全国初中数学联赛试题详解

全国初中数学联赛试题详解前言1981年，中国数学会开始举办“高中数学联赛”，经过1981、1982、1983三年的实践，这一群众性的数学竞赛活动得到了全国广大中学师生欢迎，也得到了教育行政部门、各级科学技术协会、以及社会各阶层人士的肯定和支持。“试题所涉及的知识范围不超出现行教学大纲”这一命题原则，也得到了更多的理解和拥护，由此“高中数学联赛”已形成制度。同时，全国各地都提出了举行“初中数学联赛”的要求。1984年，中国数学学会普及工作委员会商定，委托天津市数学会举办一次初中数学邀请赛，有14个省、市、自治区参加，当时条件较简陋，准备时间也较仓促，但天津数学会的同志，在南开大学数学系和天津师范大学数学系的大力支持下，极其认真负责地把这次活动搞得很成功，为后来举办“初中数学联赛”摸索了很多经验。当年11月，在宁波召开的中国数学会第三次普及工作会议时，一致通过了举办“初中数学联赛”的决定，并详细商定了一些具体办法，规定每年四月的第一个星期天举行“初中数学联赛”。会上湖北省数学会、山西省数学会、黑龙江省数学会分别主动承担了1985年、1986年、1987年的“初中数学联赛”主办工作，从此，“初中数学联赛”也形成了制度。初中数学联赛原来不分一试、二试。为了更好地贯彻“在普及的基础上不断提高”的方针，1989年7月，在济南召开的“数学竞赛命题研讨会”上，各地的代表商定，初中联赛也分两试进行，并对一落千丈、二试各种题型的数目，以及评分标准作出明确的规定，使初中联赛的试卷走向规范化。中国数学会所举办的全国高中数学联赛、全国初中数学联赛，以及小学数学奥林匹克，都是群众性的数学课外活动，是大众化、普及型的数学竞赛。高中联赛与全国中学生数学冬令营业员衔接，有“选拔”的作用，但初中联赛没有类似的作用，因此，更具有“面向大多数”的特点。目前，每年有12万名学生参加。为了让更多学生都能发挥他们的聪明才智，培养兴趣，充分发掘他们学习上的潜力，调动学习数学的积极性，我们力求让试题能够适合全国多数参赛学生。从1991年起，我们力求降低试题的难度。题目不难，又要有点意思，还要有竞赛气氛，要做到是不容易的。1993年，由内蒙古数学会主办初中联赛，内蒙古数学会主要负责人都参加了命题工作，对试题反复进行修改，在试题的通俗化上下了很大功夫，因此，试题很受称赞。所谓“联赛”，就是各省、市、自治区联合举办，轮流做庄，大家提供试题，“联赛”充满着协作精神。从1984年至1993年这十年的试题，凝聚着全国许许多多数学工作者的心血，特别是主办单位更是认真负责，不辞辛劳，借此机会，我代表中国数学会普及工作委员会向所有为“初中数学联赛”作出努力和给予支持的同志表示崇高敬礼。在每届主办省、市、自治区数学会精心作出的试题解答的基础上，由中国数学会普及工作委员会两位副主任；刘玉翘先生、魏有先生执笔完成了这本试题集。这是中国数学会首次公开初中联赛的试题和解答。缺点和错误恐怕难免，请广大读者不吝指教裘宗沪1993年12月修订说明由中国数学会普及工作委员会组织一批中国数学奥林匹克高级教练员编写的全国初中数学联赛试题详解，自1994年问世至今，经全国各地许多奥校以及各级各类学校的广大数学爱好者使用以后，无论在内容形式上和装帧设计上均给予好评。不少读者指名要购买此书。为了提高本书的质量，不辜负广大读者的厚爱，应广大读者要求，我们对全国初中数学联赛试题详解中存在的不足进行了技术上的修订。第一次修订我们除对书中存在的问题进行了纠正和调整，更主要的是对1994年以后的试题进行了增补，还对开本和版式做了更改和变动，并把书名更改为历届全国初中数学联赛试题详解。这次修订，则是在第一次修订的基础上增补了近两年的竞赛试题，书名更改为最新全国初中数学联赛试题详解，以满足广大数学爱好者的需要。真诚地希望广大读者继续关心和使用本书，并对书中的不足批评指正，使之不断完善。目录试题部分一九八四年一九八五年一九八六年一九八七年一九八八年一九八九年一九九O年一九九一年一九九二年一九九三年一九九四年一九九五年一九九六年一九九七年一九九八年一九九九年二OOO年解答部分一九八四年一九八五年一九八六年一九八七年一九八八年一九八九年一九九O年一九九一年一九九二年一九九三年一九九四年一九九五年一九九六年一九九七年一九九八年一九九九年二OOO年附录1中国数学会普及工作委员会简介附录2初中数学竞赛大纲（修订稿）试题部分一九八四年一、选择题1若|A|A，则（A）A0；（B）A0；（C）A1；（D）1A0；（E）以上结论都不对。答（）2以线段A16，B13，C10，D6为边，且使AC作四边形，这样的四边形（A）能作一个；（B）能作二个；（C）能作三个；（D）能作无数多个；（E）不能作。答（）3周长相同的正三角形、正方形、正六边形的面积分别是S3，S4，S6，则（A）S3S4S6（B）S6S4S3（C）S6S3S4（D）S3S6S4（E）S4S6S3答（）4如图，直线L1和L2上点的坐标（X，Y）满足关系式（A）|X|Y|0；（B）|X|1；（C）X2|Y|1；（D）|X|Y|0；（E）X|Y|02L1YL24545OX5方程X21984513X31548910（A）没有实数根；（B）有整数根；（C）有正数根；（D）两根的倒数和小于1；（E）以上结论都不对。答（）6ABC的三条外角平分线相交成一个LMN，则LMN（A）一定是直角三角形；（B）一定是钝角三角形；（C）一定是锐角三角形；（D）不一定是锐角三角形；（E）一定不是锐角三角形。答（）7已知方程2X2KX2K10的两实根的平方和为29/4，则K的值为（A）3；（B）11；（C）3或11；（D）11；（E）以上结论都不对。答（）8一个两位数，交换它的十位数字与个位数字所得的两位数是原来数的7/4倍，则这样的两位数有（A）1个；（B）2个；（C）4个；（D）无数多个；（E）0个。答（）9半径为13和半径为5的两个圆相交，圆心距为12，则这两圆公共弦长为（A）3；（B）65/6；（C）4；（D）10；（E）以上结论都不对。6答（）10下列哪一个数一定不是某个自然数的平方（其中N为自然数）（A）3N23N3；（B）4N24N4；（C）5N25N5；（D）7N27N7；（E）11N211N11。答（）二、试推导出一元二次方程AX2BXC0（A0）的求根公式。三、已知A6LGPLGQ，其中P、Q为质数，且满足QP29。求证3A4。四、已知如图，ABBCCAAD，AHCD于H，CPBC交AH于P。求证ABC的面积SAPBD。A43PDHBC五、在锐角ABC中，AC1，ABC，ABC的外接圆半径长R1。求证COSACCOSASINA。3六、有两种重量（设分别为P与Q，且PQ）的球五个，涂红、白、黑三种颜色，其中，两个红球重量不同；两个白球重量也不同；一个黑球不知它的重量是P还是Q。由于从外形上不能确定球的轻重，请你用一台无砝码的天平（只能比较轻重，不能称出具体重量）称两次，将5个球的轻重都区分出来。试叙述你的称球办法，并说明理由。提示用天平称球比较重量的结果，可用等号或不等号表示。一九八五年一、选择题1设ABCD为圆内接四边形，现在给出四个关系式（1）SINASINC（2）SINASINC0（3）COSBCOSD0（4）COSBCOSD。其中总能成立的关系式的个数是（A）一个；（B）两个；（C）三个；（D）四个。答（）2若N是大于1的整数，则PN的值2N（A）一定是偶数；（B）一定是奇数；（C）是偶数但不是2；（D）可以是偶数也可以是奇数。答（）3在平行四边形ABCD中，P为BC的中点，过P作BD的平行线交CD于Q，连PA、PD、QA、QB，则图中与ABP面积相等的三角形，除ABP外还有ADQBPC（A）三个；（B）四个；（C）五个；（D）六个。答（）4函数Y1|XX2|的图像大致形状是YYOXOX图1图2YYOXOX图3图4（A）图1中的实线部分；（B）图2中的实线部分；（C）图3中的实线部分；（D）图4中的实线部分。答（）5X表示取数X的整数部分，例如15/43等，若，且当44UYX1，8，11，14时，Y1；X2，5，12，15时，Y2；X3，6，9，16时，Y3；X4，7，10，13时，Y0。则表达式中的U等于（A）；（B）；（C）；（D）。42X41XX41答（）6如图，在等腰ABC中，CD是底边AB上的高，E是腰BC的中点，AE交CD于F，现在给出三条路线C（A）AFCEBDA；（B）ACEBDFA；（C）ADBEFCA。EFADB设它们的长度分别为L（A），L（B），L（C），那么下列三种关系式L（A）L（B）L（C）中，一定能够成立的个数是（A）0个；（B）1个；（C）2个；（D）3个。答（）二、填空题1设AB2，BC2，则A2B2C2ABBCCA的值为（）。32设方程X2402XK0的一根加3，即为另一根的80倍。那么K（）。3有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需315元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需420元。现在购甲、乙、丙各1件共需（）元。4不等式42X2AXA2的解为（）。5已知X（X0，1）和1两个数，如果只许用加法、减法，1作被除数的除法三种运算（可以使用括号），经过六步算出X2，那么计算的表达式是（）。6在正实数集上定义一个运算，其规则为当AB时，ABBA；当AB时，ABB2。根据这个原则，方程3X27的解是（）。三、如图，O为凸五边形ABCDE内一点，且12，34，56，78。求证9与10相等或互补。A981E6O103B72D45C四、如图O1、O2外切于A，半径分别为R1和R2；PB、PC分别为两圆的切线，B、C为切点；PBPCR1R2；又PA交O2于E点。求证PABPEC。BPO1EAO2C五、有一长、宽、高分别为正整数M、N、R（MNR）的长方体，表面涂上红色后切成棱长为1的正方体，已知不带红色的正方体个数与两面带红色的正方体个数之和，减去一面带红的正方体个数得1985。求M、N、R的值。一九八六年一、选择题1已知LOGXAA（A为大于1的正整数），则X的值为（A）10ALGA；（B）；（C）；（D）。2LG0AALG0A1LG0答（）2如果AB，那么等于3BX（A）XA；（B）XA；XBXA（C）XA；（D）XA。答（）3若关于|X|的方程|X2|1|A有三个整数解，则A的值是（A）0；（B）1；（C）2；（D）3。答（）4记号X表示不超过X的最大整数（例如2）。设N是自然数，且5IN12N2，那么12N（A）I0（B）I0（C）I0（D）当N取不同的值时，以上三种情况都可能出现。答（）5四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA之长分别是1，9，8，6（如图），对于以下命题A四边形ABCD外切于圆；DB四边形ABCD不内接于圆；6C对角线不互相垂直；A8DADC90；1OEBCD是等腰三角形。B9C正确的认识是（A）A真、B假、D真；（B）C真、D假、E真；（C）C真、D假、E假；（D）B假、C假、D真。答（）6如图，等腰梯形ABCD的对角线相交于点O，OBC、OCD、ODA及梯形ABCD的面积分别为S1、S2、S3、S，对于以下三个结论ADA已知S1S，就可以求出ADBC；S3B已知（S1S2）S，就可以求出ADBC；S2S2C已知S2S，就可以求出ADBC。O正确的认识是S1（A）只有A是正确的；（B）只有B是正确的；BC（C）只有A、B是正确的；（D）A、B、C都是正确的。答（）二、填空题1如果方程X2PXQ0的一根为另一根的2倍，那么P、Q所满足的关系式是（）。2如图，在直角ABC中，ACBC，DEF的圆心为A，如果图中两个阴影部分的面积相等，那么ADDB（）。3将自然数N接写在每一个自然数的右面（例如，将2接写在35的右面得352），如果得到的新数都能被N整除，那么N称为魔术数，在小于130的自然数中，魔术数的个数为（）。4设A，B，C，D都是整数，且MA2B2，NC2D2，则MN也可表示成两个整数的平方和，其形式是MN（）。BCDEF5若X，则分式（）。3819158236234XX6已知抛物线YX22X8与X轴交于B、C两点，点D平分BC，若在X轴上侧的A点，为抛物线上的动点，且BAC为锐角，则AD的取值范围是（）。三、设P、Q为线段BC上两定点，且BPCQ，A为BC外一动点（如图），当点A运动到使BAPCAQ时，ABC是什么三角形试证明你的结论。AAABPQC四、设A，B，C是三个互不相等的正整数，求证在A3BAB3，B3CBC3，C3ACA3三个数中，至少有一个数能被10整除。一九八七年第一试一、选择题1已知实数A，B，C满足ABC0，ABC8，那么的值CBA1（A）是正数；（B）是零；（C）是负数；（D）正、负不能确定。答（）2在一条直线上已知四个不同的点依次是A，B，C，D，那么到A，B，C，D的距离之和最小的点（A）可以是直线AD上的某一点；（B）只是B点或C点；（C）只是线段AD的中点；（D）有无穷多个。答（）3如图，AB是半圆的直径，O是圆心，CDAB，DEOC。如果AD，BD和CDC的长都是有理数，那么命题甲OE的长是有理数。乙DE的长是有理数。E丙图中所有字母表示的线段的长都是有理数。ADOB（A）只有甲正确；（B）只有乙正确；（C）只有甲、乙正确；（D）甲、乙、丙都正确。答（）4已知方程|X|AX1有一个负根而且没有正根，那么A的取值范围是（A）A1；（B）A1；（C）A1；（D）非上述答案。答（）5已知四边形ABCD内有一点E，连接AE，BE，CE，DE，将四边形ABCD分成四个面积相等的三角形，那么命题甲ABCD是凸四边形；乙E是对角线AC的中点或对角线BD的中点；丙ABCD是平行四边形。在以上三条中（A）只有甲正确；（B）只有乙正确；（C）甲、乙、丙都正确；（D）甲、乙、丙都不正确。答（）6把由1开始自然数依次写下去，直写到第198位为止123456789101112198位那么这个数用9除的余数是（A）4；（B）6；（C）7；（D）非上述答案。答（）二、填空题1在三边长是连续自然数，周长不超过100的三角形中，锐角三角形的个数是（）。2设A、B、C分别是ABC的三个角A，B。C所对边的长，而且A60，那么的值是（）。3A表示不大于数A的最大整数，例如1，2。那么方程3X12X的所221有根的和是（）。4设自然数N有下面性质从1，2，N中任取50个不同的数，这50个数中必有两个数之差等于7，这样的N最大的一个是（）。5有一个五位正奇数X，将X中的所有2都换成5，所有5都换成2，其他数字不变，得到一个新的五位数，记作Y，若X和Y满足等于Y2（X1），那么X是（）。第二试一、当A，B为何值时，方程X221AX3A24AB4B220有实根二、已知D是ABC的边AC上的一点，ADCD21，C45，ADB60。求证AB是BCD的外接圆的切线。三、已知存在正整数N，能使数1111被1987整除。求证数N个P1111999988887777N个N个N个N个和Q1111999988887777N1个N1个N1个N1个都能被1987整除。一九八八年第一试一、选择题1下面四个数中最大的是（A）TG48CTG48（B）SIN48COS48（C）TG48COS48（D）CTG48SIN48答（）2在实数范围内，设X。则X的个位数字是19851|2|AAA（A）1（B）2（C）4（D）6答（）3如图，在直角梯形ABCD中，AB7，AD2，BC3，如果边A耻的AD点P使得以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，那么这样的点P有（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个BC答（）4下面有四个命题（1）一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边行；（2）一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；（3）一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；（4）一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形。其中，正确的命题的个数是（A）（1）；（B）（2）；（C）（3）；（D）（4）。答（）二、填空题1如果质数P、Q满足关系式3P5Q31，那么，的值是（）。13LOG2QP2如图，ABC的边AB2，AC3，I、II、III分别表示以AB、BC、CA为边的正方形，则图中三个阴影部分面积的和的最大值是（）。B2C3A3如果自然数X1，X2，X3，X4，X5满足X1X2X3X4X5X1X2X3X4X5。那么X5的最大值是（）。A4如图，A、B、C、D四点在同一圆周上，且BCCD4，AE6，线段BE和DE的长都是正整数，则BD的长等于（）。BED第二试C一、一串数1，4，7，10，697，700的规律是第一个数是1，以后的每一个数等于它前面的一个数加3，直到700为止，将所有这些数相乘，试求所得数的尾部零的个数，（例如12003000尾部零的个数是3）。二、如果P，Q，都是整数，并且P1，Q1，试求PQ的值。2PQ1三、如图，PQR和PQR是两个全等的等边三角形，六边形ABCDEF的边长分别记为ABA1，BCB1，CDA2，DEB2，EFA3，FAB3。求证。32321BAPQBAB1A1PCB3FA2B2A3QDERR一九八九年第一试一、选择题1已知最简根式A是同类根式，则满足条件的A，B的值BA72与（A）不存在；（B）有一组；（C）有两组；（D）多于两组。答（）2如果关于X的方程MX22M2XM50，没有实数根，那么关于X的方程M5X22M2XM0的实根个数为Y（A）2；（B）1；（C）0；（D）不确定。答（）3已知二次函数YAX2BXC的图像1如图所示，则下列6个代数式AB，AC，ABC，ABC，2AB，2AB中，OX其值为正的式子个数为（A）2个；（B）3个；（C）4个；（D）4个以上。答（）4在三角形内（不在边上）有3个点，连同原三角形的3个顶点，共有6个点，以这六个点为顶点作出所有不重叠的三角形，如果这6个点中无三点共线，所有三角形的个数为N2，那么（A）N0N1N2；（B）N0N1N2；（C）N0N1N2；（D）N0N1N2。答（）5水池装有编号为A，B，C，D，E的5条水管，其中有些是进水管，有些是出水管，如果同时开放两条水管，注满水池的时间如下表开放水管号A、BB、CC、DD、EE、A注满水池的时间（小时）2156310那么单开一条水管，最快注满水池的水管编号为（A）A；（B）B；（C）D；（D）C或E。答（）二、填空题1如图，四边形ABCD中，DFC点E，F分别在BC，CD上，若ADF的E2,BC面积为M，四边形AECF的面积AB为N（NM），则四边形ABCD面积为（）。2在十进位中，各位数码是0或1，并且能被225整除的最小自然数是（）。3已知X、Y都是大于10的实数，LGX的首数是A，尾数是B；LGY的首数是C，尾数是D，且|1A|，BD1，则XY（）。14C4已知三角形的外接圆半径为4CM，一个内角为60，夹这个角的两边之差为4CM，那么，这个三角形的面积为（）CM。5如图，正方形ABCD的中心为O，面积为DC1989CM2，P为正方形内一点，且OPB45，PAPB514，则PB（）CM。OP第二试AB一、如图，ABC中，D，E分别是边BC，AB上的点，且123，如果ABC，EBD，ADC的周长依次为M，M1，M2，AE2证明。134521M二、首项系数不相等的两个二次方程BDC（A1）X2（A22）X（A22A）0及（B1）X2（B22）X（B22A）0（其中A，B为正整数）有一个公共根。求的值。三、设A1，A2，A3，A4，A5，A6是平面上的六点，其中任三点不共线。（1）如果这些点之间任意连接13条线段，证明必存在4点，它们每两点之间都有线段连接。（2）如果这些点之间只连有12条线段，请你画出一个图形，证明（1）的结论不成立（不必用文字说明）。一九九O年第一试一、选择题1的值是31234（A）1；（B）1；（C）2；（D）2。答（）2在ABC中，AD是高，且AD2BDCD，那么BAC的度数是（A）小于90；（B）等于90；（C）大于90；（D）不确定。答（）3方程7X2K13XK2K20K是实数有两个实根、，且01，12，那么K的取值范围是（A）3K4；（B）2K1；（C）3K4或2K1；（D）无解。答（）4恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个相同整数是（A）17；（B）18；（C）35；（D）36。答（）5ABC中，AB2，AC，BC2，设P为BC边上任一点，则2（A）PA2PBPC；（B）PA2PBPC；（C）PA2PBPC；（D）PA2与PBPC的大小关系并不确定。答（）6若六边形的周长等于20，各边长都是整数，且以它的任意三条边为边都不能构成三角形，那么，这样的六边形（A）不存在；（B）只有一个；（C）有有限个，但不只一个；（D）有无穷多个。答（）7若LOGAB的尾数是零，且LOGALOGALOGBA2，那么下列四个结论B1（1）A2；（2）LOGABLOGBA0；（3）0AB1；（4）AB10。中，正确的结论的个数是（A）1；（B）2；（C）3；（D）4。答（）8如图，点P，Q，R分别在ABC的边AAB、BC、CA上，且BPPQQRRC1，那么，ABC面积的最大值是PR（A）；（B）2；（C）；（D）3。35BQC答（）二、填空题1已知（）。XX1,8221则212，22，32，1234567892的和的个位数的数字是（）。3方程（XA）（X8）10，有两个整数根，则A（）。4ABC中，ABAC2，BC边有100个不同的点P1，P2，P100，记MIAPI2BPIPIC（I1，2，100），则M1M2M100（）。第二试一、已知在凸五边形ABCDE中，BAE3，BCCDDE，且BCDCDE1802，求证BACCADDAE。ABECD二、X表示不超过实数X的最大整数，令XXX。（1）找出一个实数X，满足X1；1（2）证明满足上述等式的X，都不是有理数。三、设有2N2N的正方形方格棋盘，在其中任意的3N个方格中各有一枚棋子。求证可以选出N行和N列，使得3N枚棋子都在这N行和N列中。一九九一年第一试一、选择题1设等式在实数范围内成立，其中A，X，YYAXAYXA是两两不同的实数，则的值是223（A）3；（B）1/3；（C）2；（D）5/3。答（）D2如图，ABEFCD，已知AB20，ACD80，BC100。那么EF的值是E（A）10；（B）12；（C）16；（D）18。BFC答（）3方程X2|X|10的解是（A）；（B）；（C）或；（D）。51251251251答（）4已知X（N是自然数），那么，（X）N的值是19N21X（A）19911；（B）19911；（C）（1）N1991；（D）（1）N19911。答（）5若1239910012NM，其中M为自然数，N为使得等式成立的最大的自然数，则M（A）能被2整除，但不能被3整除；（B）能被3整除，但不能被2整除；（C）能被4整除，但不能被3整除；（D）不能被3整除，也不能被2整除。答（）6若A，C，D是整数，B是正整数，且满足ABC，BCD，CDA，那么ABCD的最大值是（A）1；（B）5；（C）0；（D）1。答（）A7如图，正方形OPQR内接于ABC，已知AOR、BOP和CPQ的面OS11R积分别是S11，S23和S31，那么，正方形OPQR的边长是S23S31（A）（B）（C）2（D）3BPQC答（）8在锐角ABC中，AC1，ABC，A60，ABC的外接圆半径R1，则（A）C2（B）0C（C）C2（D）C2。11答（）二、填空题1E是平行四边形ABCD中BC边的中点，AE交对角线BD于G，如果BEG的面积是1，则平行四边形ABCD的面积是（）。2已知关于X的一元二次方程AX2BXC0没有实数解。甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为1和4，那么，（）。ACB3DCGEAB3设M，N，P，Q为非负整数，且对一切X0，恒成立，QPNMX11则（M22NP）2Q（）。4四边形ABCD中，ABC135，BCD120，AB，BC5，CD6，则63AD（）。CB120135AD第二试一、实数X与Y，使得XY，XY，XY，X/Y四个数中的三个有相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（X，Y）。二、ABC中，ABACBC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BDBEAC，BDE的外接圆与ABC的外接圆交于F点（如图）。求证BFAFCF三、将正方形ABCD分割为N2个相等的小方格（N是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色，证明恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数。一九九二年第一试一、选择题1满足|AB|AB1的非负整数对（A，B）的个数是（A）1；（B）2；（C）3；（D）4。答（）2若X0是一元二次方程AX2BXC0（A0）的根，则判别式B24AC与平方式M（2AX0B）2的关系是（A）M（B）M（C）M（D）不确定。答（）3若X213X10，则X4X4的个位数字是（A）1；（B）3；（C）5；（D）7。答（）4在半径为1的圆中有一内接多边形，若它的边长皆大于1且小于，则这个多边形的2边数必为（A）7；（B）6；（C）5；（D）4。答（）5如图，正比例函数YX和YAXY（A0）的图像与反比例函数YAXK（K0）的图像分别相交于A点和CC点。若RTAOB和RTCOD的面积分别为S1和S2，则S1与S2的关系是OBDX（A）S1S2（B）S1S2（C）S1S2（D）不确定。答（）6在一个由88个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为S1，把圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和记为S2，则的整数部分是1（A）0；（B）1；（C）2；（D）3。F答（）7如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，A60，DC又E是底边AB上一点，且FEFBAC，FAAB。则AEEB等于（A）12；（B）13；（C）25；（D）310。AEB答（）8设X1，X2，X3，X9均为正整数，且X1X2X9，X1X2X9220，则当X1X2X3X4X5的值最大时，X9X1的最小值是（A）8；（B）9；（C）10；（D）11。答（）二、填空题1若一等腰三角形的底边上的高等于18CM，腰上的中线等于15CM，则这个等腰三角形的面积等于（）。2若X0，则的最大值是（）。X442113在ABC中，C90，A和B的平分线相交于P点，又PEAB于E点，若BC2，AC3。则AEEB（）。4若A，B都是正实数，且（）。3,01BABA则第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程X26XA0的两根，当这样的三角形只有一个时，求A的取值范围。二、如图，在ABC中，ABAC，D是底边BC上一点，E是线段AD上一点，且BED2CEDA。求证BD2CD。AEBDC三、某个信封上的两个邮政编码M和N均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下A320651，B105263；C612305；D316250。已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同，D恰有三个数字的位置与M和N相同。试求M和N。一九九三年第一试一、选择题1多项式X12X61除以X21的余式是（A）1；（B）1；（C）X1；（D）X1。答（）2对于命题I内角相等的圆内接五边形是正五边形。II内角相等的圆内接四边形是正四边形，以下四个结论中正确的是（A）I，II都对；（B）I对，II错；（C）I错，II对；（D）I，II都错。答（）3设X是实数，Y|X1|X1|，下列四个结论IY没有最小值；II只有一个X使Y取到最小值；III有有限多个X（不止一个）使Y取到最大值；IV有无穷多个X使Y取到最小值。其中正确的是（A）I；（B）II；（C）III；（D）IV。答（）4实数X1，X2，X3，X4，X5满足方程组X1X2X3A1；X2X3X4A2；X3X4X5A3；X4X5X1A4；X5X1X2A5。其中A1，A2，A3，A4，A5是实常数，且A1A2A3A4A5，则X1，X2，X3，X4，X5的大小顺序是（A）X1X2X3X4X5（B）X4X2X1X3X5（C）X3X1X4X2X5（D）X5X3X1X4X2答（）5不等式X1（X1）23X7的整数解的个数（A）等于4；（B）小于4；（C）大于5；（D）等于5。O答（）6如图，在ABC中，A是钝角，O是垂心，AOBC。则COS（OBCEOCB）的值是AF（A）（B）（C）（D）。BDC2231答（）7如图，锐角三角形ABC的三边是BA，B，C，它的外心到三边的距离分别为M，N，P，那么MNP等于MP（A）（B）ABCON1（C）COSACOSBCOSC（D）SINA；SINBSINC。CA答（）8可以化简成133924（A）（B）（C）（D）23123123答（）二、填空题1当X变化时，分式的最小值是（）。125632X2放有小球的1993个盒子从左到右排成一行，如果最左面的盒里有7个小球，且每四个相邻的盒里共有30个小球，那么最右面的盒里有（）个小球。3若方程（X21）（X24）K有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则K（）。4如图，锐有三角形ABC中，A30，A以BC边为直径作圆，与AB、AC分别交于D、E，连接DE，把三角形ABC分成三角形ADE与四边形BDEC，设它们的面积分D别为S1，S2，则S1S2（）。EBC第二试一、如图，设H是等腰三角形ABC垂心，在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边BC的距离变小，这时乘积SABCSHBC的值变小，变大，还是不变证明你的结论。AHBC二、如图，在ABC中，BC5，AC12，AB13，在边AB，AC上分别取点D，E，使线段DE将ABC分成面积相等的两部分，试求这样的线段DE的最小长度。BDCEA三、已知方程X2BXC0及X2CXB0分别各有两个整数根X1，X2及，X1，X2，且X1X20，X1X20。（1）求证X10，X20，X10，X20；（2）求证B1CB1；（3）求B，C所有可能的值。一九九四年第一试一、选择题1若0A1，则可化简为AA1212（A）（B）（C）1A2（D）A21答（）2设A，B，C是不全相等的任意实数。若XA2BC，YB2CA，ZC2AB，则X，Y，Z（A）都不小于0；（B）都不大于0；（C）至少有一个小于0；（D）至少有一个大于0。答（）3如图，半圆O的直径在梯形DCABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切。若BC2，DA3，则AB的长AOB（A）等于4；（B）等于5；（C）等于6；（D）不能确定。答（）4当X时，多项式（4X31997X1994）2001的值为219（A）1；（B）1；（C）22001；（D）22001。AC答（）5若平行直线EF，MN与相交直线EFAB，CD相交成如图所示的图形，则共得同旁内角多少对。（A）4；（B）8；（C）12；（D）16。MN答（）DB6若方程X有两个不相等的实根，则实数P的取值范围是PX（A）P0；（B）P1/4；（C）0P1/4；（D）P1/4。答（）7设锐角ABC的三条高AD，BE，CF相交于H，若BCA，ACB，ABC，则AHADBHBECHCF的值是（A）1/2（ABBCCA）；（B）1/2（A2B2C2）；（C）2/3（ABBCCA）；（D）2/3（A2B2C2）。答（）8若AXBY1994Z（其中A，B是自然数），且有，则2AB的一切可能的取值是ZYX1（A）1001；（B）1001，3989；（C）1001，1996；（D）1001，1996，3989。答（）二、填空题1若在关于X的恒等式为最简分式，且有2,22XNMBXCAXNM中AB，ABC，则N（）。2当|X1|6时，函数YX|X|2X1的最大值是（）。3在ABC中，设AD是高，BE是角平分线，若BC6，CA7，AB8，则DE（）。4把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两相切，若要用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于（）。第二试一、如图所示，在ABC中，ABAC，任意延长CA到P，再延长AB到Q，使APBQ。求证ABC的外心O与A，P，Q四点共圆。PABCQ二、周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个三、某次数学竞赛共有15个题，下表是对于做对N（N0，1，2，15）个题人数的一个统计，如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题，做对10个题和10个题以下的学生每人平均做对4个题，问这个表至少统计了多少人N012312131415做对N个题的人数78102115631一九九五年第一试一、选择题1已知A355，B444，C533，则有（A）ABC（B）CBA（C）CAB（D）ACB答（）2方程组的正整数解的组数是23,6YZX（A）1（B）2（C）3（D）4答（）3如果方程（X1）（X22XM）0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数M的取值范围是（A）0M1（B）M3/4（C）3/4M1（D）3/4M1答（）4如果边长顺次为25，39，52和60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为（A）62（B）63（C）64（D）65答（）5AB是圆O的一条弦，CD是圆O的直径，且与弦AB相交，记M|SCABSDAB|2SOAB，则（A）MN（B）MN（C）MN（D）M，N的大小关系不确定。答（）6设实数A，B满足不等式|A|（AB）|A|AB|，则（A）A0且B0（B）A0且B0（C）A0且B0（D）A0且B0答（）二、填空题1在12，22，32，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有（）个。2已知A是方程X2X1/40的根，则的值等于（）。23451AA3设X为正实数，则函数YX2X1/X的最小值是（）。4以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且OC2ACBC，则CAB（）。第二试一、已知ACECDE90，点B在CE上，CACBCD，过A，C，D三点的圆交AB于F（如图）。求证F为CDE的内心。ADFCBE二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点。试在二次函数59102XY的图像上找出满足Y|X|的所有整点（X，Y），并说明理由。三、试证每个大于6的自然数N都可表示为两个大于1且互质的自然数之和。一九九六年第一试一、选择题1实数A，B满足AB1，记M，N。则M，N的关系为BA1BA1（A）MN（B）MN（C）MN（D）不确定。答（）2设正整数A，M，N满足。则这样的A，M，N的取值NMA24（A）有一组（B）有两组（C）多于二组（D）不存在。答（）3如图，A是半径为1的O外一点，OA2，AB是O的切线，B是切点，弦BCOA，连结AC。则阴影部分的面积等于（A）（B）（C）（D）92683834答（）4设X1，X2是二次方程X2X30的两个根，那么，的值等于194231X（A）4（B）8（C）6（D）0答（）5如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心答（）6如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形有多少个。（A）4（B）8（C）12（D）24答（）二、填空题1已知实数X0，Y0是方程组的解，则X0Y0（）。1|XYAN2如图，在ABC中，ABAC，ABNMBC，BMNM，BNA，则点N到边BC的距离等于（）。M3设1995X31996Y31997Z3，XYZ0，BC且（）。ZYXZYX1,19761957196533222则4如图，将边长为1的正方形CBABCD绕A点按逆时针方向旋转60至ABCD的位置。B则这两个正方形重叠部分的面60积是（）。DACD第二试一、某校在向“希望工程”损款活动中，甲班的M个男生和11个女生的损款总数与乙班的9个男生和N个女生的损款总数相等，都是（MN9M11N145）元。已知每人的损款数相同，且都是整数元。求每人的损款数。二、设凸四边形ABCD的对角线AC，BD的交点为M，过点M作AD的平行DOP线分别交AB，CD于点E，F，交BCFC的延长线于点O，P是以O为圆心，MOM为半径的圆上一点（如图）。求证OPEOEP。AEB三、已知A，B，C是正整数，且抛物线YAX2BXC与X轴有两个不同的交点A，B。若A，B到原点的距离都小于1，求ABC的最小值。一九九七年第一试一、选择题1下述四个命题（1）一个数的倒数等于自身，那么这个数是1；（2）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；（3）A2的平方根是|A|；（4）大于直角的角一定是钝角。其中错误的命题（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个答（）2已知，那么满足上述不等式的整数X的个数是354234X（A）4（B）5（C）6（D）7答（）3若实数A，B，C满足A2B2C29，代数式（AB）2（BC）2（CA）2的最大值是（A）27（B）18（C）15（D）12答（）4给定平面上N个点，已知1，2，4，8，16，32都是其中两点之间的距离，那么点数N的最小可能值是（A）4（B）5（C）6（D）7答（）5在梯形ABCD中，ADDC，HB30，C60，E，ANDM，F，N分别为AB，BC，CD，DA的中点，已知BC7，EFMN3，则EF之值为BMC（A）4（B）41/2（C）5（D）6答（）6如图，已知AB，AA1，PP1，BB1均垂直于A1B1，AA117，PP116，BB120，A1B112，则APPB等于（A）12（B）13（C）14（D）15答（）BAPA1P1B1二、填空题1从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面积是（）。2当A取遍0到5的所有实数值时，满足3BA（3A8）的整数B的个数是（）。3若A，B满足35|B|7，则S23|B|的取值范围是（）。A4若正整数X，Y满足方程X2Y21997，XY等于（）。第二试一、如图，设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE垂直AC于点E，PF垂直BC于点F，PG垂直EF于点G，延长GP并在其延长线上取一点D，使得PDPC，试证BCBD，且BCBD。CFGEAPBD二、已知A，B为整数，且AB，方程3X23（AB）X4AB0的两个根，满足关系式（1）（1）（1）（1）试求所有的整数点对（A，B）三、已知定理“若三个大于3的质数A，B，C满足关系式2A5BC，则ABC是整数N的倍数”。试问上述定理中的整数N的最大可能值是多少并证明你的结论。一九九八年第一试一、填空题1设M1，那么M1/M的整数部分是（）。52在直角三角形ABC中，两条直角边AB，AC的长分别为1厘米，2厘米，那么直角的角平分线的长度等于（）厘米。3已知X2X10，那么代数式X32X1的值是（）。4已知M，N是有理数，并且方程X2MXN0有一个根是2，那么MN的值是（5）。5如图，ABCD为正方形，A，E，F，G在同一条直线上，并且AE5厘米，EF3厘米，那么FG（）厘米。ADEFBCG6满足19982M219972N2（0MN1998）的整数对（M，N），共有（）个。7设平方数Y2是11个相继整数的平方和，则Y的最小值是（）。8直角三角形ABC中，直角边AB上有一点M，斜边BC上有一点P，已知MPBC，BMP的面积等于四边形MPCA的面积的一半，BP2厘米，PC3厘米，那么直角三角形ABC的面积是（）平方厘米。AMBPC9已知正方形ABCD的面积为35平方厘米，E，F分别为边AB，BC上的点，AF，CE相交于点G，并且ABF的面积为5平方厘米，BCE的面积为14平方厘米，那么四边形BEGF的面积是（）平方厘米。DCDGFABCAEB10把100个苹果分给若干个人，每人至少分一个，且每人分的数目各不相同，那么至多有（）人。11设A，B为实数，那么A2ABB2A2B的最小值是（）。121，2，3，98共98个自然数中，能够表示成两整数的平方差的个数是（）。13在下边的加法算式中，每一个表示一个数字，任意两个数字都不相同，那么A与B乘积的最大值是（）。AB14直线AB和AC与圆O分别为相切于B，C两点，P为圆上一点，P到AB，AC的距离分别为4厘米，6厘米，那么P到BC的距离为（）厘米。15每一本书都有一个国际书号ABCDEFGHIJ，其中ABCDEFGHIJ由九个数字排列而成，J是检查号码，令S10A9B8C7D6E5F4G3H2I，R是S除以11所得的余数，若R不等于0或1，则规定J11R，（若R0，则规定J0；若R1，规定J用X表示）现有一本书的书号是962Y707015，那么Y（）。第二试一、求所有正实数A，使得方程X2AX4A0仅有整数根。二、已知P为ABCD内一点，O为AC与BD的交点，M，N分别为PB，PC的中点，Q为AN与DM的交点，求证（1）P，Q，O三点在一条直线上；（2）PQ2OQ。DPNCQOMAB三、试写出5个自然数，使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除。一九九九年第一试一、选择题1计算的值是312344（A）1（B）1（C）2（D）2答（）2ABC的周长是24，M是AB的中点，MCMA5。则A