数值分析4-5(高斯公式)

1、一、高斯点,定义：高斯公式,机械求积公式,含有2n+2个待定参数,若适当选择这些参数使求积公式具有2n+1次代 数精度，则这类公式称为高斯公式。,(4.1),?,请回答:,以前学过的梯形公式、辛甫生公式、柯 特斯公式、中矩形公式是高斯公式吗？,答：除中矩形公式外都不是！,定义：高斯点,高斯公式的求积节点称为高斯点,举例,求 a,b上的一点和二点高斯公式。,解,设一点高斯公式为,则其代数精度应为,即,解得,中矩形公式,再设两点高斯公式为,则其代数精度应为,即,这是关于四个未知数的非线性方程，难于求解,高斯点具有以下性质：,定理,对于插值型求积公式(4.1)，其节点,是高斯点的充要条件是,以这些点

2、为零点的多项式,与任意次数不超过n的多项式P(x)均正 交，即,启发： 如何求 高斯 公式！,证明,先证必要性，即,是高斯点,设P(x)是任意次数不超过 n 的多项式，则,P(x)(x)的次数不超过2n+1，因此应准确 成立,但,故,再证充分性。即,是高斯点,对于任意给定的次数不超过2n+1的多项式f(x), 用 除 f(x)，记商为P(x)，余式为Q(x)，,即,2n+1,n+1,n,n,由已知条件，(x)与P(x)正交，得,由于所给求积公式(4.1)是插值型的，它至少具 有n次代数精度，故对Q(x)能准确成立：,再注意到(xk)=0，知Q(xk) = f(xk)，从而有,于是由前面的推导知

3、,这说明公式对一切次数不超过2n+1的多项式均能准确成立，故xk是高斯点。,定理给我们的启发：,1、求出a, b上与所有次数不超过n的多项式 都正交的多项式n+1(x)。,2、求出n+1(x)的n+1个零点就是高斯点。,?,请回答:,-1，1上与所有次数不超过0的多项式都 正交的多项式1(x)=？,解：设P0(x)=C，1(x)= x x0。由于,即,展开，得,则一个点的高斯公式为,中矩形公式,二、高斯勒让得公式,特别地，取a, b=-1, 1，其上高斯公式为：,下面求对应的高斯点。 由于勒让得多项式是-1，1上的正交多项式， 因此勒让得多项式Pn+1(x)的零点就是高斯点。,特殊地若取P1(

4、x) = x 的零点x0 = 0 作节点构造 求积公式,令它对 f(x) = 1准确成立，即可定出A0 = 2.,即一点高斯公式为,中矩形公式,令它对 f(x) = 1, x 准确成立，即可定出A0 ,A1,可得两点高斯勒让得公式为,再取 的零点 作节点构 造求积公式,注：其它的高阶公式详见书。,?,请回答:,高斯勒让得公式仅适用于求积区间是 -1，1，那么对于任意求积区间a, b如 何求？,解,作变换,可以化到区间-1，1上，这时,三、带权的高斯公式,定义：带权的高斯公式,求积公式,若该公式具有2n+1次代数精度，则称这类公式为带权的高斯公式.,上述(x)0是权函数。,高斯点,定理,是高斯点的充要条件是,是区间a, b上关于(x)的正交多项式。,特殊的,若a, b = -1，1，权函数是,所建立的高斯公式为,切比雪夫高斯公式,xk是切比雪夫多项式的零点,注意：,运用正交多项式的零点构造高斯求积 公式，这种方法只是针对某些特殊的