工程力学静力学与材料力学-7A-弯曲强度1剪力图与弯矩.ppt

1、第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,7.1 工程中的弯曲构件,7.3 剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图,7.4 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系,7.2 梁的内力及其与外力的相互关系,7.5 结论与讨论,第7章A 弯曲强度(1)剪力图与弯矩图,7.1 工程中的弯曲构件,桥式吊车的大梁可以简化为两端饺支的简支梁。在起吊重量(集中力FP)及大梁自身重量(均布载荷q)的作用下,大梁将发生弯曲。,7.1 工程中的弯曲构件,起重机大梁,火车轮轴支撑在铁轨上，铁轨对车轮的约束，可以看作铰链支座，因此，火车轮轴可以简化为两端外伸梁。由于车厢以及车厢内装载的人与货物的重量，因此，火车轮轴将发生弯曲变形。

2、,7.1 工程中的弯曲构件,火车轮轴,车削工件,7.1 工程中的弯曲构件,7.1 工程中的弯曲构件,“玻璃人行桥” 长约21米，桥道宽约3米，重约485吨，距离谷底约1220米。足以承载两万人的重量，还能承受时速160公里的大风。这座桥是悬臂式设计，为了避免“玻璃人行桥”延伸在外的部分发生倾斜下坠，在岩石中的固定端安放了重达220吨左右的钢管，以保证桥身平衡。,7.1 工程中的弯曲构件,石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部与地面固定成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷作用下，反应塔将发生弯曲变形。,7.1 工程中的弯曲构件,7.1 工程中的弯曲构件,7.1 工程中的弯曲构件,

3、7.1 工程中的弯曲构件,弯曲的概念,1、弯曲：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线在变形后成为曲线的变形形式。,2、梁：主要承受垂直于轴线荷载的杆件 轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。 有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对称梁,3、平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。,4、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。,简支梁,外伸梁,悬臂梁,FAx,FAy,FBy,FAx,FAy,FBy,FAx,FAy,MA,静定梁的基本形式,7.2 梁的内力及其与外力的

4、相互关系,刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡，则其任何局部也必然是平衡的。,总体平衡与局部平衡的概念,7.2 梁的内力及其与外力的相互关系,刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡，则其任何局部也必然是平衡的。,总体平衡与局部平衡的概念,7.2 梁的内力及其与外力的相互关系,FS剪力，平行于横截面的内力合力,M 弯矩，垂直于横截面的内力系的合力偶矩,7.2 梁的内力及其与外力的相互关系,截面上的剪力对所选梁段上任意一点的矩为顺时针转向时，剪力为正；反之为负。,+,_,截面上的弯矩使得梁呈凹形为正；反之为负。,剪力和弯矩,左上右下为正；反之为负,左顺右逆为正；反之为负,7.2 梁的内力及其与外力的相互

5、关系,例7-1 求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。,解： 1、求支反力,2、计算1-1截面的内力,3、计算2-2截面的内力,解：截面法求内力。 1-1截面处截取的分离体 如图（b）示。,图（a）,Q1,A,M1,图（b）,例7-2 求图（a）所示梁1-1、2-2截面处的内力。,2-2截面处截取的分离体如图（c）,图（a）,q,Q2,B,M2,图（c）,梁任一截面上的剪力, 在数值上等于该截面一侧所有横向外力的代数和.,q,梁任一截面上的弯矩, 在数值上等于该截面一侧所有外力(包括力偶)对该截面形心之矩的代数和.,例7-3 求图示外伸梁在截面11、22、33和44横截面上的剪力和弯

6、矩。,解：支反力为,截面11,截面22,截面33,截面44,1、横截面上的剪力和弯矩在数值上由截面左侧或右侧梁段分离体的静力平衡方程来确定。,剪力值=,截面左侧（或右侧）所有外力的代数和,弯矩值=,截面左侧（或右侧）所有外力对该截面形心的力矩代数和,2、截面左侧梁段 向上的外力正剪力正弯矩 顺时针外力偶正弯矩 截面右侧梁段 向上的外力负剪力正弯矩 顺时针外力偶负弯矩,3、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值=集中力大小； 在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值=集中力偶矩大小。,7.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图和弯矩图,例7-5 在图示简支梁AB的C点处作用一集中力F，作该梁的剪力图和弯

7、矩图。,由剪力、弯矩图知：在集中力作用点，弯矩图发生转折，剪力图发生突变，其突变值等于集中力的大小，从左向右作图，突变方向沿集中力作用的方向。,解： 1、求支反力,2、建立剪力方程和弯矩方程,FS 图突变（从左向右,按 P 的方向突变,突变量为 P）； M 图转折（从左向右,按 P 的方向转折）。,【结论 1】在集中力 P 作用处：,由剪力、弯矩图知：在集中力偶作用点，弯矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。,例7-6 在图示简支梁AB的C点处作用一集中力偶M，作该梁的剪力图和弯矩图。,解： 1、求支反力,2、建立剪力方程和弯矩方程,FS 图不变； M 图突变（从左向右，遇顺时针方向的力偶向

8、上突变，突变量为 m ）。,【结论 2】在集中力偶 m 作用处：,悬臂梁受均布载荷作用。,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：任选一截面x ，写出剪力和弯矩方程,依方程画出剪力图和弯矩图,由剪力图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为,例题7-7,7-3 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,例7-8 图示简支梁受均布荷载q的作用，作该梁的剪力图和弯矩图。,解： 1、求支反力,2、建立剪力方程和弯矩方程,弯曲内力,例 图示外伸梁AD，受力 作用。试画出该轴的剪力图和弯矩图，并求Qmax和Mmax。 解：1外力分析：求支座约束反力。研究梁AD，受力分析如图，列平衡方程：,弯曲内力,2内力

9、分析：首先列出各段的剪力方程和弯矩方程， AC：,CB：,BD：,弯曲内力,然后根据上面剪力方程和弯矩方程分区段绘制剪力图和弯矩图，如(a)、(b)图所示。 由图可知：Qmax=3(kN)，Mmax=3(kNm),例题7-9 试列出图示梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。,【结论 3】,q,RB,a,A,B,mB,a,C,解：,1、求支反力,2、写内力方程,3、画内力图,在分布力的起点和终点， FS 、 M 图都有变化。,7.4 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系,考察 dx 微段的受力与平衡,剪力、弯矩与载荷集度之间微分关系的证明,7-4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,Fy=0:,M

10、C=0:,剪力、弯矩与载荷集度之间微分关系的证明,7-4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,略去高阶项，得到,此即适用于所有平面载荷作用情形的平衡微分方程。,根据上述微分方程，由载荷变化规律，即可推知内力FQ 、M 的变化规律。,剪力、弯矩与载荷集度之间微分关系的证明,7-4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,例如，如果两个相邻控制面之间没有外部载荷，则有,平行于x轴的直线,斜直线,如果两个相邻控制面之间作用有均匀分布载荷，则有,斜直线,抛物线,7-4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,均布载荷下 FS ,M 图特点,q0，Fs=常数， 剪力图为水平直线； M(x) 为 x 的一次函数，弯矩图为斜直线。,

11、2. q常数，Fs(x) 为 x 的一次函数，剪力图为斜直线； M(x) 为 x 的二次函数，弯矩图为抛物线。 分布载荷向上（q 0），抛物线呈凹形； 分布载荷向上（q 0），抛物线呈凸形。,3. 剪力Fs=0处，弯矩取极值。,4. 集中力作用处，剪力图突变； 集中力偶作用处，弯矩图突变,7-4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,5、也可通过积分方法确定剪力、 弯矩图上各点处的数值。,从左到右，向上（下）集中力作用处，剪力图向上（下）突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。,从左到右，顺（逆）时针集中力偶作用处，弯矩图向上（下）突变，突变幅度为集中力偶的大小。剪力图在该点没有变化。,7-

12、4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,外力,无外力段,均布载荷段,集中力,集中力偶,Q图特征,M图特征,水平直线,斜直线,自左向右突变,无变化,斜直线,曲线,自左向右折角,自左向右突变,与m同,7-4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,2. 计算支反力, q = 0，FS 图水平直线，M 图直线 求 (FS)A+ 画 FS 图 求 (M)A+ 与 (M) B 画 M 图,应用,利用微分关系画梁的剪力、弯矩图,1. 问题分析,3. 计算剪力与弯矩,4. 画剪力图,5. 画弯矩图,FS 图水平直线,M 图斜直线,4m,4m,4m,3m,A,B,C,D,E,M,q,外伸梁,解：一、求支反力,二、作剪力图,F

13、s,7,3,3,4m,4m,4m,3m,A,B,C,D,E,M,q,Fs,7,3,1,3,BD：水平直线,BE：水平直线,2,三、作弯矩图,M,20,20.5,16,x,m,4m,4m,4m,3m,A,B,C,D,E,M,q,Fs,7,3,1,3,2,M,20,20.5,16,6,6,x,实例：利用微分关系作剪力弯矩图,例 外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的FS-M图。,解： 1、求支反力,2、判断各段FS、M图形状： CA和DB段：q=0，Fs图为水平线， M图为斜直线。 AD段：q0， Fs 图为向下斜直线， M图为上凸抛物线。,3、先确定各分段点的FS 、M值，用相应形状的线条连接。,

14、(kNm),3.8,1.41,2.2,3, 利用微分关系，确定各梁段剪力、弯矩图的形状, 计算各梁段起、终与极值点等控制截面的剪力与弯矩, 将上述二者结合，绘制梁的剪力、弯矩 图, 在集中载荷作用下，梁的剪力与弯矩图一定由直线所构成, 在分布载荷作用下，剪力或弯矩图线的凹凸性，由其二阶导数的正负确定, 微分关系法要点,例题7-11 简支梁受力的大 小和方向如图示。,试画出其剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,求得A、B 二处的约束力 FAy0.89 kN , FBy1.11 kN,根据力矩平衡方程,2确定控制面,在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力 内侧截面均为控制面。即A、C、D、

15、E、F、B截面。,7-4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,3建立坐标系 建立 FSx 和 Mx 坐标系,5根据微分关系连图 线,4应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在 FS x和 Mx 坐标系中。,0.89 kN=,1.11 kN,7-4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,解法2：1确定约束力,FAy0.89 kN FFy1.11 kN,2确定控制面为A、C、D、B两侧截面。,3从A截面左测开始画剪力图。,7-4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,4从A截面左测开始画弯矩图。,从A左到A右,从C左到C右,从D左到D右,从A右到C左,从C右到D左,从D右到B左,从B左到B右,7-4 载荷集度、

16、剪力和弯矩间的关系,例题7-12 试画出梁 的剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,根据梁的整体平衡，由,求得A、B 二处的约束力,2确定控制面,由于AB段上作用有连续分布载荷，故A、B两个截 面为控制面，约束力FBy右侧的截面，以及集中力qa 左侧的截面，也都是控制面。,7-4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,3建立坐标系 建立FSx和Mx坐标系,4确定控制面上的剪力值，并将其标在FSx中。,5确定控制面上的弯矩值，并将其标在Mx中。,7-4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,解法2：1确定约束力,2确定控制面，即A、B、D两侧截面。,3从A截面左测开始画剪力图。,7-4 载荷集度、剪力和弯矩间的关

17、系,4求出剪力为零的点 到A的距离。,B点的弯矩为 -1/27qa/47a/4 +81qa2/32=qa2,AB段为上凸抛物线。且有 极大值。该点的弯矩为 1/29qa/49a/4 =81qa2/32,5从A截面左测开始画弯 矩图,7-4 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,例,一般作剪力图时，从左往右，随力的方向走。,例,例,A端约束力=P,A,B,B端约束力=0,例,P,P ,Fs,例,例,例,例,弯曲内力,叠加原理： 多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。,适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即在弹性限度内满足胡克定律。,叠

18、加原理：当梁在各项荷载作用下某一横截面上的弯矩等于各荷载单独作用下同一横截面上的弯矩的代数和。,叠加法作弯矩图：,设简支梁同时承受跨间荷载q与端部力矩MA、MB的作用。其弯矩图可由简支梁受端部力矩作用下的直线弯矩图与跨间荷载单独作用下简支梁弯矩图叠加得到。即：,按叠加原理作弯矩图,+,注意：这里所说的弯矩叠加，是纵坐标的叠加而不是指图形的拚合。d图中的纵坐标如同M图的纵坐标一样，也是垂直于杆轴线AB。,（1）选定外力的不连续点(如集中力、集中力偶的作用点，分布力的起点和终点等)为控制截面，求出控制截面的弯矩值。 （2）分段画弯矩图。当控制截面之间无荷载时，该段弯矩图是直线图形。当控制截面之间有

19、荷载时，用叠加法作该段的弯矩图。,例 作图示简支梁的弯矩图。,利用内力图的特性和弯矩图叠加法，将梁弯矩图的一般作法归纳如下：,+,+,弯曲内力,例5按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力P作用在梁AB的中点处）。,q,P,P,=,+,A,A,A,B,B,B,=,+,弯曲内力,例1 绘制下列图示梁的弯矩图。,=,+,=,+,2Pa,2Pa,Pa,(1),补充练习题,弯曲内力,(2),q,q,q,q,=,+,=,+,3qa2/2,qa2/2,qa2,弯曲内力,(3),PL/2,=,+,=,+,PL/2,PL/4,PL/2,PL/2,弯曲内力,(4),50kN,20kNm,=,+,=,+,20kNm,50kNm,20kNm,20kNm,20kNm,20kNm,30kNm,20kNm,例2 试用叠加法作梁的弯矩图。,2,弯曲内力,例,画组合梁的剪力与弯矩图,解：1. 问题分析, 组合梁，需拆开,