2020-2021学年高三数学一轮复习知识点专题6-4 数列求和（含答案）

1、2020-2021学年高三数学一轮复习知识点专题6-4 数列求和（含答案）专题6.4 数列求和【考情分析】1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法。【重点知识梳理】知识点一 求数列的前n项和的方法(1)公式法等差数列的前n项和公式Snna1d等比数列的前n项和公式()当q1时，Snna1；()当q1时，Sn.(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广(5)错

2、位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.知识点二 常见的裂项公式(1).(2).(3).【典型题分析】高频考点一 分组转化求和【例1】（2020天津卷）已知为等差数列，为等比数列，（）求和的通项公式；（）记的前项和为，求证：；（）对任意的正整数，设求数列的前项和【答案】（），；（）证明见解析；（）.【解析】()设等差数列的公差

3、为，等比数列的公比为q.由，可得d=1.从而的通项公式为.由，又q0，可得，解得q=2，从而的通项公式为.()证明：由()可得，故，从而，所以.()当n奇数时，当n为偶数时，对任意的正整数n，有，和 由得 由得，由于，从而得：.因此，.所以，数列的前2n项和为.【方法技巧】分组法求和的常见类型(1)若anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组法求an的前n项和(2)通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比或等差数列，可采用分组法求和 【变式探究】(2019天津高考)设是等差数列，是等比数列。已知.（）求和的通项公式；（）设数列满足其中.（i）求数列的通项公式；（ii）求.【答

4、案】（）；（）（i）（ii）【解析】 ()设等差数列的公差为，等比数列的公比为.依题意得，解得，故，.所以，的通项公式为，的通项公式为.()(i).所以，数列的通项公式为.(ii).高频考点二 错位相减求和 【例2】（2020新课标）设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和【答案】（1）-2；（2）.【解析】（1）设的公比为，为的等差中项，；（2）设的前项和为，得，.【举一反三】（2020新课标）设数列an满足a1=3，（1）计算a2，a3，猜想an的通项公式并加以证明；（2）求数列2nan的前n项和Sn【答案】（1），证明见解析；（2）.【解析】（1）

5、由题意可得，由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，证明如下：当时，成立；假设时，成立.那么时，也成立.则对任意的，都有成立；（2）由（1）可知，由得：，即.【举一反三】(2019高考天津卷)设an是等差数列，bn是等比数列，公比大于0.已知a1b13，b2a3，b34a23.(1)求an和bn的通项公式；(2)设数列cn满足cn求a1c1a2c2a2nc2n(nN*)【解析】 (1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.依题意，得解得故an33(n1)3n，bn33n13n.所以an的通项公式为an3n，bn的通项公式为bn3n.(2)a1c1a2c2a2nc

6、2n(a1a3a5a2n1)(a2b1a4b2a6b3a2nbn)(631123218336n3n)3n26(131232n3n)记Tn131232n3n，则3Tn132233n3n1，得，2Tn332333nn3n1n3n1.所以a1c1a2c2a2nc2n3n26Tn3n23(nN*)【方法技巧】(1)如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公

7、比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解同时要注意等比数列的项数是多少【变式探究】(2020河南省郑州市模拟)已知数列an中，a11，an0，前n项和为Sn，若an(nN*，且n2)(1)求数列an的通项公式；(2)记cnan2an，求数列cn的前n项和Tn.【解析】(1)在数列an中，anSnSn1(n2)，因为an，且an0，所以得1(n2)，所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列，所以1(n1)1n，所以Snn2.当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1，当n1时，a11，也满足上式，所以数列an的通项公式为an2n1.(2)由(1)知，an2n1，所以cn(2n1)22n1

8、，则Tn12323525(2n1)22n1，4Tn123325527(2n3)22n1(2n1)22n1，两式相减得，3Tn22(232522n1)(2n1)22n1，22(2n1)22n122n1，所以Tn.高频考点三 裂项相消求和【例3】（2020浙江卷）已知数列an，bn，cn中，（）若数列bn为等比数列，且公比，且，求q与an的通项公式；（）若数列bn为等差数列，且公差，证明：【答案】（I）；（II）证明见解析.【解析】（I）依题意，而，即，由于，所以解得，所以.所以，故，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.所以（）.所以（II）依题意设，由于，所以，故.所以.由于，所以，所以.

9、即，.【举一反三】【2019浙江卷】设等差数列的前n项和为，数列满足：对每个成等比数列（I）求数列的通项公式；（II）记 证明：【答案】（I），；（II）证明见解析.【解析】（I）设数列的公差为d，由题意得，解得从而所以，由成等比数列得解得所以（II）我们用数学归纳法证明（i）当n=1时，c1=02，不等式成立；（ii）假设时不等式成立，即那么，当时，即当时不等式也成立根据（i）和（ii），不等式对任意成立【方法技巧】常见的裂项方法数列(nN*)裂项方法(nN*)(k为非零常数)()其中a0，且a1logaloga(n1)logan【方法技巧】裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止 (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项。【变式探究】(2020湖北武汉调研)已知等差数列an的前三项