数值分析学期期末考试试题与答案(A)

1、期末考试试卷（A卷）2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟学号 姓名 年级专业 题号一二三四总分123456得分评阅人一、判断题（每小题2分，共10分）1. 用计算机求时，应按照从小到大的顺序相加。 （ ）2. 为了减少误差,应将表达式改写为进行计算。 （ ）3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。 （ ）4. 采用龙格库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（ ）5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。 （ ）二、填空题（每空2分，共36分） 1. 已知数a的有效数为

2、0.01，则它的绝对误差限为_，相对误差限为_.2. 设则_，_，_.3. 已知则 , .4. 为使求积公式的代数精度尽量高，应使 ， ， ，此时公式具有 次的代数精度。5. 阶方阵A的谱半径与它的任意一种范数的关系是 . 6. 用迭代法解线性方程组时，使迭代公式产生的向量序列收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组时，系数矩阵可以分解为下三角矩阵和上三角矩阵的乘积，即 若采用高斯消元法解，其中，则_，_；若使用克劳特消元法解，则 _；若使用平方根方法解，则与的大小关系为_（选填：，=，不一定）。8. 以步长为1的二阶泰勒级数法求解初值问题的数值解，其迭代公式为_.三、计算题（第1

3、3、6小题每题8分，第4、5小题每题7分，共46分）1. 以为初值用牛顿迭代法求方程在区间内的根，要求（1） 证明用牛顿法解此方程是收敛的；（2） 给出用牛顿法解此方程的迭代公式，并求出这个根（只需计算 计算结果取到小数点后4位）。2. 给定线性方程组（1） 分别写出用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组的迭代公式；（2） 试分析以上两种迭代方法的敛散性。3. 已知函数在如下节点处的函数值-10121430（1） 建立以上数据的差分表；（2） 根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式，并计算的近似值；（3） 采用事后估计法计算（2）中近似值的截断误差（结果保留四位小数）。4.

4、已知如下数据表，试用最小二乘法求它的二次最小平方逼近多项式。x-1012y12505. 已知函数在以下节点处的函数值，利用差商表求和的近似值。x134y2186. 写出前进欧拉公式、后退欧拉公式，并由这两个公式构造一个预估校正公式求解下列常微分方程的数值解。四、（8分）已知n+1个数据点，请用多种方法建立这些数据点之间的函数关系，并说明各种函数的适用条件。期末考试答案及评分标准（A卷）2007学年第二学期 考试科目： 数值分析一、判断题：（每小题2分，共10分）1. 2. 3. 4. 5. 二、填空题：（每空2分，共36分）1. 或 ， 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 或 三、解答题

5、（第14小题每题8分，第5、6小题每题7分，共46分）1. （1）证明：，由于a)b)c) 即在上不变号，d) 对于初值，满足所以用牛顿迭代法求解此方程是收敛的。4分（2）解：牛顿迭代法的迭代公式为2分取初值进行迭代，得1分1分2. 解：（1）Jacobi迭代公式为 2分Gauss-Seidel迭代公式为2分（2）Jacobi迭代矩阵的特征方程为，展开得，即 ，从而得 ，（或由单调性易判断必有一个大于1的特征根，）因此迭代矩阵的谱半径等于必大于1，所以Jacobi迭代法发散。 2分Gauss-Seidel迭代矩阵的特征方程为，展开得，解得迭代矩阵的谱半径小于1，所以Gauss-Seidel迭代

6、法收敛。2分3. 解：（1）建立差分表 2分（2）建立牛顿后插公式为则所求近似值为 3分（3）根据前三个节点建立牛顿后插公式为则 根据事后误差估计法故截断误差 3分4. 解：设所求二次最小平方逼近多项式为 根据已知数据，得2分则1分建立法方程组为2分解得1分从而得所求一次最小平方逼近多项式为1分5. 解：设为已知节点数据的插值二次多项式。构造如下差商表：一阶差商二阶差商2分因为二次多项式的二阶差商为常数，又是的插值函数，故有2分而，因此得，1分由于，从而得2分6. 解：前进欧拉公式：1分后退欧拉公式： 1分预估时采用欧拉公式1分校正时采用后退欧拉公式1分由初值知，节点分别为当 ，1分当.1分当.1分当.1分当.四、（8分）答：1、可以建立插值函数：（1）Newton基本差商公式1分（2）Lagrange插值多项式其中.1分这两类插值函数的适用条件是：n