第三章-振动和波

1、第三章 振动和波当飞机以超过音速的速度飞行，飞机所发出的音波无法跑在飞机前方，全部叠在机身后方，形成了音爆(sonic boom)，这种波传到时，我们会听到一声轰然巨响。在飞机正好要加速穿过音障(sound barrier)时， 在飞机的周围有时会有一团云雾形成。这是一架F/A-18大黄蜂战机穿过音障的瞬间。振动是物体一种普遍的运动形式。物体在平衡位置附近的往复运动叫做机械振动，将机械振动范围这一概念加以推广，对描述物体运动状态的物理量在某一数值附近来回往复的变化时，均可称该物理量在振动。如电路中电压、电流、电路中的电场强度和磁场强度等也都可能随时间作周期性的变化，这种变化也称为振动电磁振动。

2、各种振动本质不同，基本规律相同。振动可分为自由振动和受迫振动。自由振动又包括阻尼自由振动和无阻尼自由振动（简谐运动）。波动是振动状态在空间的传播，它是物质的一种特殊的运动形式。常见的波有两大类:机械波和电磁波。近代物理研究发现，微观粒子具有二相性-波动性和粒子性，因此研究微观粒子的运动规律时，波动概念也是很重要的基础。各种波的本质不同，传播机理不同，但其基本传播规律相同。本章主要讨论机械振动和机械波的概念和规律，其规律可推广到一般振动和波动。简谐运动是一种最简单、最基本的振动，复杂振动可以看成是由若干简谐运动组成的。 描述简谐运动的三个特征量是振幅、周期和相位。简谐运动物体的速度、加速度也是随

3、时间变化的周期性函数， 除解析方法外，简谐运动也可以用曲线法和旋转矢量法表示。简谐运动过程中存在着势能与运动动能的相互转化，总机械能守恒。 简谐运动是一种最简单、最基本的振动，复杂振动可以看成是由若干简谐运动组成的。当描述物体的变量如位移 x(t)满足运动方程时，其解可以表示为 x = A cos (wt+j)，这种用时间t的正弦或余弦函数来描述的运动，叫做简谐振动或简谐运动（simple harmonic motion），上述两式分别叫做简谐运动的微分方程和积分方程。下图是简谐运动的位移随时间的变化曲线A表示物体离开平衡位置的最大位移的绝对值，称为简谐运动的振幅(amplitude)wt+j

4、是决定作简谐运动物体在任一时刻运动状态的物理量，称为简谐运动的相位（phrase），t=0时的相位j称为初相位，两振动相位的差称为相位差，用于比较同频率的作简谐运动物理量的步调，当相位差为零（或2p的整数倍）时，二者同相，当相位差为p（或p的奇数倍）二者反相，相位差为其它值，二者不同相。振幅及初相位由初始条件决定；物体作简谐运动周而复始完全振动一次所需的时间叫做简谐运动的周期（period），用T 表示，T=2p/w，单位时间内物体完成全振动的次数叫做简谐运动的频率（frequency），用n表示，n=1/T=w/2p，w=2pn 称为简谐运动的角频率（angular frequency），简

5、谐运动的周期、频率、圆频率是由振动系统本身的性质决定的，称为振动系统的固有周期、固有频率、固有圆频率。简谐运动也可定义为当物体所受的合力F与它相对于平衡位置的位移x成正比而方向相反即F=-kx时，物体的运动为简谐运动。简谐运动物体的速度、加速度简谐运动位移 x = A cos (wt+j)简谐运动速度 v=dx/dt= -wAsin(wt+j)=wAcos(wt+j+p/2)简谐运动加速度 a=d2x/dt2=-w2Acos(wt+j)= w2Acos(wt+j+p)x、v、a振动步调不一致，v振动超前x振动p/2、a振动超前v 振动p/2 简谐运动物体的速度加速度简谐运动的旋转矢量表示法：矢

6、量长度 = A，A称为振幅矢量；t = 0时A与x轴的夹角为j；A以w为角速度绕O点逆时针匀速转动；t时刻A与x轴的夹角为wt+j；A在ox轴上的投影为x = A cos (wt+j)为简谐运动。简谐运动的旋转矢量表示法振动系统的能量简谐运动位移方程 x = A cos (wt+j) 振动系统的势能 Ep=(1/2)kx2=(1/2)kA2cos2(wt+j)振动系统的动能 Ek=(1/2)mv2=(1/2)mw2A2sin2(wt+j) 振动系统的总能量 E=Ek+Ep=(1/2)kA2 振动过程中，动能和势能不断相互转化，机械能守恒。振动系统的能量以上讨论的是物体在弹性力的作用下，不受任何

7、阻力、作简谐运动的情况。作简谐运动的物体机械能守恒，物体将以不变的振幅永远振动。实际上，任何振动系统都要受到阻力的作用，振动系统要不断克服阻力做功，其能量逐渐减少，因而振幅也不断减小，以至于零，物体停止振动，这种振动叫阻尼振动（dampedvibration）。阻尼振动方程为 w0为振动系统的固有频率，b为阻尼系数弱阻尼：bw0，此时物体以非周期性运动的方式缓慢地回到平衡位置。临界阻尼：当b=时，物体以最快的速度回到平衡位置，又刚刚不作往复运动，这种阻尼称为临界阻尼。受迫振动：振动系统受到阻尼作用会最终停止振动。要想获得一个持续稳定的等幅振动，必须对阻尼振动系统施加周期性外力驱动力，驱动力不断

8、做功给振动系统增加能量。振动系统在驱动力作用下的振动叫受迫振动（forced vibration）。受迫振动达到稳定状态时，其等幅振动的角频率就是驱动力的角频率。驱动力的角频率为某一值时，振幅达到极大，这一现象叫做共振（resonance）。共振时驱动力的角频率称为共振角频率，其值为 b越小，共振频率越接近于振动系统的固有频率w0，共振振幅也越大。 共振是一种非常普遍的现象，广泛存在于声学、光学、无线电、原子物理及核物理等学科，并在工程技术、科学研究和医疗检测等领域得到广泛的应用。共振也有不利的一面，例如共振时因为系统振幅过大，会造成建筑物回仪器设备的损坏。当一物体同时参与两个或多个振动时，该

9、物体的运动是几个振动的合成。根据被合成的两个简谐运动的特点可以将振动的合成分为以下几种情况：(A)同方向、同频率简谐运动的合振动仍是简谐运动，其频率与分振动的频率相同，振幅及初位相分别由两分振动的振幅和初位相决定；(B)同方向不同频率的简谐运动的合振动情形比较复杂，一般不再是简谐运动。当两个分振动的振幅相同，频率都较大且其差值很小时，产生拍现象；(C)垂直方向同频率简谐运动的合振动轨迹是椭圆，其具体形状决定于二分振动的相差和振幅 ；(D)垂直方向不同频率简谐运动的合振动比较复杂，而且轨迹是不稳定的。特殊情况下，当两振动的频率只有很小的差异，可以近似地看作是同频率的合成，但相位差在缓慢地变化，因

10、此合振动将按同频率垂直振动合成轨迹的形状依次缓慢变化；若两振动的频率成简单整数比，则轨迹为稳定的闭合曲线，称李萨如图。同方向、同频率简谐运动的合成同方向、同频率简谐运动的合成仍是简谐运动，其频率与分振动的频率相同，振幅及初位相分别由两分振动的振幅和初位相决定。以下讨论两个振动的合成。设同方向同频率的两个简谐振动的表达式分别为 x1 = A1cos (w t + j1)x2 = A2cos (w t + j2)合振动的表达式为 合振动的振幅 合振动的初相 同方向不同频率的简谐运动的合成同方向不同频率的简谐运动的合振动比较复杂，当分振动的频率都是其中一个最低频率的整数倍，合振动是周期性的振动，其频

11、率等于那个最低的频率。讨论以下特殊情形。设两分振动的表达式分别为 x1 = Acos (w1 t + j)x2 = Acos (w2 t + j)合振动的位移为合振动不再是简谐运动。当(w2-w1)(w2+w1)时，可看成是振幅为，角频率为 的近似谐振动。因振幅随时间呈缓慢的周期性变化，所以振动出现忽强忽弱的现象，称为拍（beat）现象，单位时间内振动加强或减弱的次数称为拍频（beat frequency），拍频等于两分振动的频率之差。 垂直方向简谐运动合成动画 垂直方向同频率简谐运动的合成 以下讨论相互垂直的两个简谐振动的合成。 设两个垂直方向同频率的简谐运动的表达式分别为： x = A1c

12、os (w t + j1) y = A2cos (w t + j2) 则合运动的轨迹方程为合运动一般是在2A1 (x 向)、2A2 (y 向) 范围内的一个椭圆 ，椭圆的性质(方位、长短轴、左右旋) 在A1、A2确定之后，主要决定于 Dj = j2 - j1 。 垂直方向不同频率简谐运动的合成两个相互垂直的不同频率简谐运动的合运动情形比较复杂，轨迹曲线一般不稳定(随t变化)，也不一定闭合。常见的简单情形如下， 若两分振动频率相差很小，则可以近似地看作是同频率的合成，但相位差随t在不断地缓慢变化，于是合运动轨迹将按同频率垂直振动合成曲线的形状依次缓慢变化。若两振动的频率成简单整数比，则轨迹为稳定

13、的闭合曲线， 称为李萨如图，图形的具体形状和两分振动频率的比值及初位相差有关。如果已知一个振动的周期，就可以根据李萨如图形求出另一个振动的周期，这是一种方便、常用的测定频率的方法。机械振动在媒质中的传播形成机械波，机械波的产生必须有波源及传播媒质。按照质元的振动方向及波的传播方向可划分为横波和纵波。描述波动的物理量为波长l、波的周期T 及频率n、波速u。为研究问题方便，在真实波动中抽象出理想模型平面波和球面波。平面简谐波是最简单、最基本的波动，在这种波的传播过程中，媒质的每一个质元都做简谐运动。一切复杂的平面波，利用傅立叶级数，都可以分解成若干平面简谐波。平面简谐波方程给出了距波源为任意 x

14、处的任一质元，在任一时刻的位移。波在媒质中传播时，媒质中的各个质元都在平衡位置附近振动，因而具有一定的振动动能，同时，各质元又发生形变，所以又具有一定的弹性势能，这样随着振动的传播就有机械能的传播。因此波动的传播是波形及能量的传播，各质元都在各自的平衡位置附近振动，而不是沿传播方向流动。波动过程中能量的传播的强弱用能流密度来表示。横波和纵波：媒质中各质元的振动方向与波的传播方向垂直的波，叫做横波（ transverse wave），如绳波等；媒质中各质元的振动方向与波的传播方向平行的波，叫做纵波（longitudinal wave），如声波等。横波和纵波是最简单的波，其它的机械波如水波、地震波

15、等就比较复杂，但一般可分解为横波和纵波。横波的传播纵波的传播波的波长、周期、频率、波速：两个相邻的振动位相相同的点之间的距离为一个波长( wavelength)，波长反映了波在空间的周期性；波的周期和频率反映了波在时间上的周期性，波的周期(wave period)是波动传播一个波长所需要的时间，单位时间内传播的完整的波的数目为波的频率(wave frequency)。波速(wave velocity)是单位时间内波传播的距离，它主要决定于媒质的性质和波的类型(横波、纵波)，与频率、波长等无关。它们之间的关系为u =l / T = ln。平面波和球面波：波在媒质中传播时，各质元的相位关系及传播方

16、向常用几何图形加以描述，为此引入点波源、波线、波面、波前等概念。当波源的性质大小可被忽略时，称为点波源；沿波的传播方向的射线称为波线(wave ray)；某一时刻波动到达各点连成的面，即位相相同的点组成的平面称为波面(wave surface)，离波源最远即最前面的波面叫做波前(wave front)；波前为平面的波称为平面波(plane wave)，波前为球面的波称为球面波(spherical wave)。显然，点波源，平面波及球面波都是真实波动的理想近似。平面简谐波方程设振幅为A，角频率为w，波长为l的平面简谐波沿轴正向传播，则距波源为处的任一质元，在任一时刻的位移为 y=Acos（wt+

17、j-2px/l）该式即为沿 x 轴正向传播的平面简谐波方程方程的物理意义：1.x为常数，此时位移y仅是时间t的函数，即 y =Acos（wt+j-2px0/l）表示平衡位置在x0处质元的振动方程，其中j-2px0/l为该质元振动的初位相。2. t为常数，此时位移y仅是x的函数，即y=Acos（wt0+j-2px/l）表示介质中各质元离开它们平衡位置的位移分布。3.沿坐标轴负方向传播的平面简谐波方程为y=Acos（wt+j+2px/l）波的能量设均匀介质密度为r，小质元体积为dV，平面简谐波方程为y=Acos w(t-x/u)则该质元在时刻的动能为 dEk=（1/2）rdVw2A2sin2w(t

18、-x/u)，势能为 dEp=（1/2）rdVw2A2sin2w(t-x/u)该质元的总机械能 dE = dEk+dEp=rdVw2A2sin2w(t-x/u)显然，该质元的机械能是不守恒的，它随着时间按正弦平方的函数关系变化，即能量以波的形式传递着。能量密度：波传播时，单位体积媒质具有的能量叫波的能量密度（energy density），用e 表示，媒质中x处在时刻的能量密度为 e =dE/dV =rw2A2sin2w(t-x/u)能量密度表示媒质中能量的分布情况。能量密度在一个周期内的平均值叫平均能量密度 为了描述波动过程中能量的传播，引入能流密度（energy flux）：它是指单位时间通

19、过垂直于波的传播方向单位面积的平均能量，用表示（图） I =（1/2）rw2A2uI是一个矢量，方向与波速一致，表示成矢量形式 I =（1/2）rw2A2u 能流密度是波的强度的量度。上述公式对各种弹性波均适用 。惠更斯原理是用来解决波的传播方向的问题的。介质中任一波前上的各点，都可以看作是发射子波的波源，其后任一时刻，这些字波的包迹就是新的波前。这就是惠更斯原理（Huygens principle）。根据惠更斯原理，已知波动某一时刻的波前，用几何作图的方法可求出下一时刻的波前，进而可确定波的传播方向。如图是平面波及球面波实例(图中媒质均匀各向同性，各子波都是以波速u向外扩展的球面波)。应用惠

20、更斯原理可以解释波的衍射现象，波的衍射是指波在传播过程中遇到障碍物时，其传播方向发生改变，能绕过障碍物的边缘继续前进的现象。缝宽大于波长，缝上各点可看作是新的子波波源，缝宽小于波长，缝成了单独的振动中心。应用惠更斯原理还可以解释波的反射及折射规律。惠更斯原理没有说明子波的强度分布，因而只能解决波的传播方向问题，菲涅耳补充发展了惠更斯原理，形成惠更斯-菲涅耳原理，给出了衍射现象波的强度分布，将在波动光学中详细讨论。实验和研究表明，若有几列波同时在媒质中传播，遵循波的叠加原理。任意的两列（几列）波叠加的情况是很复杂的，但如果这两列波满足一定的条件，则相遇区域内将产生波的干涉现象。本节主要讨论一种特

21、殊情况下的干涉现象驻波。驻波通常是由入射波和它在界面的反射波叠加而成，反射端为固定端时，由于半波损失，反射处形成波节，反射端为自由端时，反射处形成波腹。在反射处出现波腹还是波节，取决于波的性质和媒质的性质。波的叠加原理：几列波同时在介质中传播，不论相遇与否，各自保持它们原有的特性（频率、波长、振幅、振动方向等）不变，不受其它波的影响；在相遇区域内任一质点的振动为各个波在该点引起振动的合成，这一规律称为波的叠加原理或波的独立传播原理。例如，几个人同时说话时，我们能够分辨出各个人的声音；空气中有许多无线电波在传播，我们能够随意接收到某一电台的广播，都是波的独立传播的例子。波的叠加原理在波的强度较小

22、时才正确，对于强度很大的波不再成立。例如强烈的爆炸时，声波间就有相互作用。波的干涉现象：两列或几列波在相遇区域内波的强度有稳定的分布，即有些地方振动始终加强，有些地方振动始终减弱，这种现象称为波的干涉（interference of wave）。形成波的干涉现象的波叫做相干波（coherent wave），形成相干波的条件叫做相干条件，即振动方向相同；频率相同；在空间各点保持固定的位相差。驻波（standing wave）：振幅相同、传播方向相反的两列简谐相干波叠加得到的振动。设有两列简谐波，分别沿轴正方向和负方向传播，它们的表达式为y1=Acos（wt-2px/l）y2=Acos（wt+2p

23、x/l）合成波为 y= y1+y2=2Acos（2px/l）coswt此式就是驻波方程。可见，各质元都以圆频率w按余弦规律振动，它们的振幅|2Acos2px/l|不同，且随x作周期性的变化，振幅最大的各点称为波腹（wave loop），波腹的位置为x=kl/2，k=0，1，2振幅最小的各点称为波节（wave node），波节的位置为x=(k+1/2)l/2，k=0，1，2相邻两波节间各质元振动同相位，即振动状态相同，同一波节两侧各点振动反相，振动步调相反。驻波中没有振动状态或相位的传播，也没有能量的定向传播，因此称之为驻波。半波损失：入射波反射时，在反射处为波节表明反射波和入射波位相相反，即反

24、射使位相发生了p的突变，由于p的位相突变相对于反射波损失（或附加）了半个波长，这种现象称为半波损失。一般情况下，入射波在两种介质分界处反射时是否发生半波损失取决于波的性质、媒质的性质及入射角。在垂直入射时，由媒质的密度r和波速u的乘积r u决定，相对来讲，ru较大的媒质称为波密媒质，ru 较小的媒质称为波疏媒质，当波从波疏媒质入射到波密媒质的分界面反射时，即r1u1r1 u1，无半波损失，反射处为波腹。在空气中传播的机械波，若其频率在20Hz20000Hz之间，能引起人的听觉，称为声波（sound wave）。频率低于20Hz的叫次声波，频率高于20000Hz的叫超声波。声波是纵波。媒质中有声

25、波传播时的压力与无声波传播时的压力之差称为声压（sound pressure）。对于平面简谐声波，声压p为 p=-ruwAsin（wt-x/u）声压的幅值为 pm=ruwA声波的平均能流密度称为声强（sound intensity），其值为引起人的听觉的声波，不仅有一定的频率范围，还需有一定的声强范围。频率在20Hz和20000Hz之间的机械波，人耳能听到的最低强度称为可闻强度；当声强增大到一定程度，人耳失去了声音的感觉，只有触痛感觉，这一强度称为痛觉强度。人耳可以听到的声强范围极为宽广，例如，频率为1000Hz的声波，可闻强度为10-12W/m2，痛觉强度为1W/m2，由于声强变化范围太大，

26、使用不方便，因此引入声强级（intensity level）L来描述声波的强弱，取10-12W/m2的声强作为标准声强I0，声强I 与标准声强I0之比的对数称为声强I 的声强级，用L表示 L的单位为贝尔（B），常用单位是分贝（dB），1B=10dB。引起痛觉：120 dB；繁忙街道：70 dB； 正常谈话 60 dB； 耳语20 dB； 树叶沙沙响：10 dB。人耳对声音强弱的主观感觉称为响度，响度与声强级成正比，这也是引入声强级的原因。当列车进站时，我们听到汽笛声不仅越来越大，而且声调升高；列车离去时，汽笛声不仅越来越小，而且声调降低点击见演示。反之，若声源未动而观察者运动，或者声源和观察者

27、都在运动，也会发生观测频率与波源频率不一致的现象。由于波源或观察者的运动而出现观测频率与波源频率不同的现象，称为多普勒效应(Doppler effect)。是由奥地利物理学家多普勒(J.C.Doppler 1803-1853) 在1842年发现的。除了光波和声波外，多普勒频移也存在于其它类型的波中。如图所示，波源发出的波阵面不断向四周传播。波阵面相对静止介质向外传播的速度就是波速V；而相临的两个波阵面之间的距离表示波长l；波源振动的频率为n=V /l。观察者接收到的波速、波长分别为V及l；相应的频率为n=V/l。下面分几种情况讨论。 一、 波源静止而观察者运动 观察者相对于介质以速度V0向波源

28、运动时，测量到的波长不变l=l。但是观察者相对介质以速度V0向波源运动，所以他测量到的波速应为V=V +V0。故观察者接收到的频率为 式中n=V /l。即观察者向波源运动时，观察者接收到的频率高于波源频率。 二、 观察者静止而波源运动 当波源以速度Vs向右运动时，运动波源前方的波阵面受到压缩，而其后方的波阵面被扩展了；相对于静止的观察者来说，波向各个方向传播的波速V都是相等的。即对静止的观察者，运动波源的波速不变V=V，但接收到的波长发生了改变（由l变为l）。由于波源在每一个振动周期T（T =1/n）内发出一波峰，因此在波源发出另一波峰前，已发出的每一波峰向右移动了一距离VT。但是，波源也在介

29、质中以速度Vs向右运动，因此下一个波峰在其前一个波峰后面VT -VsT处被发射。故介质中波的波长等于在波源的一个振动周期中波传播的距离VT 减波源移动的距离VsT： l=VT -VsT 于是观察者接收到的频率为 即波源向观察者运动时，观察者接收到的频率高于波源频率。点击见演示 三、 观察者和波源在同一直线上运动 根据上面两种情况的讨论，可以求出观察者和波源都在运动（相向运动）时观察者接收到的频率为 4、她们宁可做一时的女王，不愿一世的平庸。5、男人插足叫牛逼，女人插足叫小三。6、你要成佛成仙，我跟你去，你要下十八层地狱，我也跟你去。你要投胎，我不答应！7、忘川之畔，与君长相憩，烂泥之中，与君发相缠。寸心无可表，唯有魂一缕。燃起灵犀一炉，枯骨生出曼陀罗。8、如果还有机会的话，我一定会让你回到我的身边，我不想让你和别人结婚。9、每个人心里都有脆弱的一面，如果放大这种脆弱的话，没人想活。10、我做了一个很伟大的决定，看你这么可怜，又没有朋友，我们做朋友吧！11、我不该只是等待，我应该去寻找。12、哪怕再花上七十年，七百年，我想我肯定会找到他！13、恶鬼：你敢打我！夏冬青：你都要吃我了，我还不能打