余浪彪,毕业论文定稿

分类号O17论文编号201040431040本科生毕业论文凸函数及其应用姓名余浪彪院系数学科学学院年级专业10级数学与应用数学指导教师赵秀副教授2014年4月诚信承诺书本人郑重声明所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担。作者签名日期关于学位论文使用授权的声明本人完全了解兴义民族师范学院有关保留、使用学位论文的规定，同意学院保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权兴义民族师范学院可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文和汇编本学位论文。保密论文在解密后应遵守此规定作者签名导师签名日期目录摘要IABSTRACTII第一章绪论111凸函数的产生112凸函数的发展1第二章凸函数的定义及判定221凸函数的国际定义222凸函数的几何意义223凸函数的判定3第三章凸函数的定义及性质的应用431凸函数定义的应用432凸函数的性质633凸函数性质的应用7第四章结论8参考文献9致谢10附录11I摘要凸函数是一种具有特殊性质的函数，在函数的研究领域中占有十分重要的地位到目前为止，凸函数的研究已经从定义的研究到凸性的研究，再到凸性应用的方面的研究对函数凹凸性的研究，在数学分析的多个分支都有用处特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面，凸函数起着十分重要的作用凸函数有其独特的良好性质，由于凸函数理论的广泛性，及其在数学各个领域都有广泛的应用因此，对凸函数的理论进一步深入地研究和推广，就显得尤为重要凸函数作为数学分析中一类特殊的函数，在实际课本中一般只介绍其定义以及判定，然而它在证明不等式中具有得天独厚的功用，却极少涉及所以，探讨一些凸函数性质，并且利用这些性质证明一些初等数学无法证明的不等式，用以说明凸函数在不等式中的应用，是十分重要的而且凸函数与一搬函数之间已有着千丝万缕的联系，利用其解决一般函数的相关问题也有着事半功倍的效果关键词凸函数性质不等式应用IIABSTRACTTHECONVEXFUNCTIONISASPECIALKINDOFFUNCTION,OCCUPIESAVERYIMPORTANTPOSITIONINTHERESEARCHFIELDOFFUNCTIONSOFAR,RESEARCHOFCONVEXFUNCTIONFROMTOTHECONVEXITYOFTHESTUDYDEFINITION,RESEARCHANDTHENTOCONVEXAPPLICATIONSRESEARCHONTHECONCAVITYANDCONVEXITYOFFUNCTIONS,AREUSEFULINABRANCHOFMATHEMATICALANALYSISESPECIALLYINTHEDERIVEDFUNCTIONOFGRAPHICDESCRIPTIONSANDINEQUALITY,CONVEXFUNCTIONPLAYSAVERYIMPORTANTROLEITHASGOODPROPERTIESOFCONVEXFUNCTIONISUNIQUE,BECAUSEOFTHEEXTENSIVETHEORYOFCONVEXFUNCTIONINMATHEMATICS,ANDTHEYAREWIDELYUSEDINALLFIELDSTHEREFORE,THETHEORYOFCONVEXFUNCTIONFURTHERDEEPRESEARCHANDPROMOTION,ISPARTICULARLYIMPORTANTCONVEXFUNCTIONISAKINDOFSPECIALFUNCTIONINMATHEMATICALANALYSIS,INTHEACTUALTEXTGENERALLYINTRODUCESITSDEFINITIONANDJUDGMENT,HOWEVERITHASBERICHLYENDOWEDBYNATUREFUNCTIONINPROVINGINEQUALITIES,BUTRARELYINVOLVEDTHEREFORE,SUMMARIZESSOMEOFTHEPROPERTIESOFCONVEXFUNCTION,INEQUALITYANDUSETHESEPROPERTIESTOPROVESOMEELEMENTARYMATHEMATICSCANNOTPROVE,INORDERTOEXPLAINAPPLICATIONOFCONVEXFUNCTIONININEQUALITY,ISVERYIMPORTANTANDTHECONVEXFUNCTIONWITHAMOVEFUNCTIONBETWEENALREADYHAVEALLKINDSOFCONNECTIONSWITHCONTACT,USETHERELEVANTPROBLEMSOFGENERALFUNCTIONALSOHASAMULTIPLIEREFFECTKEYWORDSCONVEXFUNCTIONPROPERTYINEQUALITYAPPLICATION兴义民族师范学院本科毕业论文1第一章绪论11凸函数的产生凸函数是一类重要的函数，它的概念源于JENSEN著述1905中，在JENSEN著述中是这样介绍凸函数的若函数FX满足定义域上任意两个数1,2XX都有121222FXFXXXF，则称FX为凸函数凸函数的产生不仅给人们带来了一种新的研究函数的工具,也为函数这个“大家族”增枝散叶，随着凸函数的出现人们对函数这个概念又多了一丝陌生感，也引起人们“认识”它的欲望在JENSEN定义凸函数后，有不少的数学家对凸函数进行了研究，其中就有闵科夫斯基和杜克等人12凸函数的发展凸函数的研究起源于丹麦数学家约翰詹森JENSEN和爱因斯坦在瑞士的数学老师闵科夫斯基对凸函数的研究，但那是人们对凸函数并不看好，真正引起人们广泛重视的是4050年代冯诺伊曼和杜克等人对策论和数学规划的研究，由于这方面的需要，从50年代初到六十年代末人们对凸函数进行了大量的研究60年代中期产生了凸分析从此以后，关于凸函数的研究大多数都是围绕凸分析所展开的我国的数学爱好者对凸函数的研究也有涉及，其中的代表人物有张晓明、刘光中和胡克等人，他们的研究成果多数是以教材的形式所展示，而且对凸函数的定义也不尽相同譬如，同济大学高等代数教材对凸函数所下定义与国际相反，国际定义的凸函数是指上方图是凸集，而同济大学高等代数数学教材则是指其下方图是凸集，两者定义刚好相反由于人的求知欲是无限的和科技的不断发展，人们对凸函数的研究还会更上一层楼兴义民族师范学院本科毕业论文2第二章凸函数的定义及判定21凸函数的国际定义由于目前对凸函数的理论研究是十分丰富的，而且对凸函数所给的定义也不尽相同，但人们常用凸函数的国际定义作为研究对象，本文也将采用凸函数国际定义定义21设函数FX在区间I上有定义，若对任意的1,2XXI及对任意的0,1K总有121211FKXKXKFXKFX，则称函数FX为区间I上的凸函数CONVEXFUNCTION22凸函数的几何意义设FX为区间I上的凸函数且图像如图21所示，若当1212,FXAFXBXXI其中，则弦AB的方程为221212YFXXXFXFXXX若存在参数0,1K,则有11221XKXKXX，故弦AB的方程可改写为121211YKFXKFXXKXKX，由于函数FX为凸函数，则121211FKXKXKFXKFX即连接凸函数图像上的任意两点的弦总位于对应图像的上方如图22兴义民族师范学院本科毕业论文323凸函数的判定对任意的3212331,01XXXXXKXX有21213311,011XXXKXKXKXX，若FX是凸函数，则有2131311FXFKXKXKFXKFX将3231XXKXX带入式且经整理可得31212131XXFXFXXXFXFX，即31212131FXFXFXFXXXXX若31212131FXFXFXFXXXXX即21213131XXFXFXFXFXXX将21311XXKXX带入式且经整理可得21311FXFXKFXFX经移项整理得23113111FXKFXFXFXKFXKFX又将2131XKXKX带入式且经整理可得131311FKXKXKFXKFX，由式可得函数FX为所给区间的凸函数，由此可得定理21函数FX为所给区间I上凸函数的充要条件为对任意的31211231232131,FXFXFXFXXXXIXXXXXXX总有同理可得定理22函数FX为所给区间I上凸函数的充要条件为对任意的123123123123111,0XXXIXXXXXXFXFXFX总有定理22证明过程与定理21的推理过程大同小异，故在此不再证明兴义民族师范学院本科毕业论文4第三章凸函数的定义及性质的应用31凸函数定义的应用不等式是数学学科中一个重要的组成部分，不等式最关键的就是对它的证明，而有些不等式用常规的不等式的证明方法就显得十分麻烦和困难，如借助凸函数的定义去证明就十分便捷，如下几例例31设1111,0,1,1,PQXYXYPQXYPQPQ且证明（YOUNG）不等式1111LN,0,0,111,0,11111111LNLNLN1111LNLNLNLN11PQPQFXXXXYPQPQPQXYXYPQPQXYXYXYPQPQXYXYPQ证明在上为凸函数由凸函数的定义可得即即，故所给不等式得证例32,0,2XYXYXY若求证（均值不等式）0,0,111122222FXXFXXXYFXYFXFYXYXY证明设，在为凸函数，因为则由凸函数的定义可得由上化简整理可得即所给命题得证兴义民族师范学院本科毕业论文5111111,01,2,1,NNNPPPPPPKKKKKKKKKXYKNPXYXY例33设证明（MINKOWSKI不等式）111111111111111111111,1,11NNPPKKKKKKKKNNPPKKKKKKKKNNNPPPKKKKKKKKKKKNNQPQPPKKKKKNPPKKXYXYXYXXYYXYPQPQPPQXYXXYYXYXXYYX证明且当时，有111111111111111111NQQPKKKNNNQPPPPPKKKKKKKNNNNPQPPPPPPKKKKKKKKKKYXYXYXYXYXY故由上可以看出，凸函数的定义在解决不等式（无论是困难的，还是简单的）的证明方面都有着独特的作用兴义民族师范学院本科毕业论文632凸函数的性质无论是国外还是国内的数学爱好者都对凸函数进行了大量的研究，也发现凸函数的许多性质，本文着重介绍凸函数的以下四条性质性质1有界性若FX为,AB上的凸函数，则FX在,AB上有界性质2连续性若FX为区间I上的凸函数，则FX在任意点,XABI处连续性质3可导性若FX为区间I上的凸函数，则0FX反之也成立性质4单调性若FX为区间I上的凸函数，则FXI在上单调递增本文只证明性质1，其它的性质都具有相通之处，便不再累述证明性质1,BXXABKBA对取则有11XKAKBFXFKAKB,FXAB函数为区间上的凸函数11FXFKAKBKFAKBMAX,FAFBMAX,FAFBMFXM取，即FX故有上界,现证明其存在下界,XABABXAB取则有11222ABFFXABXFX，且为凸函数1112222ABFFXABXFXFABX12FXM22ABFXFM即FX有下界故性质1有界性得证兴义民族师范学院本科毕业论文733凸函数性质的应用上节介绍了凸函数的四条基本性质，本节就以上的性质，作出实例，以充实理论12121113401,2,KNNXKNXXXXXX例已知试求的最值311112121121112000,111111MINNNNKKNKKKKKKNNKNKKKNNKKKKFXXFXXXFXNFXFXNNNXXXNXXXXXNX解设，则由凸函数的可导性的反面可得为的凸函数即当取“”135,22BAABFAFBFXABFFXDXBA例设为上的可微凸函数，证明,22,1,22122BABABAFXABABFAFBFABSTFXDXFBAFXDXFBAABFXFAFFBABFAFBFFABFAFBFFXDXBA证明为的可微凸函数有积分中值定理可得故且为所给区间上的凸函数即兴义民族师范学院本科毕业论文8第四章结论凸函数是一种具有特殊性质的辅助函数，它在函数图像、函数最值及不等式系统中都起着十分重要的作用如今随着科技的发展和网络的普及，人们对凸函数的认识越来越系统，研究也越来越全面,特别是凸函数的应用方面，许多数学爱好者都对其进行了大量的研究，他们的研究成果都为我们更好的认识凸函数作出了巨大贡献本文是对前人的研究进行归纳和总结，当然也有自己的一些观点，在本次课题研究中，我发现凸函数的定义及性质是研究凸函数的基石，无论我们是研究凸函数的浅显概念还是其广泛的应用都应从其定义及性质着手，凸函数的性质极多在研究其应用时我们应做到“对症下药”，不能盲目地使用其性质，盲目地使用其性质只会让我们走进误区，更有甚者走进死胡同，只有正确地使用凸函数的性质才能使我们的研究事半功倍兴义民族师范学院本科毕业论文9参考文献1华东师范大学数学系数学分析（上）M北京高等教育出版社,201071511572刘三阳,于力,李广民数学分析选讲M北京科学出版社，200777893熊鹏飞凸函数的性质和应用J黑龙江科技信息，2011,21）1804刘小宁关于凸函数的有趣不等式J黄冈职业技术学院院报，2013,1991005杜厚雄凸函数的性质及应用J现代企业教育，2007,16）1731746刘象华凸函数的应用J云南民族大学学报，1991,4）71847时贞军凸函数的若干性质及应用J应用数学，2004,51）148杨再鹏凸函数在不等式中的应用J成功（教育版），2009,7）1739刘佩凸函数性质举例J考试（高考教育版），2012,8）505110罗超群凸函数在分析中的应用初探J科教文汇（下旬刊），2010,9）929311郭志荣利用凸函数的性质巧证积分不等式J数学学习与研究，2011,7）5612王强芳，魏元金函数凹凸性在解题中的应用J上海中学数学，2007，（11）313213杨再鹏凸函数在不等式中的应用J长江教育，2009,