13.5.3 角平分线

1、13.5 逆命题与逆定理,第13章 全等三角形,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,八年级数学上（HS） 教学课件,3.角平分线,1.会叙述角平分线的性质及判定;（重点） 2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和 掌握角平分线性质定理和它的逆定理能应用这两个性 质解决一些简单的实际问题;（难点） 3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理 证明意识和能力,学习目标,在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处,导入新课,问题情境,讲授新课,如图，点P是AOB的角平分线OC上的任意一点，且PDOA

2、于点D，PEOB于点E，将AOB沿OC对折，你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程,对折后PD、PE能够完全重合，PD=PE,角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么,下面我们来证明刚才得到的结论,已知:OC平分AOB, P是OC上任意一点,PDOA,PEOB . 求证:PD=PE,证明: OC平分AOB, P是OC上一点， DOP=BOP. PDOA,PEOB ， ODP=OEP=90. 在OPD和OPE 中， DOP=EOP ,ODP=OEP ,OP=OP, OPDOPE (A.A.S.). PDPE（全等三角形的对应边相等,由上面证明，我们得到角平分线的性质定理,角平分线上的点到角两边的距

3、离相等,这一定理描述了角平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢,写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现,一个点在角的平分线上,这个点到这个角两边的距离相等,一个点到角两边的距离相等,这个点在这个角的平分线上,想想看，这个逆命题是否是一个真命题？你能证明吗,逆命题 如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上,分析：为了证明点P在AOB的平分线上，可以先作射线OP，然后证明RtPDORtPEO，从而得到AOP=BOP,已知：如图，PDOA，PEOB，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证：点P在AOB的角平分线上,点P在AOB的平分线上,判定定理： 角的内部到角两边距离相等

4、的点在角的平分线上,应用所具备的条件,定理的作用：判断点在角平分线上,角平分线的判定定理与性质定理互为逆定理,利用尺规作三角形的三条角平分线，你发现了什么,发现：三角形的三条角平分线交于一点,做一做,怎样证明这个结论呢,点拨：要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下,试试看，你会写出证明过程吗,D,E,I,G,例 如图，ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 求证：点P也在A的平分线上,N,M,典例精析,证明：过点P作PDAB，PEBC， PFAC,垂足分别为D、E、F. BM是ABC的角平分线，点P在BM上（已知）, PD

5、=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）. 同理 PE=PF. PD=PF（等量代换）. 点P在A的平分线上, 即点P到AB、BC、CA三边的 距离相等,E,D,F,M,N,当堂练习,1.如图, DEAB, DFBC, 垂足分别是E, F, DE =DF, EDB= 60, 则 EBF= ，BE=,60,BF,A,B,C,D,E,F,2.如图, ABC中, C=90, DEAB, CBE= ABE, 且AC=6cm, 那么线段BE是ABC的 ，AE+DE=,C,角平分线,6cm,3.已知：如图，ABC中，C=90，AD是ABC的角平分线，DEAB于E，F在AC上,BD=DF. 求证：CF=EB,证明：AD平分CAB, DEAB，C90（已知）, CDDE (角平分线的性质). 在RtCDF和RtEDB中, CD=ED（已证）, DF=DB （已知）, RtCDFRtEDB (H.L.).