夹半角的模型[教学材料]

1、3夹半角知识目标目标一：掌握夹半角的常见辅助线和常见结论；目标二：掌握夹半角模型的构造及应用模块一 夹半角的模型知识导航 夹半角模型是初二全等几何另一个非常重要的模型，其证明过程值巧妙，图形变化之丰富，还能与很多知识点（如角平分线定理，勾股定理）相结合，是很多区、校大型考试压轴题中的常客。其辅助线的思路有两种：一是截长补短，二是旋转。学会截长补短可以解决基本问题，而理解旋转才能真正理解这种模型夹半角模型分类：（1）90度夹45度；（2）120度夹60度；（3）2夹题型一 90度夹45度【例1】 如图，在四边形ABCD中，BAD=B=C=D=90，AB=BC=CD=AD，E在BC上，F在CD上，

2、且EAF=45，求证：（1）BE+DF=EF（2）AEB=AEF【练】在例1的条件下，若E在CB延长线上，F在DC延长线上，其余条件不变，证明：（1）DF-BE=EF；（2）AEB+AEF=180【例2】已知ABC为等腰三角形，ACB=90，M、N是AB上的点，MCN=45，求证：AM2+BN2=MN2【练】在例2中，若M在BA延长线上，N在AB上，其余条件不变，试探究AM、BN、NM之间的关系【知识扩充】勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方夹边角和勾股定理结合会产生很多有趣的结论，比如：【变式1】如图，在四边形ABCD中，BAD=B=C=D=90，AB=BC=CD=ADF为CD

3、中点，点E在BC上，且EAF=45，求证：点E为线段BC靠近B的三等分点【变式2】如图，在四边形ABCD中，BAD=B=C=D=90，AB=BC=CD=ADF为CD中点，点E在BC上，点E为线段BC靠近B的三等分点，求证：EAF=45【变式3】已知ABC为等腰直角三角形，ACB=90，CDAB于D，M是AD的中点，在CM的右侧作MCN=45交BD于点N，求证：N是线段BD靠近D的三等分点【变式4】已知ABC为等腰直角三角形，ACB=90，CDAB于D，M是AD的中点，N是线段BD靠近D的三等分点，求证：MCN=45题型二 120度夹60度【例3】已知如图，ABC为等边三角形，BDC=120，D

4、B=DC，M、N分别是AB、AC上的动点，且MDN=60，求证：MB+CN=MN【练】如图，四边形ABCD中，A=BCD=90，ADC=60，AB=BC，E、F分别在AD、DC延长线上，且EBF=60，求证：AE=EF+CF【拓】（汉阳12期中）在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、ND为ABC外一点，且MDN=60，BDC=120，BD=DC探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系以及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系（1）当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是_；此时=_；（不必证明）（2） 当点M

5、、N在边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（1）问的两个接刘海成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3） 当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=2，则Q=_（用含有L的式子表示）题型三 2夹【例4】如图，在四边形ABDC中，M、N分别为AB、AC上的点，若BAC+BDC=180，BD=DC，MDN=BDC，求证：BM+CN=MN【练】如图，在例4的条件下，若M、N分别为BA延长线、AC延长线上的点，BAC+BDC=180，BD=DC，MDN=BDC，探究：线段BM、CN、MN的数量关系模块二 夹半角模型的构造备注：以下题目可能会使用到勾股定理【例5】（2012年武珞路八上期中）如图，在直

6、角坐标系中，A点的坐标为（，0），B点的坐标为（，0），且、满足，若D（0，4），EBOB于B，且满足EAD=45，试求线段EB的长度【例6】（2014年粮道街八上期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，），点B（，0），点D（，0），且、满足，DE轴且BED=ABD，BE交轴于点C，AE交轴于点F（1）求点A、点B、点D的坐标；（2）求点E、点F的坐标；（3）如图，过P（0，-1）作轴的平行线，在该平行线上有一点Q（点Q在点P的右侧）使QEM=45，QE交轴于点N，ME交轴的正半轴于点M，确定的值【例7】点A（，0）、B（0，）分别在轴、轴上，且（1）求，的值（2）如图1，若线段AB的长为

7、，点C为轴负半轴上的一点，且射线CA平分AOB的外角BA，求点C的坐标（3）如图2，取点D（0,2）并连接AD，将AOD烟直线AD折叠得到ADE，过点B作轴的垂线BF交射线DE的延长线于F点，连接AF，求BF的长第3讲 【课后作业】 夹半角1（2015年洪山区八中期中）如图，E是正方形ABCD中CD边上的任意一点，以点A为中心，把ADE顺时针旋转90得AB，EA的平分线交BC边于点F，求证：CFE的周长等于正方形ABCD的周长的一半2如图ABC是边长为3的等边三角形，BDC是顶角BDC=120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的角，角的两边分别交AB、AC于M、N，连接MN，则AMN的周长为_3已知如图，五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180求证：（1）AD平分CDE； （2）BAE=2CAD4如图，平面直角坐标系中，已知A（，4）、B（，0），且满足（1）求A、B两点的坐标（2）若点A在第一象限内，且ABC为等腰直角三