT9上题中的电子器件若每件为A元，那么在年计划中一年至少需多少元才能以95的概率保证够用（假定一年有306个工作日，每个工作日为8小时）【解】设至少需N件才够用则ETI10，DTI100，ET10N，DT100N从而13068095,NIIPT即30681000510NN故781024482448095,164,27210NNNNN所以需272A元10对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为005,08,015若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布（1）求参加会议的家长数X超过450的概率（2）求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率【解】（1）以XII1,2,400记第I个学生来参加会议的家长数则XI的分布律为XI012P00508015易知E（XI11）,DXI019,I1,2,400而40IIXX,由中心极限定理得4040011400110,1400019419IIXXN近似地于是4504001145014501419PXPX11147013572以Y记有一名家长来参加会议的学生数则YB400,08由拉普拉斯中心极限定理得3404000834025099384000802PY11设男孩出生率为0515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率【解】用X表10000个婴儿中男孩的个数，则XB（10000，0515）要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求PX5000由中心极限定理有500010000051550003130001351000005150485PX12设有1000个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为09以95概率估计，在一次行动中（1）至少有多少个人能够进入（2）至多有多少人能够进入【解】用XI表第I个人能够按时进入掩蔽体（I1,2,1000）令SNX1X2X10001设至少有M人能够进入掩蔽体，要求PMSN1000095，事件799001000091000090190NNSMMS由中心极限定理知1000091109510000901NNMPMSPSM81因此可从1000102NN解出N196,即N2401，所以N至少应取253设某厂生产的灯泡的使用寿命XN（1000，2）（单位小时），随机抽取一容量为9的样本，并测得样本均值及样本方差但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果，只记得样本方差为S21002，试求P（X1062）【解】1000,N9，S2100210008100/3/XXTTSN106210001062186005100/3PXPTPT4从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差82【解】0,1/XZNN，由P|X|4002得P|Z|4/N002,故41021002,即410099查表得410233,所以4105432335设总体XN（，16），X1，X2，X10是来自总体X的一个容量为10的简单随机样本，S2为其样本方差，且P（S2A）01，求A之值【解】22222999,011616SAPSAP查表得914684,16A所以1468416261059A6设总体X服从标准正态分布，X1，X2，XN是来自总体X的一个简单随机样本，试问统计量YNIIIIXXN6251215，N5服从何种分布【解】25222222115,5INIIIIXXXN且12与22相互独立所以2122/55,5/5XYFNXN7求总体XN（20，3）的容量分别为10，15的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于03的概率【解】令X的容量为10的样本均值，Y为容量为15的样本均值,则XN20,310,83YN20,315，且X与Y相互独立则330,0,05,1015XYNN那么0,1,05XYZN所以03|03|21042405PXYPZ2106628067448设总体XN（0，2）,X1,X10,X15为总体的一个样本则Y2152122121022212XXXXXX服从分布,参数为【解】0,1,IXNI1,2,15那么1222101522221110,5IIIIXX且12与22相互独立,所以22211012221152/1010,52/5XXXYFXXX所以YF分布，参数为（10,5）9设总体XN（1,2）,总体YN2,2,X1,X2,1NX和Y1，Y2，2NX分别来自总体X和Y的简单随机样本，则221121221NNYYXXENJJNII【解】令1222212111211,11NNIIIJSXXSYYNN则1222221122111,1,NNIJIJXXNSYYNS84又2222221122112222111,1,NSNSNN那么1222112222121212122NNIJIJXXYYEENNNNI22212122212122112EENNNNNN10设总体XN（,2），X1，X2，X2N（N2）是总体X的一个样本，NIIXNX2121，令YNIINIXXX122，求EY【解】令ZIXIXNI,I1,2,N则ZIN2,221IN,且Z1,Z2,ZN相互独立令2211,/1,NNIIIIZZSZZNN则21111,222NNIIIIXXZZNN故2ZX那么2221121,NNINIIIIYXXXZZNS所以22121EYNESN1设总体X的概率密度为FXXE210，那么18MAXIIX时，LL最大,所以的极大似然估计值09因为EE18MAXIIX,所以18MAXIIX不是的无偏计6设X1，X2，XN是取自总体X的样本，E（X），D（X）2，2K1211NIIIXX,问K为何值时2为2的无偏估计【解】令1,IIIYXXI1,2,N1,则210,2,IIIIEYEXEXDY于是1222211121,NIIEEKYKNEYNK那么当22E,即2221NK时,有121KN7设X1，X2是从正态总体N（，2）中抽取的样本112212312211311334422XXXXXX8试证123,都是的无偏估计量，并求出每一估计量的方差【证明】（1）11212212121,333333EEXXEXEX2121344EEXEX,31211,22EEXEX所以123,均是的无偏估计量222221122145,3399DDXDXX222212135,448DDXDX223121,22DDXDX8某车间生产的螺钉，其直径XN（，2），由过去的经验知道2006,今随机抽取6枚，测得其长度（单位MM）如下147150148149151152试求的置信概率为095的置信区间【解】N6,2006,1095005,02521495,196,AXUU,的置信度为095的置信区间为/214950119614754,15146XUN9总体XN,2，2已知，问需抽取容量N多大的样本，才能使的置信概率为1，且置信区间的长度不大于L【解】由2已知可知的置信度为1的置信区间为/2XUN,于是置信区间长度为/22UNI,那么由/22UNIL,得N22/224UL10设某种砖头的抗压强度XN（，2），今随机抽取20块砖头，测得数据如下（KGCM2）6469499255974184889989846610098727487844881（1）求的置信概率为095的置信区间（2）求2的置信概率为095的置信区间【解】766,1814,1095005,20,XSN/20025222/2002509751192093,11932852,198907TNTN1的置信度为095的置信区间/21814176620936811,8508920ASXTNN22的置信度为095的置信区间222222/21/2111919,1814,181419033,7020111328528907NSNSNN11设总体XFX1,0110,XX其中其他X1,X2,XN是X的一个样本，求的矩估计量及极大似然估计量【解】11101D1D,2EXXFXXXX又1,2XEX故211XX所以的矩估计量211XX2似然函数111011,2,0NNNIIIIIXXINLLFXE其中0为未知参数，又设X1,X2,XN是总体X的一组样本观察值，求的极大似然估计值【解】似然函数911212E01,2,0LNLN22,1,2,NIIXNINIIIXINLLLNXXIN其他由DLN20LN,DLNL知那么当01MINLNMAXLNIINXLL时所以的极大似然估计量1MINIINX14设总体X的概率分布为X0123P221212其中0所以的极大似然估计值为71329215设总体X的分布函数为F（X,）1,0,XXX其中未知参数1,0，设X1,X2,XN为来自总体X的样本（1）当1时，求的矩估计量；（2）当1时，求的极大似然估计量；（3）当2时，求的极大似然估计量【解】当1时，11,1,1,0,1XXFXFXXX其他所以的极大似然估计量1LNNIINX3似然函数9323112,1,2,0,NNINNIIIIXINLFXX其他显然,LL那么当1MINIINX时,0MAXALLL,所以的极大似然估计量1MINIINX16从正态总体XN（34，62）中抽取容量为N的样本，如果其样本均值位于区间（14，54）内的概率不小于095，问N至少应取多大2/212EDZTZTZ1281645196233Z090950975099【解】2634,XNN,则340,1,6/XZNN1434543414546/6/3321095333ZPXPNNNNPZNNN所以拒绝H0，认为总体平均值有显著性变化2某种矿砂的5个样品中的含镍量（）经测定为32432632432732595设含镍量服从正态分布，问在001下能否接收假设这批矿砂的含镍量为325【解】设0010/200500053253255,0010013,325232550344,0013/4HHNTNTXSXTSNTT所以接受H0，认为电池的寿命不比该公司宣称的短5测量某种溶液中的水分，从它的10个测定值得出X0452,S0037设测定值总体为正态，为总体均值，为总体标准差，试在水平005下检验（1）H005；H105（2）0H004；1H004【解】196000500050510,005,1918331,0452,0037,04520510410241,0037/918331NTNTXSXTSNTT所以接受H0，拒绝H16某种导线的电阻服从正态分布N（，00052）今从新生产的一批导线中抽取9根，测其电阻，得S0008欧对于005，能否认为这批导线电阻的标准差仍为0005【解】00102222/200251/20975222220025220000500059,005,0008,8817535,882088,1800082048,80005HHNSNS故应拒绝H0，不能认为这批导线的电阻标准差仍为00057有两批棉纱，为比较其断裂强度，从中各取一个样本，测试得到第一批棉纱样本N1200，X0532KG,S10218KG；第二批棉纱样本N2200，Y057KG,S20176KG设两强度总体服从正态分布，方差未知但相等，两批强度均值有无显著差异005【解】01211212/212002500252222112212120025200,005,2398196,111990218017601981,239805320571918111101981200200398WWHHNNTNNTZNSNSSNNXYTSNNTTAESRFSNRFF,故灯丝材料对灯泡寿命无显著影响表911方差分析表方差来源平方和S自由度均方和SF值因素影响4436073147869215误差151350822687959总和19571154252一个年级有三个小班，他们进行了一次数学考试，现从各个班级随机地抽取了一些学生，记录其成绩如下73668877684189607831795982454878566843939162915380365176717973778596711574808756试在显著性水平005下检验各班级的平均分数有无显著差异设各个总体服从正态分布，且方差相等【解】13,40,RIIRNN23211INTIJIJTSXN1994621857769136851,23211AIIITSTNN18611225185776933535,ETASSS1334965,005/116770465/36082,37323AESRFSNRFF故各班平均分数无显著差异表921方差分析表9方差来源平方和S自由度均方和SF值因素影响335352167680465误差13349653736080总和13685393下面记录了3位操作工分别在不同机器上操作3天的日产量甲乙丙A1151517191916161821A2171717151515192222A3151716181716181818A4182022151617171717取显著性水平005,试分析操作工之间，机器之间以及两者交互作用有无显著差异【解】由已知R4,S3,T3,IJIJTTTT的计算如表931表931甲乙丙IT1A4754551562A5145631593A4851541534A604851159JT206198223627操作工机器操作工机器TIJ1022111221221221111065109202514475,1109231092025275,1109474210920252717,17350RSTTIJKIJKRAIISBJJRSIJABABIJTSXRSTTSTSTRSTTSTRTRSTTTSSSTRST,4133ETABABSSSSS表932得方差分析表方差来源平方和S自由度均方和SF值因素A（机器）2753092AF053因素B（操作工）271721358BF789交互作用AB735061225ABF712误差43324172总和1094750050050053,24301,2,24340,6,24251FFF接受假设01H，拒绝假设0203,HH即机器之间无显著差异，操作之间以及两者的交互作用有显著差异4为了解3种不同配比的饲料对仔猪生长影响的差异，对3种不同品种的猪各选3头进行试验，分别测得其3个月间体重增加量如下表所示，取显著性水平005，试分析不同饲料与不同品种对猪的生长有无显著影响假定其体重增长量服从正态分布，且各种配比的方差相等体重增长量因素B（品种）B1B2B3因素A（饲料）A1A2A3515352565758454947【解】由已知RS3,经计算X52,1X5066,2X533X5234,1X52,2X57,3X47,1012112121