三角形中线等分面积的应用

1、第5讲例说三角形中线等分面积的应用图1如图1，线段AD是ABC的中线，过点A作AEBC，垂足为E，则SABDBDAE，SADCDCAE，因为BDDC，所以SABDSADC。因此，三角形的中线把ABC分成两个面积相等的三角形.利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题。一、求图形的面积图2例1、如图2，长方形ABCD的长为a，宽为b，E、F分别是BC和CD的中点，DE、BF交于点G，求四边形ABGD的面积.分析：因为E、F分别是BC和CD的中点，则连接CG后，可知GF、GE分别是DGC、BGC的中线，而由S=S=，可得S=S，所以DGF、CFG、CEG、BEG的面积相等，问题得解。解：连接CG，由

2、E、F分别是BC和CD的中点，所以S=S=，从而得S=S，可得DGF、CFG、CEG、BEG的面积相等且等于=，因此S四边形=ab4=。例2、在如图3至图5中，ABC的面积为a （1）如图2, 延长ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA若ACD的面积为S1，则S1=_（用含a的代数式表示）；DEABCF图5（2）如图3，延长ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE若DEC的面积为S2，则S2=_（用含a的代数式表示），并写出理由；ABCDE图4图3ABCD（3）在图4的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到DEF（如图6）若阴影部分的面

3、积为S3，则S3=_（用含a的代数式表示）发现：像上面那样，将ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到DEF（如图6），此时，我们称ABC向外扩展了一次可以发现，扩展一次后得到的DEF的面积是原来ABC面积的_倍应用：去年在面积为10m2的ABC空地上栽种了某种花卉今年准备扩大种植规模，把ABC向外进行两次扩展，第一次由ABC扩展成DEF，第二次由DEF扩展成MGH（如图5）求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m2？分析：从第1个图可以发现AC就是ABD的中线，第2个图通过连接DA，可得到ECD的中线DA，后面扩展的部分都可以通过这样的方法得到三角形的中线，从而求出扩展部分的面积，

4、发现规律。解：（1）由CD=BC，可知AC就是ABD的中线，中线AC将ABD的分成两个三角形ABC、ACD，这两个三角形等底等高，所以它们的面积相等；所以S1=a；图6DEABCFHMG（2）若连接DA，则DA就是ECD的中线，中线AD将ECD分成CDA、EDA，它们的面积相等；所以S2=2a；（3）根据以上分析，可知BFD、CED、EAF面积都为2a；所以S2=6a；发现：由题意可知扩展一次后的DEF的面积是SDEF= S3+SABC=6a+a=7a；即扩展一次后的DEF的面积是原来ABC面积的7倍。应用：由以上分析可知扩展一次后S总1=7a，扩展二次后S总2=S总1=72a，扩展三次后S总

5、3=S总2=73a，拓展区域的面积：（721）10=480（m2）说明：本题是从一个简单的图形入手，逐步向复杂的图形演变，引导我们逐步进行探索，探索出有关复杂图形的相关结论，这是我们研究数学问题的一种思想方法：从特殊到一般的思想。所以我们在平时的学习中，要注意领会数学思想和方法，使自己的思维不断升华。二、巧分三角形例3、如图7，已知ABC，请你用两种不同的方法把它分成面积之比为1:2:3的三个三角形.图7图8图9分析：可以把三角形先两等份，再把其中一个再两等份，所以联想到作三角形的中线。解：方法1：取BC的中点E，然后在BE上取点D，使BDBE，则AD、AE把ABC分成面积之比为1:2:3的三

6、个三角形（如图8）.方法2：在BC边上截取DCBC，连结AD，然后取AB的中点P，连结BP、CP，则PAC、PAB、PBC的面积之比为1:2: 3（如图9）.想一想：方法2中，这三个三角形的面积之比为什么是1:2:3？二、巧算式子的值图10例2 在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计了如图10所示的几何图形.请你利用这个几何图形求的值.分析：由数据的特征：后面的数为前面一个数的，联想到将三角形的面积不断的平分，所以可以构造如图10的图形进行求解。解：如图10，设大三角形的面积为1，然后不断的按顺序作出各个三角形的中线，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，图中三角形除了

7、最后一个小三角形，其余部分的面积为，因此.说明：此题运用“数形结合思想”，借助三角形的面积来求数的运算，简捷、巧妙.三角形内角和定理及外角性质的应用三角形三个内角的和等于180，这是三角形内角和定理三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，这是三角形外角性质三角形内角和定理及外角性质应用广泛，下面以例说明一、求三角形的内角例2 (08太原)在ABC中，B=40，C=80，则A的度数为( )A30 B40 C50 D60解：由三角形内角和定理，得A=180-B-C=180-40-80=60，答案选D例3 (08东营)如图1，已知1=100，2=1

8、40，那么3=解：4=180-1=180-100=80，5=180-2=180-140=40，由三角形内角和定理，得3=180-4-5=180-80-40=60，答案选D 图1说明：在求出4=80后，也可根据三角形外角性质，得2=4+3，所以3=2-4=140-80=60二、判断三角形的形状例1 (08陕西)一个三角形三个内角的度数之比为2:3:7，这个三角形一定是( )A直角三角形 B等腰三角形 C锐角三角形 D钝角三角形解：设三个内角分别为2k，3k，5k，由三角形内角和定理，得2k+3k+5k=180解得k=15，所以2k=30，3k=45，7k=105，所以这个三角形是钝角三角形，答案

9、选C三、求角平分线的夹角例4 (08沈阳)已知ABC中，A=60，ABC、ACB的平分线交于点O，则BOC的度数为解：如图2，由BO平分ABC，得1=ABC；由CO平分ACB，得2=ACB所以1+2=(ABC +ACB)=(180-A) 图2=(180-60)=60四、求三角形的外角例5 (08贵州)如图5，直线l1l2，ABl1，垂足为D，BC与直线l2相交于点C，若1=30，则2=解：如图6，延长AB交l2于点E因为l1l2，由两直线平行，内错角相等，得BEC=3由ABl1，得3=90所以BEC=90由三角形外角性质，得2=BEC+1=90+30=120图5 图6 说明：本题也可延长CB交

10、l1于点F，构造FBD进行求解，完成请同学们完成五、比较角的大小例5 (08凉山)下列四个图形中2大于1的是( )A B C D 解：A选项中，利用两直线平行，内错角相等及对顶角相等，可得1=2；B选项，根据三角形的外角性质，可得2大于1C选项中的2与1的大小关系无法确定；D选项中，由对顶角相等，可得1=2答案选B全等三角形水平测试（1）湖北薛建辉一、试试你的身手1如图所示，沿直线AC对折，ABC与ADC重合，则ABC_，AB的对应边是_，AC的对应边是_，BCA的对应角是_2如图所示，ACBDEF，其中A与D，C与E是对应顶点，则CB的对应边是_，ABC的对应角是_3ABC和中，若，则需要补

11、充条件_可得到4如图所示，AB，CD相交于O，且AOOB，观察图形，图中已具备的另一相等的条件是_，联想到SAS，只需补充条件_，则有AOC_5如图所示，有一块三角形镜子，小明不小心破裂成、两块，现需配成同样大小的一块为了方便起见，需带上_块，其理由是_6如图所示，若只有ADBD于点D这个条件，要证ABDACD，则需补充的条件是_或_或_7如图，在ABC中，BAC60，将ABC绕着点A顺时针旋转40后得到ADE，则BAE的度数为_二、相信你的选择1下列说法：全等三角形的形状相同；全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；全等三角形的周长面积分别相等，其中正确的说法为（）2下列结论错误的是

12、（）全等三角形对应角所对的边是对应边全等三角形两条对应边所夹的角是对应角全等三角形是一个特殊三角形如果两个三角形都与另一个三角形全等，那么这两个三角形也全等3下面各条件中，能使ABCDEF的条件的是（）ABDE，AD，BCEFABBC，BE，DEEFABEF，AD，ACDFBCEF，CF，ACDF4在ABC和DEF中，ABDE，AD，若证ABCDEF，还要补充一个条件，错误的补充方法是（）BECFBCEFACDF5下列说法正确的是（）两边一角对应相等的两个三角形全等两角一边对应相等的两个三角形等两个等边三角形一定全等两个等腰直角三角形一定全等6如图所示，BEAC，CFAB，垂足分别是EF，若B

13、ECF，则图中全等三角形有（）1对2对3对4对127如图，ABDB，BCBE，欲证ABCDBC，则需补充的条件是（）ADECAC12三、挑战你的技能1如图，若DABCBA，请你再添加一对相等的条件，使ABDCAB，并说明三角形全等的理由2（1）完成下面的证明：如图，ABAC，E，F分别是A C，AB的中点，那么ABEACF证明：分别是，的中点，（），在和中（2）根据（1）的证明，若连结BC请证明：EBCFCB3如图，已知：BEDF，AECF，AECF，求证：ADBC4如图，已知：CEAD于E，BFAD于F，（1）你能说明BDF和CDE全等吗？（2）若能，请你说明理由，若不能，在不用增加辅助线的

14、情况下，请添加其中一个适当的条件，这个条件是_，来说明这两个三角形全等，并写出证明过程四、拓广探索飞翔建筑公司在扩建二汽修建厂房时，在一空旷地上发现有一个较大的圆形土丘，经分析判断很可能是一座王储陵墓，由于条件限制，无法直接度量A，B两点间的距离，请你用学过的数学知识，按以下要求设计测量方案（1）画出测量方案（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）（3）计算AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）参考答案：一、1ADC，AD，AC，DCA2EF，DFE34AOC=BOD，OC=OD，BOD 5，有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 6BAD=CAD，AB=AC，BD=CD 7100二、1D 2C 3D 4C 5B 6C 7D三、1需要再添加的条件为：DBA=BAC（ASA）或DAC=CBD（ASA）或AD=BC（SAS）2（1）中点定义， （2）