概率论与数理统计习题解答第二版李书刚编,科学出版社

概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第1页共78页第一章随机事件及其概率1写出下列随机试验的样本空间（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和；（2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标；（3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数；（4）测量一汽车通过给定点的速度解所求的样本空间如下（1）S2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12（2）SX,Y|X2Y202设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件（1）A发生，B和C不发生；（2）A与B都发生，而C不发生；（3）A、B、C都发生；（4）A、B、C都不发生；（5）A、B、C不都发生；（6）A、B、C至少有一个发生；（7）A、B、C不多于一个发生；（8）A、B、C至少有两个发生解所求的事件表示如下12345678ABCABC3在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则（1）事件AB表示什么（2）在什么条件下ABCC成立（3）在什么条件下关系式是正确的B（4）在什么条件下成立A解所求的事件表示如下（1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第2页共78页（2）当全校运动员都是三年级男生时，ABCC成立（3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式是正确的CB（4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，成立AB4设PA07，PAB03，试求PA解由于ABAAB,PA07所以PABPAABPAPAB03,所以PAB04,故104065对事件A、B和C，已知PAPBPC，PABPCB0,PAC求1418A、B、C中至少有一个发生的概率解由于故PABC0,0,P则PABCPAPBPCPABPBCPACPABC115486设盒中有只红球和B只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率A两球颜色相同，B两球颜色不同解由题意，基本事件总数为，有利于A的事件数为，有利于B的事件数为2ABA2ABA,1112ABAB则212AABAPPB7若10件产品中有件正品，3件次品,（1）不放回地每次从中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率；（2）每次从中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率解（1）设A取得三件次品则3310106272或者CAPAP（2）设B取到三个次品,则378某旅行社100名导游中有43人会讲英语，35人会讲日语，32人会讲日语和英语，9人会讲法语、英语和日语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种，求（1）此人会讲英语和日语，但不会讲法语的概率；（2）此人只会讲法语的概率解设A此人会讲英语,B此人会讲日语,C此人会讲法语根据题意,可得13293100PABCPABC2011PAB435249罐中有12颗围棋子，其中8颗白子4颗黑子，若从中任取3颗，求概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第3页共78页（1）取到的都是白子的概率；（2）取到两颗白子，一颗黑子的概率；（3）取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（4）取到三颗棋子颜色相同的概率解1设A取到的都是白子则3812405CPA2设B取到两颗白子,一颗黑子843129B3设C取三颗子中至少的一颗黑子075PCA4设D取到三颗子颜色相同38412D10（1）500人中，至少有一个的生日是7月1日的概率是多少1年按365日计算（2）6个人中，恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少解1设A至少有一个人生日在7月1日,则5036417P2设所求的概率为PB41260CB11将C，C，E，E，I，N，S7个字母随意排成一行，试求恰好排成SCIENCE的概率P解由于两个C，两个E共有种排法，而基本事件总数为，因此有2A7A27094AP12从5副不同的手套中任取款4只，求这4只都不配对的概率解要4只都不配对，我们先取出4双，再从每一双中任取一只，共有中取法设452CA4只手套都不配对，则有451028CPA13一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件，第I只零件是不合格的概率为，I1，2，3，若以X表示零件中合格品的个数，则PX2为多少1IPI解设AI第I个零件不合格，I1,2,3,则1IIPAP所以1IIPP23123123XAPA由于零件制造相互独立，有，123123P123123PAAPA概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第4页共78页12131,23442PX所以14假设目标出现在射程之内的概率为07，这时射击命中目标的概率为06，试求两次独立射击至少有一次命中目标的概率P解设A目标出现在射程内，B射击击中目标，BI第I次击中目标,I1,2则PA07,PBI|A06另外BB1B2，由全概率公式12|PBAPBA另外,由于两次射击是独立的,故PB1B2|APB1|APB2|A036由加法公式PB1B2|APB1|APB2|APB1B2|A0606036084因此PBPAPB1B2|A07084058815设某种产品50件为一批，如果每批产品中没有次品的概率为035，有1，2，3，4件次品的概率分别为025,02,018,002，今从某批产品中抽取10件，检查出一件次品，求该批产品中次品不超过两件的概率解设AI一批产品中有I件次品，I0,1,2,3,4,B任取10件检查出一件次品,C产品中次品不超两件,由题意01945281093475016|2PBCAPBC由于A0,A1,A2,A3,A4构成了一个完备的事件组,由全概率公式40|0196IIIPB由BAYES公式000111222|5|3APBP故0|58IICAB16由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏2，10和90的概率分别为概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第5页共78页08，015，005，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这批物品的损坏率是多少（这里设物品件数很多，取出一件后不影响下一件的概率）解设B三件都是好的，A1损坏2,A2损坏10,A1损坏90，则A1,A2,A3是两两互斥,且A1A2A3,PA108,PA2015,PA2005因此有PB|A10983,PB|A20903,PB|A3013,由全概率公式31333|0895095018624IIIPB由BAYES公式,这批货物的损坏率为2,10,90的概率分别为31233|8|70624|159|18|08IIIIIIAPBP由于PA1|B远大于PA3|B,PA2|B,因此可以认为这批货物的损坏率为0217验收成箱包装的玻璃器皿，每箱24只装，统计资料表明，每箱最多有两只残次品，且含0，1和2件残次品的箱各占80，15和5，现在随意抽取一箱，随意检查其中4只；若未发现残次品，则通过验收，否则要逐一检验并更换残次品，试求（1）一次通过验收的概率；（2）通过验收的箱中确定无残次品的概率解设HI箱中实际有的次品数,A通过验收012I则PH008,PH1015,PH2005,那么有423142|,5,69|8PACH1由全概率公式20|096IIIPAPAH2由BAYES公式得00|81|396I18一建筑物内装有5台同类型的空调设备，调查表明，在任一时刻，每台设备被使用的概率为01，问在同一时刻（1）恰有两台设备被使用的概率是多少（2）至少有三台设备被使用的概率是多少解设5台设备在同一时刻是否工作是相互独立的,因此本题可以看作是5重伯努利试验由题意，有P01,Q1P09,故概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第6页共78页123155019072PC2234P24150559856C概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第7页共78页第二章随机变量及其分布1有10件产品，其中正品8件，次品两件，现从中任取两件，求取得次品数X的分律解X的分布率如下表所示X012P28/4516/451/452进行某种试验，设试验成功的概率为，失败的概率为，3414以X表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率解X的分布律为13,24KPX取偶数的概率2134163651KKPXKK为偶数3从5个数1，2，3，4，5中任取三个为数求123,XXMAX的分布律及PX4；,XYMIN的分布律及PY3123解基本事件总数为，3510CX345概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第8页共78页1X的分布律为PX4P3P4042Y的分布律为PX304C应取何值，函数FK，K1，2，0成为C分布律解由题意,即1KFX01101KKKCCCE解得E5已知X的分布律X112P62636P010306Y123P060301概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第9页共78页求（1）X的分布函数；（2）；（3）12PX312PX解1X的分布函数为KXFXP0,11/62,2FXX216PX33102P6设某运动员投篮投中的概率为P06，求一次投篮时投中次数X的分布函数，并作出其图形解X的分布函数061XFX7对同一目标作三次独立射击，设每次射击命中的概率为P，求（1）三次射击中恰好命中两次的概率；（2）目标被击中两弹或两弹以上被击毁，目标被击毁的概率是多少解设A三次射击中恰好命中两次，B目标被击毁，则1PA2323311PCPP2PB3323CP8一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求（1）每分钟恰有6次呼唤的概率；FX0X1061概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第10页共78页（2）每分钟的呼唤次数不超过10次的概率解1PX6或者64014KEEKPX60214870110674467KK010422PX1010440110284KKKKEE0997169设随机变量X服从泊松分布，且PX1PX2，求PX4解由已知可得，12,EE解得2，0不合题意00942,PXE因此10商店订购1000瓶鲜橙汁，在运输途中瓶子被打碎的概率为0003，求商店收到的玻璃瓶，（1）恰有两只；（2）小于两只；（3）多于两只；（4）至少有一只的概率解设X1000瓶鲜橙汁中由于运输而被打破的瓶子数，则X服从参数为N1000,P0003的二项分布，即XB1000,0003,由于N比较大，P比较小，NP3,因此可以用泊松分布来近似,即X3因此概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第11页共78页1PX22304E232118092KPX332576KE4109K11设连续型随机变量X的分布函数为20,011,XFXK求（1）系数K；（2）P02580/100PZ08120807XD如果供电量只有80万千瓦，供电量不够用的概率为PZ90/100PZ091209314某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命单位小时都服从同一指数分布，分布密度为概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第13页共78页601,XEFX试求在仪器使用的最初200小时以内，至少有一只电子元件损坏的概率解设X表示该型号电子元件的寿命，则X服从指数分布，设AX200，则PA1206031XEDE设Y三只电子元件在200小时内损坏的数量，则所求的概率为1003033111PYPYCPAEE15设X为正态随机变量，且XN2，又P20时，22211|YYYYXXFYFYFYEEE当Y0时，0YF因此有2,0,YEY22若随机变量X的密度函数为2X4046P1/71/73/72/7X2049P1/74/72/7概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第16页共78页23,01XF其他求Y的分布函数和密度函数1X解Y在0,1上严格单调，且反函数为HY,Y1,1YHY21Y224113|3YXXFFHYFYY因此有43,0YFOTHERY的分布函数为43311,10,YYYDYFOTHER23设随机变量X的密度函数为2,010XFX试求YLNX的密度函数解由于严格单调，其反函数为,LNYX,YYHEHE且则2|1,YYYXXYYYFFHHYFEY24设随机变量X服从N,分布，求Y的分布密度2XE概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第17页共78页解由于严格单调，其反函数为Y0,XYE1LN,HYY且则221LN1|L,02YXXYFFHFYEY当时0YF0Y因此221LN,0YEFY25假设随机变量X服从参数为2的指数分布，证明Y在区间0,1上服从均匀分布21XE解由于在0,上单调增函数，其反函数为21XYELN,0,HY并且，则当Y01Y12LN|21YXYFFHYE当Y0或Y1时，0YF因此Y在区间0,1上服从均匀分布26把一枚硬币连掷三次，以X表示在三次中正面出现的次数，Y表示三次中出现正面的次数与出现反面的次数之差的绝对值，试求（X，Y）的联合概率分布解根据题意可知,X,Y可能出现的情况有3次正面，2次正面1次反面,1次正面2次反面,3次反面,对应的X,Y的取值及概率分别为PX3,Y3PX2,Y1823138C概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第18页共78页PX1,Y1PX0,Y3311328C3128于是，（X，Y）的联合分布表如下XY0123103/83/8031/8001/827在10件产品中有2件一级品，7件二级品和1件次品，从10件产品中无放回抽取3件，用X表示其中一级品件数，Y表示其中二级品件数，求（1）X与Y的联合概率分布；（2）X、Y的边缘概率分布；（3）X与Y相互独立吗解根据题意，X只能取0，1，2，Y可取的值有0，1，2，3，由古典概型公式得1其中,27130,IJKIJCPPIYJ3,01,2IJKI,J,可以计算出联合分布表如下01KYX0123IP00021/12035/12056/1201014/12042/120056/12021/1207/120008/120JP1/12021/12063/12035/1202X,Y的边缘分布如上表3由于PX0,Y00,而PX0PY00,PX0,Y0PX0PY0,因此X,Y不相互独立概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第19页共78页28袋中有9张纸牌，其中两张“2”，三张“3”，四张“4”，任取一张，不放回，再任取一张，前后所取纸牌上的数分别为X和Y，求二维随机变量X,Y的联合分布律，以及概率PXY6解1X,Y可取的值都为2,3,4,则X,Y的联合概率分布为YX234IP29/1/36A129/A129/A2/931233346C1/34429/1249/629/1/4/9JP2/91/34/92PXY6PX3,Y4PX4,Y3PX4,Y41/61/61/61/229设二维连续型随机变量X,Y的联合分布函数为,ARCTNARCTN23XYFXYABC求（1）系数A、B及C；（2）X,Y的联合概率密度；（3）X，Y的边缘分布函数及边缘概率密度；（4）随机变量X与Y是否独立解1由X,Y的性质,FX,0,F,Y0,F,0,F,1,可以得到如下方程组概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第20页共78页ARCTN02TA312XABCYABC解得,22226,49FXYFXYXY3X与Y的边缘分布函数为211,ARCTNARCTN2XXX,ARCT232YYYFYYX与Y的边缘概率密度为24XFXX39YYFY4由2,3可知,所以X，Y相互独立,XYFFY30设二维随机变量X,Y的联合概率密度为XYE,0,XF其他（1）求分布函数FX,Y；（2）求X，Y落在由X0，Y0，XY1所围成的三角形区域G内的概率解1当X0,Y0时，0,1YXUVXYFEDE否则，FX,Y02由题意，所求的概率为概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第21页共78页110,2064GXYPXYFDEE31设随机变量（X，Y）的联合概率密度为3X4YAE,0XYFXY其他求（1）常数A；（2）X，Y的边缘概率密度；（3）0,PXY解1由联合概率密度的性质，可得340,1/12XYFXYDAEDA解得A122X,Y的边缘概率密度分别为343012,0,XYXXEDEFXFYDOTHR3440,XYYYFYFXTE301,2PXY2348ED32设随机变量（X，Y）的联合概率密度为2,01,2,30XYXYFXY其他求PXY1解由题意，所求的概率就是X,Y落入由直线X0,X1,Y0,Y2,XY1围的区域G中,则概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第22页共78页1203,45672GXPXYFYDD33设二维随机变量X,Y在图220所示的区域G上服从均匀分布，试求X,Y的联合概率密度及边缘概率密度解由于X,Y服从均匀分布，则G的面积A为,2112001,6XGAFXYDDYXDX,Y的联合概率密度为6,FXYOTHERX,Y的边缘概率密度为226,01,0,XXDYXFXFYOTHER,YYYFYFXT34设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在0,02上服从均匀分布，Y的概率密度是5,0YYEF求（1）X和Y和联合概率密度；（2）PYX解由于X在0,02上服从均匀分布，所以1/025XFX1由于X，Y相互独立，因此X,Y的联合密度函数为52,0,2,YXYEXFXYFOTHER2由题意，所求的概率是由直线X0,X02,Y0,YX所围的区域，YX002XY概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第23页共78页如右图所示，因此0250251,1XYGXPYXFYDEDE35设（X，Y）的联合概率密度为1,0,2,2XYFXY其他求X与Y中至少有一个小于的概率解所求的概率为051212,58PXYFXYD36设随机变量X与Y相互独立，且X113Y31PP25014求二维随机变量（X，Y）的联合分布律解由独立性，计算如下表XY113JP31/81/203/401/413/83/209/403/4IP1/21/56/2037设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第24页共78页X123Y11619182ABC（1）求常数A，B，C应满足的条件；（2）设随机变量X与Y相互独立，求常数A，B，C解由联合分布律的性质，有,即ABC11698ABC123又，X,Y相互独立，可得698从而可以得到2,39C38设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为232,0,11,XYYF其他，求边缘分布函数与，并判断随机变量X与Y是XY否相互独立解由题意,边缘分布函数22LIM,0,10,YXXFXX下面计算FYY概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第25页共78页2320,0,LIM,11,YXXYFYYY可以看出，FX,YFXXFYY,因此，X，Y相互独立39设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为132,1,0YEXFX其他，求边缘概率密度与，并判断随机变量X与Y是XFYFY否相互独立解先计算,当X1时,XF0XFX当1X0时,1210XFYDY再计算,当Y1时,YFYF概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第26页共78页当1Y0时,12010YFYXDYXY由于,所以随机变量X,Y,XFX不独立41设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为2,0,0XYEFY其他求随机变量ZX2Y的分布密度解先求Z的分布函数FZ22,DXYZFZPZFXYD当Z0,Y0,X2YZ求得220ZYYDED241ZZZE当Z0时，积分区域为DX,Y|X0,Y0,X2YZ，20ZYXYFDED412ZZE由此,随机变量Z的分布函数为1,02ZZEF因此,得Z的密度函数为1,02ZEF42设随机变量X和Y独立，X，Y服从B，BB0上的均匀分布，求2N随机变量ZXY的分布密度解解法一由题意，0ZXYZXYXYYX2YZX2YZZXYXY0ZXYDYYDY概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第27页共78页211ZYABXYFZFZYFDEDB令则/,ATT212ZBAZBAZBAE解法二2,112112XYZBFZFXZDX0时有非零值，仅当ZX0，即ZXXFXY时有非零值，所以当Z0时，有0ZX,因此11320ZZXXZFED1632ZZXE44设（X，Y）的联合分布律为X0123概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第28页共78页Y0000500801210010090120152002011013012求（1）ZXY的分布律；（2）UMAX（X，Y）的分布律；（3）VMIN（X，Y）的分布律解1XY的可能取值为0，1，2，3，4，5，且有PZ0PX0,Y00PZ1PX1,Y0PX0,Y1006PZ2PX2,Y0PX0,Y2PX1,Y1019PZ3PX3,Y0PX1,Y2PX2,Y1035PZ4PX2,Y2PX3,Y1028PZ5PX3,Y2012ZXY的分布如下Z012345P0006019035028012同理，UMAXX,Y的分布如下U0,1,2,3U0123P0015046039同理，VMINX,Y的分布分别如下V0,1,2V012P028047025概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第29页共78页第三章随机变量的数字特征1随机变量X的分布列为X10122P361614求EX，EX1，EX2解11113622430E112366243或者13EX222222351113664X2一批零件中有9件合格品与三件废品，安装机器时从这批零件中任取一件，如果取出的废品不再放回，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望解设取得合格品之前已经取出的废品数为X,X的取值为0,1,2,3,AK表示取出废品数为K的事件，则有13920,2360KKCPEXP3已知离散型随机变量X的可能取值为1、0、1，EX01，EX209，求PX1，PX0，PX1解根据题意得2222101019EXPPX可以解得PX104,PX105,概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第30页共78页PX01PX1PX110405014设随机变量X的密度函数为21,XF其他求EX解由题意,10123EXXFDXD5设随机变量X的密度函数为,0XEF求E2X，E2XE解02XEXFDED0|2|2XXE223001|XXXEFED6对球的直径作近似测量，其值均匀分布在区间A，B上，求球的体积的数学期望解由题意，球的直接DUA,B,球的体积V342D因此，3412BAXEVFXDDA420|2B7设随机变量X，Y的密度函数分别为概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第31页共78页2,0XXEF4,YYF求EXY，E2X3Y2解EXYE2400134XYXYFDFDEE222240033518XYXYEXYEFDFDEE8设随机函数X和Y相互独立，其密度函数为2,1XXF其他5,YYEF（）求EXY解由于XY相互独立,因此有概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第32页共78页12505553202516433XYYYYYEXYXFDFYXDEE9设随机函数X的密度为21,FXX求EX,DX解120XEXXFDD21122202111200010ARCSIN|42XFXDXDDXX22DXEX10设随机函数X服从瑞利RAYLEIGH分布,其密度函数为2,0XEFX其中0是常数，求EX，DX概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第33页共78页解2200XXEXXFDEDE2222/0XXUUXED222222320022200XXXXXXUUUEXFEDEEDDE222DXEX11抛掷12颗骰子，求出现的点数之和的数学期望与方差解掷1颗骰子，点数的期望和方差分别为EX123456/67/2EX2122232425262/691/6因此DXEX2EX235/12掷12颗骰子,每一颗骰子都是相互独立的,因此有EX1X2X1212EX42DX1X2X12DX1DX2DX1212DX3512将N只球（1N号）随机地放进N只盒子（1N号）中去，一只盒子装一只球，将一只球装入与球同号码的盒子中，称为一个配对，记X为配对的个数，求EX,DX解（1）直接求X的分布律有些困难，我们引进新的随机变量XK,则有,0K第只球装入第号盒子第只球没装入第号盒子，XK服01分布1NK概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第34页共78页因此110,KKPXPPXPNN11,1KKNNKKEDEN（2）服从01分布，则有KJX11,KJKJNNPXX1NKD1222,111KJKJNKJKJKKJKJNCOVEXEXNCN故，EXDX1我们知道，泊松分布具有期望与方差相等的性质，可以认定，X服从参数为1的泊松分布13在长为L的线段上任意选取两点，求两点间距离的数学期望及方差解设所取的两点为X,Y,则X,Y为独立同分布的随机变量,其密度函数为11,0,0,XYXXFFYLLOTHEROTHER2,0YYFXYFLTR依题意有,EXYXYFDXY220011LXLXYDLL概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第35页共78页2220011LLXXDD332206LLL622,EXYXYFDXY201LXYDL2232010LLYLXYDX23322106LLLXLXLDXYEXY2EXY2221698LL14设随机变量X服从均匀分布，其密度函数为12,2XFX其他,求E2X2，D2X2解12206EXXFDX1244420,8XFDEX22214845DEX15设随机变量X的方差为25，试利用切比雪夫不等式估计概率75PE概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第36页共78页的值解由切比雪夫不等式,取,得275,2754PXE16在每次试验中，事件A发生的概率为05，如果作100次独立试验，设事件A发生的次数为X，试利用切比雪夫不等式估计X在40到60之间取值的概率解由题意，XB100，05,则EXNP50,DXNPQ25根据切比雪夫不等式,有405PX21230417设连续型随机变量X的一切可能值在区间A，B内，其密度函数为，证明FX（1）AEXB；（2）DX2A4解1由题意，AXB,那么则,EXFDAXBFFD,ADFB由于1FX所以EX2解法一0XXAB因为A,B所以有即,20EX概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第37页共78页2EXABA又22DEX,0,2ABEXABAB平均值不等式变形时22BA24DX即解法二,由于222EXCXCE2D2,DX当时取最小值2222,4ABXEABE于是当时有18设二维随机变量（X，Y）的分布律为X01Y10102概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第38页共78页20204求EX，EY，DX，DY，COVX,Y，及协方差XY矩阵解由题设，0120347EX6YEXY0001010210031104042213042792DXEX263YYCOVX,YEXYEXEY040607002COV,/0210489XYD协方差矩阵为2112024C19设二维随机变量（X，Y）的分布律为X101Y1181818001181818试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的解由于概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第39页共78页1100,88,EXYCOV,EXYEXY111100008888因此,即X和Y是不相关的XY但由于,16PPY因此X,Y不是相互独立的20设二维随机变量（X，Y）的密度函数为1,2,8XYXYFY其他，求EX，EY，DX，DY，COVX,Y，及协方差XY矩阵解2011,84XFXFYDXYDX746XE又2220513XFYXY5736DE同理可得,YD201483EXXYFDXYDXCOV,EX47363,1XYDY协方差矩阵为2112/361/C概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第40页共78页21已知随机变量X,Y服从正态分布，且EXEY0，DX16，DY25，COVX,Y12，求X,Y的密度函数解由题意,COV,12305XYD则密度函数为221122112,XXYFXYE22531605XY22设随机变量X和Y相互独立，且EXEY0，DXDY1，试求EXY2解222EXYYE由于222D,DEY1因此有210223设随机变量X和Y的方差分别为25，36，相关系数为04，试求DXY，DXY解由题意，COV,04COV,045612XYYDDXY2COVX,YDXDY24253685因为COVX,YCOVX,Y12因此DXY2COVX,YDXDY2425363724设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布N0,2，令UAXBY，VAXBY，试求U和V的相关系数解由于X，Y相互独立，则都服从N0,2222DABDXBYAB概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第三章第41页共78页2222DVAXBYDBYAB4UAX22221COV,4VUBAB222C,ADU概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第四章第42页共78页42第四章大数定律与中心极限定理1设XI，I1，2，50是相互独立的随机变量，且它们都服从参数为002的泊松分布记XX1X2X50，试利用中心限定理计算PX2解由题意，EXIDXI，501IIX由中心极限定理随机变量近似2N服从标准正态分布所以有212110587PXPX2某计算机系统有100个终端，每个终端有2的时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试分别用二项分布、泊松分布、中心极限定理，计算至少一个终端被使用的概率解设X为被使用的终端数,由题意,XB100,0021用二项分布计算00101123260874PC2用泊松分布近似计算因为NP1000022,查表得0135308647101PX3中心极限定近似计算概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第四章第43页共78页43101120962437,20983856PXXNPNPQ3一个部件包括10个部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，服从同一分布，数学期望为2MM，均方差不005MM，规定部件总长度为2001MM时为合格品，求该部件为合格产品的概率解设XI表示一部分的长度,I1,2,10由于X1,X2,X10相互独立,且EXI2,DXI0052,根据独立同分布中心极限定理，随机变量近似地服从标准正态分布101220585KXXN于是192012058586332012714PX4计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近于它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在05,05上服从均匀分布1若将1500个数相加，试求误差总和的绝对值超过15的概率；概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第四章第44页共78页442多少个数相加可使误差总和绝对值小于10的概率为005的概率解设XI表示一个加数的误差，则XIU05,05,EXI0,DXI1/121根据独立同分布中心极限定理，随机变量1501501/218IIIIIIIXENX近似地服从标准正态分布于是551818PX34220919因此所求的概率为1P15099,查表得,即20981642查表得10查T分布表求下列各式中的值（1）8095P（2）T概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第五章第54页共78页54解151509,50,PTPTPT查表得202129TTT,576查表得11查F分布表求下列各式的值（1）0951,（2）解109505,/9,1/3021234F12已知XTN，求证X2F1,N证明因为XTN,由定义,存在相互独立的随机变量T与Y，使得,其中,又因/TYN20,1TNYNT与Y相互独立，故T2与Y相互独立，,则2122/1,/XFNN13设X1，X2，XN是来自分布的样本，求样本2均值的数学期望和方差解由于,K1,2,N,则K,2KKEXND111NNNKKKKE22KKKDXD20221KKKKKKXEEE概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第五章第55页共78页55221NKEXX221NKIJIJ221NKIJKIJEXX221NIJKIJE2NC21N或者222EXDEXN221NKS21NKK2KN21N14设X1，X2，XN为来自泊松分布的样本，S2分别为样本均值和样本方差，求E，D，XES2解由于,K1,2,N,则K,KKED111NNNKKKKEXX22KKKDD21NKS概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第五章第56页共78页56221NKKEX2KKKDNDXE221NN15设X1，X2，X3，X4为来自总体N0,1的样本，当A，B为何值时，2AB2XN且自由度N是多少解由于X1，X2，X3，X4相互独立，均服从N0,1正态分布，因此2120,0,5N34131则,，120,5X2211155X,34N223434002213421510X即22X因此，X服从分布，自由度N2,并且1,50AB16设在总体中抽取一容量为16的样本，这里均为未知，求2（1），其中S2为样本方差；2041SP（2）DS2解因221,1NXNN所以概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第五章第57页共78页57222160404161635SSPP2501P查表,得,因此2013782201565P所以20419SP222NSD4221N442N2221SES21N2217设X1，X2，X16是来自总体X的样本，和S2分别是样本均值和样本方差，求K使得095PK解因由定理14,即2,N1/TNS6/44095/16/16XXXKSPKPKS由于,因此，1TNT概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第五章第58页共78页58,41095/6XPKS查T分布表N15,005,可得，4K17531解得03818设X1，X2，XN是来自正态总体的样本，和S2分别是样本均值和样本方差，又设，21,NXN且与X1，X2，XN独立，试求统计量1S的抽样分布解因为,，2,1,KXNKN21,NXN21,NXN所以221110,0,NNN因而2NU又21SV因为U,V相互独立,所以11NNNXXSS21211NNSUTVN概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第六章第59页共78页59第六章参数估计与假设检验1使用一测量仪器对同一量进行12次独立测量，其结果为（单位毫米）232502324823215232532324523230232482320523245232602324723230试用矩法估计测量值的均值和方差（设仪器无系统误差）解12350482303967NIIX21NIISX2设样本值130617220311来自具有密度FX，0X的总体，试用矩法估计总体均值、总体方差以及参数解我们以作为总体均值的估计量，以1NIIXEX作为总体方差的估计量，则有221NIIB2D01EXFDX样本的一阶原点矩136720312NIIAX由矩法估计得12即,42概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第六章第60页共78页60另5222110476NIIIIBXX由矩法估计得20473随机地取用8只活塞环，测得它们的直径为（单位毫米）74001，74005，74003，74001，74000，73998，74006，74002试求总体均值及方差2的矩估计值，并求样本方差S2解我们以作为总体均值的估计量，以1NIIXEX作为总体方差的估计量，则有221NIIB2D7405031020627408X2222222222610B即2674,10XB22681857NSB4设样本X1，X2，XN来自指数分布1,0XAFXE求参数的矩估计量,A解总体X的一阶原点矩1,XAAEXFDXED000XATTTTTE总体X的二阶中心矩22BDEX概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第六章第61页共78页61221XAAED22A由矩法，应有221NIIXB解这个方程，得21NIIX221NIIAB5对容量为N的样本，求密度函数2,0AXAFX其他中参数A的矩估计值解总体X的一阶原点矩,203AAEXFDXDX由矩法，有1,3NIIAX解得6设XB1,P，X1，X2，XN是来自X的一个样本，试求参数P的最大似然估计量解设X1，X2，XN是取自总体X的样本，由XB1，P,X1，X2，XN是相应于样本X1，X2，XN的一个样本值，似然函数为111121,NNIIIINXXXXILXPPP,1L,LLNNII概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第六章第62页共78页62,11LNNIIXXDLPP令则有011,NNIIXX解得P的最大似然估计值为1NIX因此,相应的最大似然估计量为PX7设总体X服从几何分布，它的分布律为1,2,KPKPX1，X2，XN为X的一个样本，求参数P的矩估计量和最大似然估计量解1总体X的一阶原点