概率论与数理统计茆诗松第二版课后第三章习题参考答案

1第三章多维随机变量及其分布习题311100件商品中有50件一等品、30件二等品、20件三等品从中任取5件，以X、Y分别表示取出的5件中一等品、二等品的件数，在以下情况下求X,Y的联合分布列（1）不放回抽取；（2）有放回抽取解（1）X,Y服从多维超几何分布，X,Y的全部可能取值分别为0,1,2,3,4,5，且IJIJIJIJYIXP5,05,4,3,2,1,0,51005203050,L，故X,Y的联合分布列为000000281050000091800612040001132015620049503000661014160092700185020018200539005490022700032010019000730010200066000190000200543210XY（2）X,Y服从多项分布，X,Y的全部可能取值分别为0,1,2,3,4,5，且IJIJIJIJYIXPJIJI5,05,4,3,2,1,0,20305055,5L，故X,Y的联合分布列为0000003125050000093750062504000112501500503000675013500900202002025005400540024000401002430008100108000720002400003200543210XY2盒子里装有3个黑球、2个红球、2个白球，从中任取4个，以X表示取到黑球的个数，以Y表示取到红球的个数，试求PXY解359353356472223472212132,21,1YXPYXPYXP3口袋中有5个白球、8个黑球，从中不放回地一个接一个取出3个如果第I次取出的是白球，则令XI1，否则令XI0，I1,2,3求2（1）X1,X2,X3的联合分布列；（2）X1,X2的联合分布列解（1）143281161271380,0,0,321XXXP，429701151271381,0,0,321XXXP，429701171251380,1,0,321XXXP，429701171281350,0,1,321XXXP，429401141251381,1,0,321XXXP，429401141281351,0,1,321XXXP，429401181241350,1,1,321XXXP，14351131241351,1,1,321XXXP；（2）39141271380,0,21XXP，39101251381,0,21XXP，39101281350,1,21XXP，3951241351,1,21XXP39/539/10139/1039/1401012XX4设随机变量XI,I1,2的分布列如下，且满足PX1X201，试求PX1X225050250101PXI解因PX1X201，有PX1X200，即PX11,X21PX11,X21PX11,X21PX11,X210，分布列为2505025025000150025000110112JIPPXX25050250250025001502500250025002500110112JIPPXX故PX1X2PX11,X21PX10,X20PX11,X2105设随机变量X,Y的联合密度函数为,0,0,0,E,43其他YXKYXPYX试求（1）常数K；（2）X,Y的联合分布函数FX,Y；（3）P00且Y0时，XYUXYVUXYVUDUDUDVDUYXF04300430043E1E3E3E12,E1E1E1E43043YXXYU故X,Y的联合分布函数为,0,0,0,E1E1,43其他YXYXFYX（3）P005和PY150215015066665022DXXXYDXDYDXXPXXXX502315032XX；05,Y05；（2）求PXXDXXYDXDYYDXYXPXX；（2）KKYKYXK求X1和X2的联合分布列解因Y的密度函数为2P0，21212121EEEE212,10,1YYDYYPYYPXXP，22221EEE22,11,1YYDYYPYYPXXP，故X1和X2的联合分布列为221112EEE10E1010XX12设二维随机变量X,Y的联合密度函数为,0,0,0,EEE1,MAX122121其他YXYXFYXYXYX试求X与Y各自的边际分布函数解当X0时，FX,Y0，有FXXFX,0，当X0时，0,0,0,EEE1,MAX122121YYYXFYXYXYX有XYXYXYXYXXFXF1122121E1EEE1LIM,MAX，故0,0,0,E11XXXFXX当Y0时，FX,Y0，有FYYF,Y0，当Y0时，0,0,0,EEE1,MAX122121XXYXFYXYXYX有YYXYXYXXYYFYF2122121E1EEE1LIM,MAX，故0,0,0,E12YYYFYY3试求以下二维均匀分布的边际分布,0,1,1,22其他YXYXP9解当X1时，PXX0，当1X1时，211121,22XDYDYYXPXPXXX，故,0,11,122其他XXXPX当Y1时，PYY0，当1Y1时，211121,22YDXDXYXPYPYYY，故,0,11,122其他YYYPY4设平面区域D由曲线Y1/X及直线Y0，X1，XE2所围成，二维随机变量X,Y在区域D上服从均匀分布，试求X的边际密度函数解因平面区域D的面积为2LN122E1E1XDXXSD，则X,Y的联合密度函数为,0,21,DYXDYXYXP当XE2时，PXX0，当1XE2时，XDYDYYXPXPXX2121,10，故,0,E1,212其他XXXPX5求以下给出的X,Y的联合密度函数的边际密度函数PXX和PYY（1）0时，XXYXYXDYDYYXPXPEEE,1，故0,00,EXXXPXX当Y0时，PYY0，当Y0时，YYYYYDXDXYXPYPEE,01，X0Y1111X0Y1E2DX0Y10故0,00,EYYYYPYY（2）当X1或X1时，PXX0，当11时，PXX0，当0X1时，5021,10210XYXYDYYXDYYXPXPX，则,0,10,50其他XXXPX当Y1时，PYY0，当0Y1时，5021,10210YXYXDXYXDXYXPYPY，则,0,10,50其他YYYPY并且当X1时，GXX0，当0X1时，505021505050,10210XYXDYYXDYYXGXGX，则,0,10,50其他XXXGX当Y1时，GYY0，当0Y1时，505050215050,10210YYXDXYXDXYXGYGY，则,0,10,50其他YYYGY故它们有相同的边际密度函数8设随机变量X和Y独立同分布，且PX1PY1PX1PY11/2，试求PXY解因X和Y独立同分布，且PX1PY1PX1PY11/2，则X,Y的联合概率分布21212141411214141111JIPPXY故PXYPX1,Y1PX1,Y11/29甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为02，乙的命中率为05，以X和Y分别表示甲12和乙的命中次数，试求PXY解因X的全部可能取值为0,1,2，且PX0082064，3208020121XP，PX2022004，又因Y的全部可能取值为0,1,2，且PY0052025，505050121YP，PY2052025，则X,Y的联合概率分布25050250040010020010232008016008016401603201600210JIPPXY故PXY1PXY1PX1,Y0PX2,Y0PX2,Y108910设随机变量X和Y相互独立，其联合分布列为3/19/19/121321BXCAXYYYXY试求联合分布列中的A,B,C解因CAP911，9431912BBP，911AP，BP912，CP313，根据独立性，知81495919422222BBBBPPBP，可得0814942BB，即0922B，故92B；再根据独立性，知91969194911221AABPPP，可得6191A，故181A；由正则性，知1953191912131CBABCAPIJIJ，可得94CBA，故6118394BAC11设X和Y是两个相互独立的随机变量，XU0,1，YEXP1试求（1）X与Y的联合密度函数；（2）PYX；（3）PXY113解（1）因X与Y相互独立，且边际密度函数分别为,00,0,E,其他YXXYXPYX（2）0,Y0是广义矩形区域，故X与Y相互独立；（2）因111111122222YXYX可分离变量，B时，PXX0，当AXB时，ABDYCDABDYYXPXPDCX11,，则,0,1其他BXAABXPX当YD时，PYY0，当CYD时，CDDXCDABDXYXPYPBAY11,，则,0,1其他DYCCDYPY因PXXPYYPX,Y，故X与Y相互独立17设X1,X2,XN是独立同分布的正值随机变量证明NKNKXXXXENK,11LL证因X1,X2,XN是独立同分布的正值随机变量，则由对称性知,2,11NIXXXNILL同分布，且满足101,0,1YXYXZ当当求Z的分布列解因X,Y的联合密度函数为,0,0,0,E,其他YXYPXPYXPYXYX则00EE1XYXXYXDXDYDXYXPZP00EEXXDX，110ZPZP，故Z的分布列为PZ10X0YXY173设随机变量X和Y的分布列分别为4/12/14/1101PX2/12/110PY已知PXY01，试求ZMAXX,Y的分布列解因PX1X201，有PX1X200，即PX11,X21PX11,X210，可得X,Y的联合分布列为2/12/14/112/104/1110JIPPXY2/12/14/104/112/12/1004/104/1110JIPPXY因410410,00,10YXPYXPZP；43011ZPZP；故Z的分布列为434110PZ4设随机变量X、Y独立同分布，在以下情况下求随机变量ZMAXX,Y的分布列（1）X服从P05的01分布；（2）X服从几何分布，即PXK1PK1P，K1,2,解（1）X,Y的联合分布列为505050250250150250250010JIPPXY因PZ0PX0,Y0025；PZ11PZ0075；故Z的分布列为75025010PZ（2）因PZKPXK,YKPX,0,0,0,E,其他YXYXPYX试求以下随机变量的密度函数（1）ZXY/2；（2）ZYX解方法一分布函数法（1）作曲线簇ZYX2，得Z的分段点为0，当Z0时，FZZ0，当Z0时，ZXZYXZXZYXZDXDYDXZF20202020EEZZXZZXZZXDX2202202E121EEEE，因分布函数FZZ连续，有ZXY/2为连续随机变量，故ZXY/2的密度函数为0,0,0,E42ZZZZFZPZZZ（2）作曲线簇YXZ，得Z的分段点为0，当Z0时，ZXZXZZXYXZZXYXZDXDXDYDXZFEEEE200ZZZZXZXE21EE21EE212，当Z0时，020000EEEEDXDXDYDXZFXZXZXYXZXYXZZZXZXE2111E21EE2102，因分布函数FZZ连续，有ZYX为连续随机变量，故ZYX的密度函数为0,E21,0,E21ZZZFZPZZZZ方法二增补变量法（1）函数2YXZ对任意固定的Y关于X严格单调增加，增补变量VY，X0Y2ZX0YZX0YZ19可得,2YVYXZ有反函数,2VYVZX且21012VZVZYYXXJ，则DVVVZPDVVVZPZPZ,222,2，作曲线簇ZYX2，得Z的分段点为0，当Z0时，PZZ0，当Z0时，ZZZZZDVZP2202E4E2，故ZXY/2的密度函数为0,0,0,E42ZZZZPZZ（2）函数ZYX对任意固定的Y关于X严格单调增加，增补变量VY，可得,YVXYZ有反函数,VYZVX且11011VZVZYYXXJ，则DVVZVPZPZ,，作曲线簇YXZ，得Z的分段点为0，当Z0时，ZZVZVZDVZPE21E21E0202，当Z0时，ZZZVZZVZDVZPE21E21E22，故ZYX的密度函数为0,E21,0,E21ZZZPZZZ7设X与Y的联合密度函数为0,0,0,E1TTTTPT设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周需要量的密度函数P2X；（2）三周需要量的密度函数P3X解方法一根据独立伽玛变量之和仍为伽玛变量设TI表示“该种商品第I周的需要量”，因TI的密度函数为0,0,0,E21121TTTTPT可知TI服从伽玛分布GA2,1，（1）两周需要量为T1T2，因T1与T2相互独立且都服从伽玛分布GA2,1，故T1T2服从伽玛分布GA4,1，密度函数为0,0,0,E610,0,0,E413142XXXXXXXPXX（2）三周需要量为T1T2T3，因T1,T2,T3相互独立且都服从伽玛分布GA2,1，故T1T2T3服从伽玛分布GA6,1，密度函数为0,0,0,E12010,0,0,E615163XXXXXXXPXX方法二分布函数法（1）两周需要量为X2T1T2，作曲线簇T1T2X，得X的分段点为0，当X0时，F2X0，当X0时，XTXTTTXTXTTTTDTDTTTDTXF0021100221121221121EEEEEXTXDTTTXTT0111121EE1XTTXTTXTT0121213111EEE212131X0Y11ZT10T2X211EEE212131233XXXXXXXXXXXXXXE61E21EE132，因分布函数F2X连续，有X2T1T2为连续随机变量，故X2T1T2的密度函数为0,0,0,E61322XXXXFXPX（2）三周需要量为X3T1T2T3X2T3，作曲线簇X2T3X，得X的分段点为0，当X0时，F3X0，当X0时，XXXTTXXXXTXTXDXDTTXDXXF003322003332232332232EEE61EE61XXXDXXXXXX0232323242EE612XXXXXXXXXXXXX0222324242522222E6E6E3EE414151611EEE21E61E4141516123455XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXE1201E241E61E21EE15432，因分布函数F3X连续，有X3T1T2T3为连续随机变量，故X3T1T2T3的密度函数为0,0,0,E1201533XXXXFXPX方法三卷积公式（增补变量法）（1）两周需要量为X2T1T2，卷积公式222221DTTPTXPXPTT，作曲线簇T1T2X，得X的分段点为0，当X0时，P2X0，当X0时，XXXXXXTTXXTXTDTTXTDTTTXXPE61E3121EEE303222022220222222，故X2T1T2的密度函数为0,0,0,E6132XXXXPX（2）三周需要量为X3T1T2T3X2T3，卷积公式333332DTTPTXPXPTX，作曲线簇X2T3X，得X的分段点为0，当X0时，P3X0，X20T3XX0T1T222当X0时，XXXTTXDTTXTTXTXDTTTXXP03433323233033333E3361EE6133XXXXTXTXTXTE1201E51432161505343233323，故X3T1T2T3的密度函数为0,0,0,E120153XXXXPX9设随机变量X与Y相互独立，试在以下情况下求ZXY的密度函数（1）XU0,1，YU0,1；（2）XU0,1，YEXP1解方法一分布函数法（1）作曲线簇XYZ，得Z的分段点为0,1,2，当Z0时，E1EEEE110101010ZZXZXZXYZXYZZZDXDXDYDXZF，因分布函数FZZ连续，有ZX/Y为连续随机变量，故ZX/Y的密度函数为0,00,E1E111ZZZZFZPZZZZ（2）作曲线簇ZYX，即直线簇ZXY，得Z的分段点为0，当Z0时，FZZ0，当Z0时，0101021212121EEEEEEDXDXDYDXZFZXXZXYXZXYXZ2110211012121EEZZZDXXZXZ，因分布函数FZZ连续，有ZX/Y为连续随机变量，X0YZ111X0YZ1X0YZ1Z1X0Y1/Z10XY24故ZX/Y的密度函数为0,00,22121ZZZZFZPZZ方法二增补变量法（1）函数ZX/Y对任意固定的Y关于X严格单调增加，增补变量VY，可得,/YVYXZ有反函数,VYZVX且VZVYYXXJVZVZ10，则DVVVZVPZPZ|,，作曲线簇X/YZ，得Z的分段点为0，当Z0时，PZZ0，当Z0时，ZZZZVZVZZZVVDVZP1111010E1E11E11E1E，故ZX/Y的密度函数为0,00,E1E111ZZZZPZZZ（2）作曲线簇X/YZ，得Z的分段点为0，当Z0时，PZZ0，当Z0时，022121210212121E1EEVZVZVZZZVVDVZP22121Z，故ZX/Y的密度函数为0,00,22121ZZZZPZ11设X1,X2,X3为相互独立的随机变量，且都服从0,1上的均匀分布，求三者中最大者大于其他两者之和的概率解设AI分别表示XI大于其他两者之和，I1,2,3，显然A1,A2,A3两两互不相容，且PA1PA2PA3，则PA1A2A3PA1PA2PA33PA33PX3X1X2因X1,X2,X3相互独立且都服从0,1上的均匀分布，则由几何概型知61121131213XXXP，故213213321XXXPAAAPUU12设随机变量X1与X2相互独立同分布，其密度函数为ITTTFTI，则设备正常工作时间TMINT1,T2,T3，分布函数为FTPTMINT1,T2,T3T1PMINT1,T2,T3T1PT1TPT2TPT3T11F1T1F2T1F3T当T0时，FT0，当T0时，FT1ET31E3T，故设备正常工作时间T服从参数为3的指数分布EXP3，密度函数为0,0,0,E33TTTFTPT14设二维随机变量X,Y在矩形GX,Y|0X2,0Y1上服从均匀分布，试求边长分别为X和Y的矩形面积Z的密度函数解二维随机变量X,Y的联合密度函数为,0,10,20,21,其他YXYXP方法一分布函数法矩形面积ZXY，作曲线族XYZ，得Z的分段点为0,2，当Z0时，FZZ0，X10Z1X2Z1X2Y10Z26当00,0,0,EXXXPX（1）求UXY与VX/XY的联合密度函数PUVU,V；（2）以上的U与V独立吗解二维随机变量X,Y的联合密度函数为,0,0,0,E,其他YXYXPYXXY（1）因,YXXVYXU有反函数,1,VUYUVX且UUVUVYYXXJVUVU1，且当X0,Y0时，有UV0,U1V0，即U0,0,0,10,0,E|1,其他VUUUVUUVPVUPUXYUV（2）当U0时，PUU0，当U0时，UUUVUUDVUDVVUPUPEE,10，则0,0,0,EUUUUPUU当V0或V1时，PVV0，当0,0,10,0,E,其他VUUVPUPVUPUVUUV故U与V相互独立17设X,Y独立同分布，且都服从标准正态分布N0,1，试证UX2Y2与VX/Y相互独立证二维随机变量X,Y的联合密度函数为0时，2222E21ARCTANE21E121,UUUUVUVDVVDVVUPUP，则0,00,E212UUUPUU且,00,0,E,11212121其他YXYXYXPYXXY因YXXVYXU有反函数1VUYUVX且UUVUVYYXXJVUVU1，且当X0,Y0时，有UV0,U1V0，即U0,0,010,0|,|E111212121其他VUUVUUVU,010,0,1E11121212121其他VUVVUU当U0时，PUU0，当U0时，10111212121211E,DVVVUDVVUPUPUUVU10111212121211EDVVVUUUUUUEE121212112121212121，则0,00,E1212121UUUUPUU当V0或V1时，PVV0，当0,010,0,1E,11121212121其他VUVVUVPUPVUPUVUUV故U与V相互独立19设随机变量U1与U2相互独立，且都服从0,1上的均匀分布，试证明（1）Z12LNU1EXP1/2，Z22U2U0,2；（2）21COSZZX和21SINZZY是相互独立的标准正态随机变量30证（1）因Z12LNU1严格单调减少，反函数为2111EZZHU，211E21ZZH，当00,00,E21112111ZZZPZZ故Z12LNU1EXP1/2；因Z22U2严格单调增加，反函数为2222ZZHU，212ZH，当0,020,0,E41,212212112121其他ZZZPZPZZPZZZZZ因SINCOS2121ZZYZZX有反函数0,00,0,0,EXXXPXJJJNJXXXFXJJ,2,10,0,0,E1L，31设YIMINX1,XI1,XI1,XN，则YI的分布函数为FYIYPYIMINX1,XI1,XI1,XNY1PMINX1,XI1,XI1,XNY1PX1YPXI1YPXI1YPXNY，当Y0时，0YFIY，当Y0时，YYYYYYNIINIIIYF111111E1EEEE1LLLL，因分布函数YFIY连续，有YIMINX1,XI1,XI1,XN为连续随机变量，则YI的密度函数为0,00,E111111YYYFYPYNIIYYNIIIILLLL故PXIMINX1,X2,XNPXIYI0111111EEXYNIIXIDYDXNIIILLLL0021111EEEDXDXXIXYXINNIIILLLNIXNINLLL2102121E21设连续随机变量X1,X2,XN独立同分布，试证NXXXXPNN1,MAX121L证设XI的密度函数为PX，分布函数为FX，又设YMAXX1,X2,XN1，则Y的分布函数为FYYPYMAXX1,X2,XN1YPX1YPX2YPXN1YFYN1，可得PYYFYYN1FYN2PY，故PXNMAXX1,X2,XN1PXNYDXXFXPYFXPDXDYYPXPDXYXYXYNXFNXDFXFDXXFXPNNN1111X0YXN0Y32习题341掷一颗均匀的骰子2次，其最小点数记为X，求EX解因X的全部可能取值为1,2,3,4,5,6，且36116561222XP，3696452222XP，3676343222XP，3656234222XP，363612522XP，3616162XP，故36913616363536543673369236111XE2求掷N颗骰子出现点数之和的数学期望与方差解设XI表示“第I颗骰子出现的点数”，X表示“N颗骰子出现点数之和”，有NIIXX1，且XI的分布列为616161616161654321PXI则27621616615614613612611IXE，且6916166156146136126112222222IXE，可得123527691VAR222IIIXEXEX，故NXEXENII271，NXXNII1235VARVAR13从数字0,1,N中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望解设X表示“所取的两个数字之差的绝对值”，有X的全部可能取值为1,2,N，且NKNNKNNKNKXP,2,1,112211L，故NKNKNKKKNNNNNKNKKXKPXE1211112112321231112161121112NNNNNNNNNNN4设在区间0,1上随机地取N个点，求相距最远的两点之间的距离的数学期望解设XI表示“第I个点”，有XI都服从均匀分布U0,1，密度函数和分布函数分别为X1PX1XPX2XPXNX11FXNYXE证因X,Y的联合密度函数为0,0,0,E1XXXPX0,0,0,E1XXXFX设Y表示“系统持续工作的时间”，（1）YMINX1,X2,XN，可得Y的分布函数为FYYPYMINX1,X2,XNY1PMINX1,X2,XNY1PX1YPX2YPXNY11FYN0,0,0,E1YYYN可得0,0,0,EYYNYFYPYNYY即YEXPN，故NYE1；（2）YMAXX1,X2,XN，可得Y的分布函数为FYYPYMAXX1,X2,XNYPX1YPX2YPXNYFYN0,0,0,E1YYNY可得0,0,0,E1E1YYNYFYPNYYYY则01E1EDYNYYENYY，令T1EY，有1LN1TY，DTTDY11，且Y0时，T0；Y时，T1，故1010110111LN11LN11111LN1NNNTDTDTTNTDTTTTNTYE10110101111111LN11DTTTDTTTTTNNNLNNTTTN1211121102LL14设X,Y独立同分布，都服从正态分布N0,1，求EMAXX,Y解方法一先求最小值的分布函数，再求其数学期望因X,Y独立且密度函数和分布函数都分别是标准正态分布密度函数X和分布函数X，则ZMAXX,Y的分布函数为FZZ2，密度函数为PZFZ2ZZ，37故2222E122E2122,MAXZZDZDZZZDZZZZYXEDZDZZZZZZZ22222222E21E220E22E2211E222DZZ方法二直接求最小值函数的期望因X,Y的联合密度函数为Y时，Z1000Y，39即,1000,500500,YXYYXYXYXGZ故DXDYYXPYXGZE,201010201020105510011000100150050021XXDDYDYDXDYYXDXDXDYYDXDYYX201022010220101022010202500521510001005255DXXDXXXYDXYXYDXXX342500500352510005020103201032XXXXX18设随机变量X与Y独立，都服从正态分布NA,2，试证,MAXAYXE证方法一先求最小值的分布函数，再求其数学期望因X,Y独立且密度函数和分布函数都分别是,0,1YXYXU2,0,2,1YXYXV求U和V的相关系数解因250250,2,0,011GDSSDYXPYXYXPVUP，PU0,V1PXY,X2YP0，250250,2,0,122GDSSDYXPYXYXPVUP，5021,2,1,133GDSSDYXPYXYXPVUP，则EU00250102505075，EV0025025100505，EU20202501202505075，EV2020250251200505，EUV002500002510505，有VARUEU2EU2075075201875，VARVEV2EV205052025，COVU,VEUVEUEV05075050125，故315032501250VARVAR,COV,CORRVUVUVU36设二维随机变量X,Y的联合密度函数如下，试求X,Y的协方差矩阵（1）0时，FXYX,X2PXX,YX2X2PXXXFXXFXX，但FXXFYX2FXXPXXXFXXFXXFXX，故当YX2,X0且FXX0,Y0时，有2222212222221212212122212121221EE121E121,YXYXYXYXP，即ABYXABDYDXDYYXPDXBYAXP222221221212221EE121,，令21XU，21YV，有DUDX21，DVDY21，当XA时，21AU，当X时，U；且当YB时，21BV，当Y时，V；则222222121122222211E1E121,ABVUDVDUBYAXP222222121122212EE21ABVUDVDU，因X服从正态分布,021N，Y服从正态分布,022N，则BVAUBVAUDVDUDVDUBYPAXP22221222221222212221EE21E21E21，故ABVUABVUDVDUDVDUBYAXP22221222222212222121122212EE21EE21,EE212222122221BYPAXPDVDUBVAU47设随机向量X,Y满足EXEY0，VARXVARY1，COVX,Y，证明22211,MAXYXE证因EXEY0，VARXVARY1，COVX,Y，则EX2VARXEX21，EY2VARYEY21，EXYCOVX,YEXEY，因|21,MAX222222YXYXYX，54则|211|21,MAX22222222YXEYXEYEXEYXE，根据CAUCHYSCHWARZ不等式有22VEUEUVE，则|211|211|211,MAX222222YXEYXEYXYXEYXEYXE，因E|XY|2EX2Y22XYEX2EY22EXY22，E|XY|2EX2Y22XYEX2EY22EXY22，故222112222211,MAXYXE48设随机变量X1,X2,XN中任意两个的相关系数都是，试证11N证设NIXXEXXIIII,2,1,VARL，有VARXI1，I1,2,N，则VARVAR,COVVAR,VARCOV,COVJIJIJJJIIIJIXXXXXXEXXXEXXX，1I0，条件密度函数0，条件密度函数1时，PXX0，当1X1时，821821421621221222XXYXYDYXXPXXX，则,0,11,82162其他XXXXPX当10，条件密度函数,0,1,12,|24|其他YXXYXPYXPXYPXXY即,0,1250,93750250|其他YYXYPXY故1574375093750193750193750250|750175021750YDYYXYP8已知随机变量Y的密度函数为05X0Y11X0Y10558解因X,Y的联合密度函数为XXDXXXYXDXYDYXDXXPXX644764316523259设随机变量X服从1,2上的均匀分布，在XX的条件下，随机变量Y的条件分布是参数为X的指数分布，证明XY服从参数为1的指数分布证因X密度函数为0,0,0,E|YYXXYPXYXY则X,Y的联合密度函数为0时，有ZZXZXYXZXYZDXDXDYXDXZXYZPZFE1E1EE21210210，即ZXY的分布函数和密度函数分别为0,