线性代数复习课

1、线性代数知识结构图富阶问题MATLAB一 一、行列式求行列式值1、二阶、三阶行列式的对角线法则2、n阶行列式 Z =.1A/1 +a/2A.2 + ainAin3、行列式的性质 性质1行列式与它的转置行列式相等性质2互换行列式的两行（列），行列式变号.性质4性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数比,等 于用数&乘此行列式.行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零.性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则可分为两个行列程质6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另 一行（列）对应的元素上去，行列式不变.丄一 二、矩阵矩阵的基本运算、逆矩阵、秩1、矩阵的

2、定义与特殊矩阵 对角阵、单位阵、对称阵2、矩阵的计算矩阵的数乘24 = （加訂|a| =矩阵相乘P o 1Y0 101 0 0,逆矩阵宀屮=3、矩阵的初等变换行阶梯形矩阵 行最简形矩阵 矩阵的秩三、向量的线性相关及线性无关、最大线性无关组1、向量的定义2、向量的计算3、向量组的线性相关4、向量组的秩和极大无关组| =in例求向量组的秩。并且写出其一个最大无关组，并将各向量用此 最大无关组线性表示。碍=（1, 2，3，0）,a2 =（-1, 一 2，0，3）皿3=（2，4，6, 0），04=（1，一2，一1，0）心=（0，0，1，1）若 R(A)=m,则向量组叫,am线性无关。3、向量组的线性相

3、关存在不全为零的m个数組，k2, . %使k1ci1 +Zr2z2 Hkmct/n = 0成立，称为线性相关。F面给出用求矩阵秩的方法来讨论向量组是否线性相关。其步骤如下:由向量组构作矩阵A, 使矩阵A的第i列元素依次为也的分量;(2)求A的秩R(A)O若R(A)vm,则向量组av线性相关。4、向量组的秩和极大无关组综上所述，我们得到求向量组aa am秩的方法和步骤:(1) 将向量002,构成一个矩阵A,使矩阵a的第冽元素 为向量匕的分量。(2) 用矩阵初等行变换将A化为行阶梯形矩阵B,于是向量组的秩等 于 R(B)(3)与矩阵B的非零行第一个非零元素相对应的矩阵A的列向量组成 的向量组，即为

4、向量组的一个最大无关组。 四、线性方程组线性方程组的分类，求解1、线性方程组有解的条件非齐次线性方程组，其矩阵形式为AX=b非其次线性方程组AX二b有解的条件为R(A)=R(B)=r0 若r=n,则方程组有唯一解； 若rVn,则方程组有无穷多解。齐次线性方程组，其矩阵形式为AX=OR(A)=n,则方程组有唯一的零解；R(A)=rn,则方程组有无穷多个解。特例：若A为方阵，则|A| = 0方程组有非零解。j 2、齐次线性方程组的解结构1基础解系解一向量组的一个极大无关组n-r方程组的任一解均可由基础解系的线性组合表示。3、非齐次线性方程组的解结构 设X = 及X = %都是AX =b的解，则X

5、= 7为对应的齐次方程AX = 0的解.(2)设X =帀是方程4X =方的解,X =歹是方程AX= 0的解，则X = + 仍是方程AX =方的解.X =+ + kn_rn_r + rf其中氐衙+ K-rn-r为对应齐次线性方程组的通解, 为非恭次线性方程组的任意一个解，称为特解兀1 一兀2 一兀3 +兀4 = U,例求解方程组 兀1 -兀2 +兀3 - 3口 = 1，、兀1 _兀2 _ 2兀3 + 3兀4 = _1 2t 五、实对称矩阵的对角化方阵的特征值、特征向量，正交阵、实对称矩阵对角化1实对称阵性质1实对称矩阵的特征值为实数.n阶方阵A属于 不同特征值的 特征向量必定 线性无关。性质2 n阶实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交。 性质3设A为阶对称矩阵2是A的特征方程的r 重根,则矩阵A-AE的秩= 从而 对应特征值2恰有厂个线性无关的特征向量 定理设A为阶对称矩阵则必有正交矩晖，使 P1 AP = A,其中A是以A的个特征值为对角） 素的对角矩阵 正交阵：列（行）向量组为标准正交向量组AtA = E At = Al例：用正交变换的方法将如下实对称矩阵 对角化，并求出正交 变换矩阵。2、实对称阵的对角化(1) 、实对称阵0、13丿(2) 、特征值|A-AE| = O(3) 、特征向量(