递归算法及程序实现.ppt

1、第28课 递归算法及程序实现,1.汉诺塔问题。相传古代东方有一座寺庙，庙内有三根座桩，第一根座桩上叠有一摞64个中心带孔、直径各不相同的圆盘片，这些圆盘片叠成塔状，即越上面的盘片的直径越小。要把这64个盘片从第一根座桩搬到第三根座桩上，搬动的规则如下：（1）一次只能从有盘片的座桩上取走一个盘片；（2）被取走的盘片必须马上放到另一根座桩上；（3）任何一根座桩上如果有一个以上盘片，则这些盘片必须呈直径上小下大的塔状。需要搬动多少次才能把64个盘片从第一根座桩搬到第三根座桩上？ 2.用递归算法计算n的阶乘n,新课引入,相传古代东方有一座寺庙，庙内有三根座桩，第一根座桩上叠有一摞64个中心带孔、直径各

2、不相同的圆盘片，这些圆盘片叠成塔状，即越上面的盘片的直径越小。要把这64个盘片从第一根座桩搬到第三根座桩上，搬动的规则如下：(1)一次只能从有盘片的座桩上取走一个盘片；(2)被取走的盘片必须马上放到另一根座桩上；(3)任何一根座桩上如果有一个以上盘片，则这些盘片必须呈直径上小下大的塔状。把“从一根座桩上取走一个盘片，放到另一根座桩上”说成是“搬动一次,问题提出,需要搬动多少次才能把64个盘片从第一根座桩搬到第三根座桩上？先将问题缩小化，尝试2个盘、3个盘、4个盘、5个盘等的搬动过程。 Hanoi游戏（点击上图运行体验,3个盘片移动过程演示 4个盘片移动过程演示 5个盘片移动过程演示,经过实践可

3、知，根据规则将3个盘从座柱A搬到座柱C上，最少需要搬动7次，整个移动过程如下,0)是最初的状态，(1)是经1次搬动后的状态，(2)是经2次搬动后的状态，等等。分析(0)、(3)、(4)、(7)这几个过程，搬动3个盘片的过程可分为先将2个盘从座柱A搬到座柱B，然后将最后1个盘从座柱A搬到座柱C，最后再将2个盘从座柱B搬到座柱C。当分析搬动4个盘片的过程时，整个过程可分为先将3个盘从座柱A搬到座柱B，然后将最后1个盘从座柱A搬到座柱C，最后再将3个盘从座柱B搬到座柱C，以此类推，移动n(n1)个盘从座柱A移动到座柱C的过程如下： 步骤：将(n-1)个盘从座柱A搬动到座柱B，在座柱C的帮助下步骤：将

4、第N个盘从座柱A搬动到座柱C步骤：将(n-1)个盘从座柱B搬动座柱C，在座柱A的帮助下移动规则是每次只能搬动一个盘，所以搬动(n-1)个盘时，肯定需要另一个柱子帮助。当n=1时，也就是搬动一个盘，那只要直接将这个盘从座柱A搬到座柱C就可以了,1)汉诺塔的算法流程图,算法Hanoi(n,a,c,b)的含义是：将n个盘从座柱A(源柱)搬至座柱C(目标柱)在座柱B(帮助柱)的帮助下完成，算法的含义十分重要，它说明了过程Hanoi四个参数所表示的含义。这种直接或者间接地调用自身的算法就是递归算法。 递归算法的特点：递归过程一般通过函数或子过程来实现。递归算法的实质：是把问题转化为规模缩小了的同类问题的

5、子问题，然后递归调用函数(或过程)来表示问题的解,2)编写程序代码。 Hanoi过程四个参数分别是盘数，源柱，目标柱，帮助柱，过程完成功能将N个盘从源柱搬动到目标柱在帮助柱帮助下。Sub hanoi(n As Integer, a As String, c As String, b As String) If (n = 1) Then 当只有一个盘时num = num + 1 计算器增加1List1.AddItem (Str(num) + + a + - + c) 搬动一个盘从源柱到目标柱ElseCall hanoi(n - 1, a, b, c) 搬动N-1个盘从座柱A到座柱B，在座柱C帮助

6、下num = num + 1List1.AddItem (Str(num) + + a + - + c)Call hanoi(n - 1, b, c, a) 搬动N-1个盘从座柱B到座柱C，在座柱A帮助下End IfEnd Sub,3）搬动次数计算将n个盘片从座柱A搬到座柱C，完成步骤需要h(n-1)次搬动，完成步骤只需要1次搬动，而完成步骤也需要搬动h(n-1)次。这样，把n个盘片从座柱A搬到座柱C所需的搬动次数 h(4)=2h(3)+1=2(2h(2)+1)+1=2(2(2h(1)+1)+1)+1=2(2(21+1)+1)+1=24-1=15，2(2(21+1)+1)+1恰好是二进制数11

7、11转化为十进制的式子。汉诺塔问题是一个经典的NP问题，对于计算机来说仍然是一个“难”的问题，“难”主要是说程序执行步数随着N的增长呈指数级增长，如果塔上有64个盘，则搬动次数是二进制11111111（64个1）次，换算为十进制数值为264-1=18446744073709551615，目前按每秒可以完成10亿次搬动（大约是230），也需要234秒，大约是198841天，约544年，即使有这样的速度在有生之年是无法看到所有的搬动过程,例：求n的阶乘,计算的阶乘()()()，这是一个规模为的问题。 假定已经计算出了()，则()()。从另一个角度看，规模为的问题()，可以依赖于较小规模(例如规模为

8、)的问题()的解决，依此类推 f(n-1) = (n-1)f(n-2) . 直至 f(2) = 2f(1) 很明显 f(1) = 1 这样可以按相反的次序，一步一步地把f(k)计算出来 (k=2,3,.,n)。这种按同一方法把问题的计算规模逐步变小的过程叫做“递归的展开”，然后逐级代入的过程叫做“递归的返回”。 对于问题f(5)，递归的展开是： f(5)=5f(4)f(4)=4f(3)f(3)=3f(2)f(2)=2f(1)f(1)=1递归的返回是f(1)=1f(2)=2f(1)=21=2f(3)=3f(2)=32=6f(4)=4f(3)=46=24f(5)=5f(4)=524=120问题f(5)的计算结果为120,1)算法流程图（点击运行,2）编写程序代码。Function f(n As Integer) As Long 求n的阶乘If n = 1 Thenf = 1 当n=1时，函数f的返回值为1Elsef = n * f(n - 1) 递归地调用函数f来计算(n-1)!的值End IfEnd Function （3）运行调试程序 根据算法流程图,填空完善已经设计好的界面和部分代码的求n阶乘算法，并进行调试,课堂练习,1.用递归方法设计一个算法，计算12+22+n2,参考答案：