全等三角形(常见辅助线);

1、a,b,d,e,f,m,n,专题讲解,三角形辅助线的方法,连线法,第一关,如图,ab=ad,bc=dc,求证:b=d.,连接ac,构造全等三角形,连线 构造全等,连线 构造全等,如图,ab与cd交于o, 且ab=cd，ad=bc，ob=5cm，求od的长.,连接bd,构造全等三角形,a,c,b,d,o,第二关,角平分线性质,如图,abc中, c =90o,bc=10,bd=6, ad平分bac,求点d到ab的距离.,过点d作deab于点e,e,角平分线上的点向角两边做垂线段,pd=pe.,pd=pe,如图,oc 平分aob,角平分线上点向两边作垂线段,过点p作pfoa,pg ob 垂足为点f,

2、点g,f,g,doe +dpe =180,doe +dpe =180,求证:,证明:,例1,已知：如图，在四边形abcd中，bd是abc的角平分线，ad=cd，求证：a+c=180,d,a,b,c,m,作dmbc于m，dnba交ba的延长线于n。, bd是abc的角平分线（已知） 1=2（角平分线定义） dnba，dmbc（已知） n=dmb=90（垂直的定义） 在nbd和mbd中 n=dmb （已证） 1=2（已证） bd=bd（公共边） nbdmbd（a.a.s）,1,2, 4=c（全等三角形的对应角相等）,n,4,3,3,2,1,*, nd=md（全等三角形的对应边相等）, dnba，d

3、mbc（已知） nad和mcd是rt 在rtnad和rtmcd中 nd=md （已证） ad=cd（已知）rtnadrtmcd（h.l）, 3+ 4180（平角定义）， a3（已证） a+ c180（等量代换）,第三关,中垂线法,abc中,abac ，a的平分线与bc的垂直平分线dm相交于d，过d作de ab于e，作dfac于f。 求证：be=cf,连接db,dc,垂直平分线上点向两端连线段,如图，已知三角形abc中,bc边上的垂直平分线de与角bac的平分线交于点e，ef垂直ab交ab的延长线于点f，eg垂直ac交ac于点g。求证：(1)bf=cg (2)判定ab+ac与af的关系,第四关,

4、截长补短法,已知在abc中，c=2b, 1=2 求证:ab=ac+cd,a,d,b,c,1,2,在ab上取点e使得ae=ac，连接de,截长,f,在ac的延长线上取点f使得cf=cd，连接df,补短,如图所示，已知adbc，1=2， 3=4，直线dc经过点e交ad于点d， 交bc于点c。求证：ad+bc=ab,e,f,在ab上取点f使得af=ad,连接ef,截长补短,证明：,例1,已知：如图，在四边形abcd中，bd是abc的角平分线，ad=cd，求证：a+c=180,d,a,b,c,e,在bc上截取be，使be=ab，连结de。, bd是abc的角平分线（已知） 1=2（角平分线定义） 在a

5、bd和ebd中 ab=eb（已知） 1=2（已证） bd=bd（公共边） abdebd（s.a.s）,1,2,4,3, 3+ 4180 （平角定义）， a3（已证） a+ c180 （等量代换）,3,2,1,*, a3（全等三角形的对应角相等）, ad=cd（已知），ad=de（已证） de=dc（等量代换）,4=c（等边对等角）,ad=de（全等三角形的对应边相等）,证明:,例1,已知：如图，在四边形abcd中，bd是abc的角平分线，ad=cd，求证：a+c=180,d,a,b,c,f,延长ba到f，使bf=bc，连结df。, bd是abc的角平分线（已知） 1=2（角平分线定义） 在bf

6、d和bcd中 bf=bc（已知） 1=2（已证） bd=bd（公共边） bfdbcd（s.a.s）,1,2,4,3, fc（已证）4=c（等量代换）,3,2,1,*, fc（全等三角形的对应角相等）, ad=cd（已知），df=dc（已证） df=ad（等量代换）,4=f（等边对等角）, 3+ 4180 （平角定义） a+ c180 （等量代换）,df=dc（全等三角形的对应边相等）,练习1,如图，已知abc中，ad是bac的角平分线，ab=ac+cd，求证：c=2b,a,b,c,d,e,1,2,2,1,证明:,在ab上截取ae，使ae=ac，连结de。, ad是bac的角平分线（已知） 1=

7、2（角平分线定义） 在aed和acd中 ae=ac（已知） 1=2（已证） ad=ad（公共边） aedacd（s.a.s）,3,b=4（等边对等角）,4,*, c3（全等三角形的对应角相等),又 ab=ac+cd=ae+eb（已知） eb=dc=ed（等量代换）, 3= b+4= 2b（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和） c=2b（等量代换）,ed=cd（全等三角形的对应边相等）,练习1,如图，已知abc中，ad是bac的角平分线，ab=ac+cd，求证：c=2b,a,b,c,d,f,1,2,证明:,延长ac到f，使cf=cd，连结df。, ad是bac的角平分线（已知） 1=2（

8、角平分线定义） ab=ac+cd，cf=cd（已知） ab=ac+cf=af（等量代换）, acb= 2f（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和） acb=2b（等量代换）,3,2,1,*,在abd和afd中 ab=af（已证） 1=2（已证） ad=ad（公共边） abdafd（s.a.s）, fb（全等三角形的对应角相等）, cf=cd（已知） b=3（等边对等角）,第五关,中线倍增法,如何利用三角形的中线来构造全等三角形？,可以利用倍长中线法，即把中线延长一倍，来构造全等三角形。,如图，若ad为abc的中线，,必有结论：,a,b,c,d,e,1,2,延长ad到e，使de=ad，连结

9、be（也可连结ce）。,abdecd，,1=e，,b=2，,ec=ab，ceab。,已知，如图ad是abc的中线，,延长ad到点e，使de=ad， 连结ce.,思考：若ab=3,ac=5 求ad的取值范围？,倍长中线,如图，已知直线mnpq，且ae平分ban、be平分qba，dc是过e的任意线段，交mn于点d，交pq于点c。求证：ad+ab=bc。,证明:,延长ae，交直线pq于点f。,*,3,0,*,22,21,a,b,c,d,e,m,n,p,q,1,2,3,4,f,5,第六关,周长问题转化,1.如图,abc中,c=90o,ac=bc,ad平分acb, deab.若ab=6cm,则dbe的周长是多少?,.“周长问题”的转化 借助“角平分线性质”,b,a,c,d,e,be+bd+de,be+bd+cd,be+bc,be+ac,be+ae,ab,2.如图,abc中, d在ab的垂直平分线上, e在ac的垂直平分线上.若bc=6cm,求ade的周长.,.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”,b,a,c,d,e,ad+ae+de,bd+ce+de,bc,5.如图, abc中，bp、cp是abc的角平分线，mn/bc. 若bc=6cm, amn周长为13cm，求abc的周长.,.“周长问题”的转化 借助“等腰三角形性质”,b,a,c,p,ab+ac+b