《复变函数论》试题库及答案

复变函数论试题库复变函数考试试题（一）一、判断题（20分）1若FZ在Z0的某个邻域内可导，则函数FZ在Z0解析2有界整函数必在整个复平面为常数3若收敛，则与都收敛NRENZIMN4若FZ在区域D内解析，且，则（常数）0FCZF5若函数FZ在Z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数6若Z0是的M阶零点，则Z0是1/的M阶极点FF7若存在且有限，则Z0是函数FZ的可去奇点LI0Z8若函数FZ在是区域D内的单叶函数，则0DZF9若FZ在区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C0DF10若函数FZ在区域D内的某个圆内恒等于常数，则FZ在区域D内恒等于常数（）二填空题（20分）1、_（为自然数）1|00ZNZDN2_22COSSIN3函数的周期为_Z4设，则的孤立奇点有_12FZF5幂级数的收敛半径为_0NZ6若函数FZ在整个平面上处处解析，则称它是_7若，则_NZLIMNZZNLI218_，其中N为自然数0,RENZS9的孤立奇点为_ZI10若是的极点，则0F_LIM0ZFZ三计算题（40分）1设，求在内的罗朗展式21ZZFZF1|0ZD2COS1|ZD3设，其中，试求CZF17323|ZC1IF4求复数的实部与虚部W四证明题20分1函数在区域内解析证明如果在内为常数，那么它在内ZFD|ZFD为常数2试证在割去线段的平面内能分出两个单值解析分支,1FZ0RE1并求出支割线上岸取正值的那支在的值0REZ复变函数考试试题（二）一判断题（20分）1若函数在D内连续，则UX,Y与VX,Y都在D内连续,YXIVUZF2COSZ与SINZ在复平面内有界3若函数FZ在Z0解析，则FZ在Z0连续4有界整函数必为常数5如Z0是函数FZ的本性奇点，则一定不存在LIM0FZ6若函数FZ在Z0可导，则FZ在Z0解析7若FZ在区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C0DZF8若数列收敛，则与都收敛NRENZINZ9若FZ在区域D内解析，则|FZ|也在D内解析10存在一个在零点解析的函数FZ使且01,21,2NF二填空题20分1设，则I_,ARG_,|2设，则_CIYXZYXIXYZFSN122LIM1ZFZ3_（为自然数）1|00ZNZD4幂级数的收敛半径为_0N5若Z0是FZ的M阶零点且M0，则Z0是的_零点F6函数EZ的周期为_7方程在单位圆内的零点个数为_083258设，则的孤立奇点有_21ZFZF9函数的不解析点之集为_|10_,RES4Z三计算题40分1求函数的幂级数展开式2SIN32在复平面上取上半虚轴作割线试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的Z点及右沿的点处的值I3计算积分，积分路径为（1）单位圆（）IZID|1|Z的右半圆4求DZZ22SIN四证明题20分1设函数FZ在区域D内解析，试证FZ在D内为常数的充要条件是在ZFD内解析2试用儒歇定理证明代数基本定理复变函数考试试题（三）一判断题20分1COSZ与SINZ的周期均为K22若FZ在Z0处满足柯西黎曼条件,则FZ在Z0解析3若函数FZ在Z0处解析，则FZ在Z0连续4若数列收敛，则与都收敛NRENIMN5若函数FZ是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，则数FZ在区域D内为常数6若函数FZ在Z0解析，则FZ在Z0的某个邻域内可导7如果函数FZ在上解析,且,则1|1|ZF（1|F）8若函数FZ在Z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数9若Z0是的M阶零点,则Z0是1/的M阶极点ZF10若是的可去奇点，则F0,RES二填空题20分1设，则FZ的定义域为_12ZF2函数EZ的周期为_3若，则_NNINLIM4_Z22COSI5_（为自然数）1|00ZNDN6幂级数的收敛半径为_0NX7设，则FZ的孤立奇点有_12ZF8设，则E_9若是的极点，则0F_LIM0FZ10,RESNZ三计算题40分1将函数在圆环域内展为LAURENT级数12ZFE0Z2试求幂级数的收敛半径N3算下列积分，其中是CZE9D21|Z4求在|Z|1内根的个数08269ZZ四证明题20分1函数在区域内解析证明如果在内为常数，那么FD|FD它在内为常数2设是一整函数，并且假定存在着一个正整数N，以及两个正数R及ZFM，使得当时R|，NZMF|证明是一个至多N次的多项式或一常数。ZF复变函数考试试题（四）一判断题20分1若FZ在Z0解析，则FZ在Z0处满足柯西黎曼条件（）2若函数FZ在Z0可导，则FZ在Z0解析（）3函数与在整个复平面内有界（）SINCO4若FZ在区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有0DZF（）5若存在且有限，则Z0是函数的可去奇点（）LIM0ZFZ6若函数FZ在区域D内解析且，则FZ在D内恒为常数（）F7如果Z0是FZ的本性奇点，则一定不存在（）LIM0Z8若，则为的N阶零点（,NZF）9若与在内解析，且在内一小弧段上相等，则ZFG（DZF,）10若在内解析，则|0Z（,RES,ESFF）二填空题20分1设，则IZ1_IM,Z2若，则_NLIMNZNLI213函数EZ的周期为_4函数的幂级数展开式为_2F5若函数FZ在复平面上处处解析，则称它是_6若函数FZ在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_7设，则1|C_CDZ8的孤立奇点为_ZSIN9若是的极点，则0F_LIM0ZFZ10_,RESNZ三计算题40分1解方程013Z2设，求2ZEF,RZFS392|2ZDI4函数ZEZ1有哪些奇点各属何类型（若是极点，指明它的阶数）F四证明题20分1证明若函数在上半平面解析，则函数在下半平面解析FZF2证明方程在内仅有3个根0364Z2|1Z复变函数考试试题（五）一判断题（20分）1若函数FZ是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数（）2若函数FZ在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，则在区域D内恒等于常数（）3若FZ在区域D内解析，则|FZ|也在D内解析（）4若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析（）5若函数FZ在Z0处满足CAUCHYRIEMANN条件，则FZ在Z0解析（）6若存在且有限，则Z0是FZ的可去奇点（LIM0FZ）7若函数FZ在Z0可导，则它在该点解析（）8设函数在复平面上解析，若它有界，则必为常数（ZF）9若是的一级极点，则0ZF（LIM,RES000ZFZ）10若与在内解析，且在内一小弧段上相等，则FGD（ZF,）二填空题（20分）1设，则IZ31_,AR_,|Z2当时，为实数_ZE3设，则Z4的周期为_E5设，则1|ZC_CDZ60,RES7若函数FZ在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_。8函数的幂级数展开式为_21F9的孤立奇点为_ZSIN10设C是以为A心，R为半径的圆周，则（为自_1CNDZAN然数）三计算题40分1求复数的实部与虚部1Z2计算积分，ZILDRE在这里L表示连接原点到的直线段1I3求积分，其中0A1I202COSA4应用儒歇定理求方程，在|Z|1内根的个数，在这里在ZZ上解析，并且1|Z1|四证明题20分1证明函数除去在外，处处不可微2|ZF02设是一整函数，并且假定存在着一个正整数N，以及两个数R及M，使得当时R|，NZMF|证明是一个至多N次的多项式或一常数ZF复变函数考试试题（六）一、判断题（30分）1若函数在解析，则在连续（）FZ0FZ02若函数在处满足CAYCHYRIEMANN条件，则在解析（）FZ03若函数在解析，则在处满足CAYCHYRIEMANN条件（）FZ0FZ04若函数在是区域内的单叶函数，则（）DFZD5若在单连通区域内解析，则对内任一简单闭曲线都有（FZC0FZD）6若在区域内解析，则对内任一简单闭曲线都有（）FCF7若，则函数在是内的单叶函数（）0ZDFZD8若是的阶零点，则是的阶极点（）0FM01FM9如果函数在上解析，且,则（FZZ1FZ1FZ）10（）SIN1C二、填空题（20分）1若，则_2NNZILIMNZ2设，则的定义域为_21FF3函数的周期为_SIZ4_22NCO5幂级数的收敛半径为_0NZ6若是的阶零点且，则是的_零点FM10ZF7若函数在整个复平面处处解析，则称它是_Z8函数的不解析点之集为_F9方程在单位圆内的零点个数为_53280Z10公式称为_COSINIXEX三、计算题（30分）1、2LIM6NNI2、设，其中，试求2371CFZDZ3CZ1FI3、设，求2ZEFR,SFI4、求函数在内的罗朗展式36SINZ05、求复数的实部与虚部1WZ6、求的值3IE四、证明题（20分）1、方程在单位圆内的根的个数为6763910ZZ2、若函数在区域内解析，等于常数，则在恒,FUXYIVD,VXYFZD等于常数3、若是的阶零点，则是的阶极点0ZFM0Z1FM复变函数考试试题（七）一、判断题（24分）1若函数在解析，则在的某个领域内可导（）FZ0FZ02若函数在处解析，则在满足CAUCHYRIEMANN条件（）3如果是的可去奇点，则一定存在且等于零（）0ZF0LIMZF4若函数是区域内的单叶函数，则（）D0ZD5若函数是区域内的解析函数，则它在内有任意阶导数（）FZ6若函数在区域内的解析，且在内某个圆内恒为常数，则在区域内恒等于常数（）7若是的阶零点，则是的阶极点（）0ZFM0Z1FM二、填空题（20分）1若，则_1SINNZILINZ2设，则的定义域为_2FFZ3函数的周期为_ZE4_22SINCO5幂级数的收敛半径为_20NZ6若是的阶零点且，则是的_零点FM10ZF7若函数在整个复平面处处解析，则称它是_FZ8函数的不解析点之集为_9方程在单位圆内的零点个数为_830Z10_RE,0NS三、计算题（30分）1、求221II2、设，其中，试求237CFZDZ3CZ1FI3、设，求2ZEFR,0SF4、求函数在内的罗朗展式1Z2Z5、求复数的实部与虚部WZ6、利用留数定理计算积分，20COSDXA1四、证明题（20分）1、方程在单位圆内的根的个数为77632491ZZ2、若函数在区域内解析，等于常数，则在恒等,FUXYIVDFZFZD于常数3、若是的阶零点，则是的阶极点0ZFM0Z1FM五、计算题（10分）求一个单叶函数，去将平面上的上半单位圆盘保形映射为平面的Z1,I0ZZW单位圆盘1W复变函数考试试题（八）一、判断题（20分）1、若函数在解析，则在连续（）FZ0FZ02、若函数在满足CAUCHYRIEMANN条件，则在处解析（）FZ03、如果是的本性奇点，则一定不存在（）0ZF0LIMZF4、若函数是区域内解析，并且，则是区域的单叶函数DZDFZD（）5、若函数是区域内的解析函数，则它在内有任意阶导数（）FZ6、若函数是单连通区域内的每一点均可导，则它在内有任意阶导数（）7、若函数在区域内解析且，则在内恒为常数（）FZD0FZFZD8存在一个在零点解析的函数使且（）1N1,2,2N9如果函数在上解析，且，则FZZFZ1FZ（）10是一个有界函数（）SIN二、填空题（20分）1、若，则_21NNZILIMNZ2、设，则的定义域为_LFF3、函数的周期为_SIZ4、若，则_LMN12LINNZZ5、幂级数的收敛半径为_50NZ6、函数的幂级数展开式为_21FZ7、若是单位圆周，是自然数，则_CN01NCDZ8、函数的不解析点之集为_FZ9、方程在单位圆内的零点个数为_532148010、若，则的孤立奇点有_2FZFZ三、计算题（30分）1、求13SIN14ZZDEDI2、设，其中，试求237CFZZ3CZ1FI3、设，求21ZEFR,SF4、求函数在内的罗朗展式20ZZ5、求复数的实部与虚部1WZ四、证明题（20分）1、方程在单位圆内的根的个数为7763502、若函数在区域内连续，则二元函数与都在,FZUXYIVD,UXY,V内连续D4、若是的阶零点，则是的阶极点0ZFM0Z1FM五、计算题（10分）求一个单叶函数，去将平面上的区域保形映射为平面的单位圆盘Z4ARG5ZW1W复变函数考试试题（九）一、判断题（20分）1、若函数在可导，则在解析（）FZ0FZ02、若函数在满足CAUCHYRIEMANN条件，则在处解析（）FZ03、如果是的极点，则一定存在且等于无穷大（）0ZF0LIMZF4、若函数在单连通区域内解析，则对内任一简单闭曲线都有DC0FZD（）5、若函数在处解析，则它在该点的某个领域内可以展开为幂级数（）FZ06、若函数在区域内的解析，且在内某一条曲线上恒为常数，则在区域FZ内恒为常数（）D7、若是的阶零点，则是的阶极点（）0ZFM0Z1FM8、如果函数在上解析，且，则（FD1FZ1FZ）9、（）LIZE10、如果函数在内解析，则（）F1Z11MAXAXZZFF二、填空题（20分）1、若，则_2SINNZILIN2、设，则的定义域为_1IFZF3、函数的周期为_S4、_22INCO5、幂级数的收敛半径为_0NZ6、若是的阶零点且，则是的_零点FM10ZF7、若函数在整个复平面除去有限个极点外，处处解析，则称它是_Z8、函数的不解析点之集为_F9、方程在单位圆内的零点个数为_8320150ZZ10、_2RE,S三、计算题（30分）1、LIM6NNI2、设，其中，试求2371CFZDZ3CZ1FI3、设，求2ZEFR,SFI4、求函数在内的罗朗展式1Z2Z5、求复数的实部与虚部WZ6、利用留数定理计算积分24109XDX四、证明题（20分）1、方程在单位圆内的根的个数为67639ZZ2、若函数在区域内解析，等于常数，则在恒,FUXYIVD,UXYFZD等于常数7、若是的阶零点，则是的阶极点0ZFM0Z1FM五、计算题（10分）求一个单叶函数，去将平面上的带开区域保形映射为平面的单位ZI2ZW圆盘1W复变函数考试试题（十）一、判断题（40分）1、若函数在解析，则在的某个邻域内可导（）FZ0FZ02、如果是的本性奇点，则一定不存在（）00LIMZF3、若函数在内连续，则与都在内连续（,FZUXYIVD,UXY,VD）4、与在复平面内有界（）COSIN5、若是的阶零点，则是的阶极点（）0ZFM0Z1/FM6、若在处满足柯西黎曼条件，则在解析（）Z07、若存在且有限，则是函数的可去奇点（）0LIZF0Z8、若在单连通区域内解析，则对内任一简单闭曲线都有（DC0FXDZ）9、若函数是单连通区域内的解析函数，则它在内有任意阶导数（）FZD10、若函数在区域内解析，且在内某个圆内恒为常数，则在区域内恒等于常数（）二、填空题（20分）1、函数的周期为_ZE2、幂级数的和函数为_0N3、设，则的定义域为_21FZFZ4、的收敛半径为_0NZ5、_RE,ZNS三、计算题（40分）1、29ZDZI2、求2RE,IZS3、1NNII4、设求，使得为解析函数，且满2,LUXYY,VXY,FZUXYIV足。其中（为复平面内的区域）1NFIZD5、求，在内根的个数40Z1复变函数考试试题（十一）一、判断题（正确者在括号内打，错误者在括号内打，每题2分）1当复数时，其模为零，辐角也为零（）0Z2若是多项式的根，则也是的根（10NNPAZAN0ZP）3如果函数为整函数，且存在实数，使得，则为一常数（FZMREFF）4设函数与在区域内解析，且在内的一小段弧上相等，则对任意的1F2FD，有（）ZDZ5若是函数的可去奇点，则（）FRE0ZSF二、填空题（每题2分）1_23456II2设，且，当时，0ZXYARG,ARCTN22YZX0,Y_ARGCTN3函数将平面上的曲线变成平面上的曲线_1WZ21XYW4方程的不同的根为_40A5_1I6级数的收敛半径为_20NNZ7在（为正整数）内零点的个数为_COSNZN8函数的零点的阶数为_366SIFZ0Z9设为函数的一阶极点，且，则AF,0,AA_REZAFS10设为函数的阶极点，则_FZMREZAFS三、计算题（50分）1设。求，使得为解析函数，且21,LNUXYY,VXY,FZUXYIV满足其中（为复平面内的区域）（15分）FIZD2求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶）（10分）（1）；（5分）（2）（5分）2TANZ1ZE3计算下列积分（15分）（1）（8分），192434ZDZ（2）（7分）20COSD4叙述儒歇定理并讨论方程在内根的个数（10分）74250Z1Z四、证明题（20分）1设是上半复平面内的解析函数，证明是下半复平面内的,FZUXYIVFZ解析函数（10分）2设函数在内解析，令。证明在区FRMAX,0ZRMFRRMR间上是一个上升函数，且若存在及（），使，则0,R121212常数（10分）FZ复变函数考试试题（十二）二、判断题。（正确者在括号内打，错误者在括号内打，每题2分）1设复数及，若或，则称与是相等的复数。11ZXIY22ZXIY12X1Y1Z（）2函数在复平面上处处可微。（）REF3且。（）2SINCO1ZSIN,COS1ZZ4设函数是有界区域内的非常数的解析函数，且在闭域上连续，则FDD存在，使得对任意的，有。（）0MZFZM5若函数是非常的整函数，则必是有界函数。（）FZ二、填空题。（每题2分）1_。23456II2设，且，当时，0ZXYARG,ARCTN22YZX0,Y_。ARGCTN3若已知，则其关于变量的表达式为2211FZXIYXZ_。4以_为支点。NZ5若，则_。LN2ZIZ6_。1ZD7级数的收敛半径为_。246Z8在（为正整数）内零点的个数为_。COSNN9若为函数的一个本质奇点，且在点的充分小的邻域内不为零，则是ZAFZAZA的_奇点。1F10设为函数的阶极点，则_。AFZNREZAFS三、计算题（50分）1设区域是沿正实轴割开的平面，求函数在内满足条件的单值DZ5WZD51连续解析分支在处之值。（10分）1ZI2求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶），并求它们留数。（15分）（1）的各解析分支在各有怎样的孤立奇点，并求这些点的留数（102NLFZ1Z分）（2）求。（5分）10REZNS3计算下列积分。（15分）（1）（8分），72321ZDZ（2）（7分）。20XA4叙述儒歇定理并讨论方程在内根的个数。（10分）61ZZ四、证明题（20分）1讨论函数在复平面上的解析性。（10分）ZFE2证明。212NZNCDI此处是围绕原点的一条简单曲线。（10分）复变函数考试试题（十三）一、填空题（每题分）设，则_COSINZR1Z设函数，则的充,FUXYV0AUIV00ZXIY0LIMZFA要条件是_设函数在单连通区域内解析，则在内沿任意一条简单闭曲线的积FZDFZDC分_CD设为的极点，则_ZAFZLIMZAF设，则是的_阶零点SINF0设，则在的邻域内的泰勒展式为_21ZFZ设，其中为正常数，则点的轨迹曲线是_AB,AZ设，则的三角表示为_SINCOS6ZZ_40D设，则在处的留数为_2ZEFF0Z二、计算题计算下列各题（分）1；23COSILN23I3I2求解方程（分）380Z设，验证是调和函数，并求解析函数，使之2UXYUFZUIV（分）1FII计算积分（10分）1，其中是沿由原点到点的曲线2CXIYDZC2YX1ZI2，积分路径为自原点沿虚线轴到，再由沿水平方向向右120IIDZI到I试将函数分别在圆环域和内展开为洛朗级12FZZ01Z2Z数（分）计算下列积分（分）1；22251ZDZA24SIN1ZDZA计算积分（分）4X求下列幂级数的收敛半径（分）1；21NZ1NZ讨论的可导性和解析性（分）2F三、证明题设函数在区域内解析，为常数，证明必为常数（分）FZDFZFZ试证明的轨迹是一直线，其中为复常数，为实常数（分）0ABAB复变函数考试试题（十四）一、填空题（每题分）设，则_COSINZRNZ设函数，则的充,FUXYV0AUIV00ZXIY0LIMZFA要条件_设函数在单连通区域内解析，则在内沿任意一条简单闭曲线的积FZDFZDC分_CD设为的可去奇点，_ZAFZLIMZAF设，则是的_阶零点21ZFE0设，则在的邻域内的泰勒展式为_2FZ设，其中为正常数，则点的轨迹曲线是_ZAB,AZ设，则的三角表示为_SINCOSZ_10ZED设，则在处的留数为_21SIFZF0Z二、计算题计算下列各题（分）1；2334LNI16IE1I2求解方程（分）20Z设，验证是调和函数，并求解析函数，使1UXYUFZUIV之（分）FI计算积分，其中路径为（）自原点到点的直线段；120IXYIDZ1I2自原点沿虚轴到，再由沿水平方向向右到（10分）1I试将函数在的邻域内的泰勒展开式（分）2FZZ计算下列积分（分）1；222SINZDZA243ZDZA计算积分（分）053COS求下列幂级数的收敛半径（分）1；21NNIZ21NNZ设为复平面上的解析函数，试确定，的3232FMYXILXYLMN值（分）三、证明题设函数在区域内解析，在区域内也解析，证明必为常数（分）FZDFZDFZ试证明的轨迹是一直线，其中为复常数，为实常数（分）0ABAB复变函数考试试题（三）参考答案一判断题1610二填空题123415,ZIZC且2KIZ1EI210IN6178910IK三计算题1解122201NZZEZ2解111LIMLILIMLINNNNNCE所以收敛半径为E3解令,则29ZF200RE9ZZESF故原式0REZIISF4解令,962FZ8Z则在上均解析,且,故由儒歇定理有C1F与68FZ即在内,方程只有一个根,1NFCFZ四证明题1证明证明设在内DFZC令22,FZUIVUVC则两边分别对求偏导数,得XY01XY因为函数在内解析,所以代入2则上述方程组变为D,XXUV消去得,0XUVX20X1,则为常数2FZ2若,由方程12及方程有,0XVCR0,XUY0YV所以为常数12UC12,C所以为常数FZI2证明取,则对一切正整数时,RRKN102NKKKZRFMRFDZ于是由的任意性知对一切均有F故,即是一个至多次多项式或常数0NKFZCFZ复变函数考试试题（四）参考答案一判断题1610二填空题1,2345整函数22KIZ2011NZ6亚纯函数7089100N三计算题1IIZIIZKKKZ2315SN3COS2,1032SN32CO13213解2解,11REZZEF11R2ZZESF故原式12ZZISFI3解原式22RE95ZIZISFI4解Z1Z，令01ZE，得IKZ2,，,21而ZZZZZEELIMLILIM002LI0ZZ0为可去奇点当IK2时，1,0ZE而21IKIZEZZIKZ2为一阶极点四证明题1证明设,在下半平面内任取一点,是下半平面内异于的点,考虑FF0Z0Z000000LIMLILIMZZZFF而,在上半平面内,已知在上半平面解析,因此,从而F00FZF在下半平面内解析FF2证明令,则与在全平面解析,63Z4ZFZ且在上,12C156F故在内1,NC在上,2ZFZZ故在内22,F所以在内仅有三个零点,即原方程在内仅有三个根F112Z复变函数考试试题（五）参考答案一判断题1610二填空题12,23I2,AKIZA为任意实数3,450602KKZ,7亚纯函数890102011NZ210IN三计算题1解令,则ZABI2221211ZABIABW故,2REZ2IMZB2解连接原点及的直线段的参数方程为,1I101ITT故00E1CDTIDT3令,则当时IZEZI0A,21211OSZAZA故,且在圆内只以为一级极点,1ZDIIZFAZ在上无奇点,故,由残数定理有2RE,011ZAZASF22,0ZAIISF4解令则在内解析,且在上,FZCZ1ZFZ所以在内,即原方程在内只有一个根11NCF1四证明题1证明因为,故2,0UXYVXY2,0XYXYUV这四个偏导数在平面上处处连续,但只在处满足条件,故只在除了ZZRFZ外处处不可微0Z2证明取,则对一切正整数时,RRKN12NKKKZRMRFD于是由的任意性知对一切均有0F故,即是一个至多次多项式或常数0NKFZCFZ复变函数考试试题（六）参考答案一、判断题12345678910二、填空题12341511EI1Z26阶7整函数89010欧拉公式MA三、计算题1解因为25,6936I故LI0NN2解12,12CFFZDIZ37因此21FI故37ZZ1126236213IFIII3解2ZZEIRE,2IESFZ4解3130IN,N36360SI21NNZZ5解设,则ZXIY2211XIYXYIWZ222RE,IM1XY6解31COSIN3II四、1证明设679,6,FZZ则在上，即有1Z18FZ根据儒歇定理，与在单位圆内有相同个数的零点，而的零点FZFZFZ个数为6，故在单位圆内的根的个数为67639102证明设，则,由于在内解析，因此,VXYABIXYVFZUIVD有,XYDXYU0XU于是故，即在内恒为常数,UXYCDIFZACBDIFZD3证明由于是的阶零点，从而可设0M，0FZGZ其中在的某邻域内解析且，GZ0于是011MFZGZ由可知存在的某邻域，在内恒有，因此在内解析，0GZ01D01GZ1D故为的阶极点01FZM复变函数考试试题（七）参考答案一、判断题12345678二、填空题1234151EI1Z2I6阶7整函数89010MAN三、计算题1解2210III2解3,I12CFFZDIZ7因此231FI故7ZZ1126236213IFIII3解0221,NZEZ因此R,SF4解111222ZZZ由于，从而Z,Z因此在内12有1000122NNNNZZZZ5解设,则ZXIY2211ZXIYXYIW222RE,IMXY6解设，则，IZ1,COSDZZI22011CS2ZZIDAAA，故奇点为1002220144COS1REZDFAA四、证明题1证明设763224,9,FZGZZ则在上，即有1Z17FZG根据儒歇定理知在内与在单位圆内有相同个数的零点，而在ZFZFZ内的零点个数为7，故在单位圆内的根的个数为1ZFZ763224910ZZ72证明设，则2FUVC0,XXYY已知在区域内解析，从而有FZD,XYXUV将此代入上上述两式得0,XYUV因此有于是有0,XY,0XYV即有1212UCVFZCI故在区域恒为常数FZD3证明由于是的阶零点，从而可设0ZFM，0ZG其中在的某邻域内解析且，GZ0于是011MFZGZ由可知存在的某邻域，在内恒有，因此在内解析，0GZ01D01GZ1D故为的阶极点01FZM五、计算题解根据线性变换的保对称点性知关于实轴的对称点应该变到关于圆周的II0W对称点，故可设WZK复变函数考试试题（八）参考答案一、判断题12345678910二、填空题1234511EI0Z，267895102K0KIZ,1NIA1Z三、计算题1解由于在解析，1SINZEZ所以10ZD而33142423ZZDZII因此13SIN1ZZEDI2解2,I1CFFZDIZ237因此21FI故37ZZ1126236213IFIII3解2ZZEF1R,1,RE,2ESFZSFZ因此1E,2F4解2221011ZZZZZ由于，从而Z21,Z因此在内有22112220001012NNNNZZZZZZZ5解设,则XIY21XIYXYIW222RE,IMXY6解设,则IXZIXDZEZD1SN2I2200SINXX21144ZZZDI在内只有一个一级极点1Z24I3IRE,2SFZI因此20SIN3DXI四、证明1证明设765315,1,FZGZZ则在上，即有1Z3,FG根据儒歇定理知在内与在单位圆内有相同个数的零点，而在ZFZFZ内的零点个数为7，故在单位圆内的根的个数为7ZF76531102证明因为，在内连续,所以,FZUXYIVD0,XYD0,当时有0,XY00,FFUXYIVXY12200,UXYVXY从而有0,UXYV即与在连续，由的任意性知与都在内连续0,XYD,UXY,VD3证明由于是的阶零点，从而可设ZFM，0ZG其中在的某邻域内解析且，GZ0于是011MFZGZ由可知存在的某邻域，在内恒有，因此在内解析，0GZ01D01GZ1D故为的阶极点01FZM五、解1设，则将区域保形映射为区域5440ARG5Z0ARGZ2设,则将上半平面保形变换为单位圆IWE1W因此所求的单叶函数为54IZE复变函数考试试题（九）参考答案一、判断题（20分）1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、二、填空题（20分）1、2、3、4、15、1ZEI,01,2K6、7、整函数8、9、810、MCE三、计算题（30）1、解51,LIM066NNI2、解23,ICFFZDIZ271因此23FI故71ZZ126236213IFIII3、解2RE,RE,2ZZIIFIESFISF4、解1112ZZZ由于，从而Z,2Z因此在内12有1000122NNNNZZZZ5、解设,则ZXIY21XIYXYIW2221RE,IM1XYYWWX6、解设则在内有两个一级极点，42,109ZFFZI0123,ZI371RE,RE,86IISFZISFI因此，根据留数定理有24210941IDZZ四、证明题（20分）1、证明设673,6,FZZ则在上，即有918FZ根据儒歇定理，与在单位圆内有相同个数的零点，而的零点FZFZFZ个数为6，故在单位圆内的根的个数为67639102、证明设，则,由于在内解析，因此,UXYABIXYUFZUIVD有,DXYV0XV于是故，即在内恒为常数,VXYCDIFZCBDIFZ3、证明由于是的阶零点，从而可设0M，0FZGZ其中在的某邻域内解析且，GZ0于是011MFZGZ由可知存在的某邻域，在内恒有，因此在内解析，0GZ01D01GZ1D故为的阶极点01FZM五、计算题（10分）解1、设则将区域保形变换为区域,2ZIIM2Z0IM2Z2、设,则将区域保形变换为区域TET0IARGDTT3、设则将保形变换为上半平面,因此,所求的单叶函数为2SD222ZIIIITEEIWE复变函数考试试题（十）参考答案一、判断题（40分）12345678910二、填空题（20分）123452I21ZZI11N三、计算题（40分）1解在上解析，由积分公式，有29ZFCAUHY229ZZDDZZII295ZII2解设，有21IEFZ2R,IESF3解COINCOSIN44NNIISII2COS44解，2UXY2UYX,0,XYXVYDC,220YXDYC20YXARTNX1,1,L2CT1LN2FIUIVI故，2CARCTNYXYX5解令，则，在内均解析，且当时5FZ4GZFXGZ11Z1由定理知根的个数与根的个数相同ROUCHE450Z50Z故在内仅有一个根4510Z复变函数考试试题（十一）参考答案一、12二、11212U12U4COSSIN0,34KKKZA15321910AM三、1解22,UXUYYX,0,XYXVDC,220XDY20ARCTNYDCXX又1,1,FIUIV1LN2ARCTLN2故,44YCVXX2解1奇点为对任意整数,22SITANCOZ12,0,1KK为二阶极点,为本性奇点1ZK2奇点为0,2,0,1KZIK为本性奇点,对任意整数,为一级极点,为本性奇点1ZZZ31解共有六个有限奇点,且均在内,19243FZ4CZ由留数定理,有4RE,ZFDISF将在的去心邻域内作展开FZLAURENT1984234ZF432448310611ZZZZ所以1RE,SFC42ZDI2解令,则IE222001COSCOSDI4216CZZI再令则,故2U4221DDUII22166CZCIII由留数定理,有1RE,3842IISF4解儒歇定理设为一条围线，若函数与均在内部及上解析且CFC，则与在内部的零点个数相同ZFZFZZ令,则在内解析且4572G,FG1Z当时,1Z72FZZ由儒歇定理的根个数与根个数相同74250450Z故在内有4个根74250Z1Z四、1证明,FZUXYIVUIV,XYYXY由在上半平面内解析,从而有FZUIV,XYX因此有VV故在下半平面内解析FZ2证明1则1212,0RRR11MAXAZRZRMFF22ZRZR故,即在上为的上升函数21R0,R2如果存在及使得R212R12MR则有21MAXAZRZRFF于是在内恒为常数,从而在内恒为常数1ZRFZ复变函数考试试题（十二）参考答案一、判断题12345二、填空题123411FZ0,5678I221N9本性10三、计算题1解ARG215ZKIKWE0,1234由得从而有55KIK4110502512COSIN44IIEI2解（1）的各解析分支为，21LNZF2L1KZKF0,1为的可去奇点，为的一阶极点。Z0Z,RE,SFRE,1KSFIK（2）11000ZNNNZ3计算下列积分解（1）723232211ZFZZZ1