三角形的内角和外角和

1、几何解题中添加适当的辅助线可以起到在题设和结论之间架设桥梁的作用，而一题多解对培养发散思维能力十分有益。第三单元三角形的内角和与外角和学法引导 1我们知道，三角形三个内角的和等于。这个结论的探索过程让我们获得了宝贵的体验，对图形的形状、大小与相互位置关系有了进一步的认识。请结合下列图形，回顾并与同伴交流三角形内角和定理的发现过程：如右图的折叠，相当于把三角形的三个内角剪下来拼合在一起；请你剪两张重合的三角形硬纸片，在靠近各顶点处写上字母，再把其中一张三角形硬纸片的三个角剪开。如下图，试试看，你有多少种方法可以拼出A+B+C=180？有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。有一个角是钝角的三角形叫

2、做钝角三角形。两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形。由三角形内角和定理可得：直角三角形的两个锐角互余.2下面让我们来关注一下三角形的外角与和它不相邻的内角的关系。在一张白纸上画出如右图所示的图形，然后把A、B剪下拼合在一起放到ACD上，看到刚好“填满” ACD；我们还可以不实际移动，而是依据前面给出的公理、定理和已知条件，通过画辅助线，用推理的方法来证明这些结论的正确性。其实， ACD +ACB=180，A+B+ACB=180，ACD = A +B。可见，三角形的一个外角等于 两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个 内角。3下面让我们完成下列练习：1一个三角形中最多有 个直角；最多

3、有 个钝角；2一个三角形最少有 个内角是锐角；3一个三角形至少有 个角小于或等于.4在ABC中，若A+B=90，则ABC为 三角形. 若AB=90，则ABC为 三角形.5. 等腰三角形的一个外角为100，则它的三个内角分别是 6下列说法中三角形中有一个角为锐角的三角形叫锐角三角形。ABC中最大边所对的角是71，则该三角形是锐角三形。一个等腰三角形一定是锐角三角形。一个三角形至少有一个角大于60。正确的说法有 （ ）.题7图（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个5已知ABC中，A61，那么ABC是 （ ）. A锐角三角形; B直角三角形 ; C钝角三角形; D以上三种都有可能.7如图，A

4、BC中，A=36，AB=AC，BD平分ABC，DEBC图中等腰三角形的个数有 ( )（A）1个 （B）3个 （C）4个 （D）题8图5个8如图，已知在ABC中，AD平分外角EAC，且ADBC则ABC是 ( ) （A）任意三角形 （B）等边三角形 （C）等腰三角形 （D）直角三角形 1如图，点D在BC边的延长线上，若A=30，B=35，则1= 2如图，ABCD，B=40，D=30，则E= 题1图 题2图 题3图 题4图3如图，在ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，连EF，则1，2，3的大小关系是 4如图，A=30，B=35，C=25，则AFC= 解题指导例1 三角形

5、内角和等于180，那么四边形、五边形、边形的内角和等于几度呢？解：已知三角形内角和等于180，对于边形的内角和的问题可以转化为三角形内角和问题来解决运用化归思想来解决题12图(1)如图(1)，可以在边形内任取一点P，将边形分割成个三角形，则边形的内角和题12图(2)如图(2)，也可以从边形任一顶点出发，将边形分割成个三角形，则边形的内角和如图(3)，也可以从边形任一边上取一点，连接不相邻的顶点，将边形分割成个三角形，则边形的内角和题12图(3)当4时，；当5时，四边形的内角和是、五边形的内角和是另外，利用电脑软件也可测得三角形、四边形、五边形的内角和，从而根据规律得出计算凸边形的内角和的公式如

6、图 例2 我们知道三角形的内角和是180，那么三角形的外角和（在说三角形的外角和时，是指三角形不同顶点的外角之和）是多少度？边形的外角和呢？解：方法一：其一 在一张白纸上画出如图，把 4、5、6剪下来拼在一起，刚好铺成一个无缝的平面，可见456360。其二：如图，由三角形的外角性质可知：4=23；5=13；612。4562（123）360。其三：如图14=18025=180361801234561803540而123180456360即: 三角形的外角和为360对于n边形的外角和，可以先填写下表多边形的边数34567n多边形内角与外角的总和3180=540多边形的内角和180多边形的外角和36

7、0不妨以五边形为例（如图），五边形的每一个内角与跟它相邻的外角构成一个平角，即为180.五边形有5个这样的平角为1805900,要求其外角和,还需减去其内角和: (-2) 180=(5-2) 180=540.五边形的外角和为900-540=360.对于n边形,按同样的方法,也同样得到其外角和为360.真是神奇！方法二：让ABC逐渐缩小，直至A、B、C三个点重合（如图）此时，三角形的外角4、5、6合起来，刚好成为一个周角，大小为360.类似地,你可以把五边形,甚至n边形都缩为一点,想象一下,你发现它的外角和是多少度了吗?方法三：求三角形外角和时,想象一下,当我们在绕三角形花坛行走一周回到出发点时

8、,我们走的方向共经历了三次“转折”,一共转了360. 若是边形花坛，则共经历了次“转折”,一共转了360. 不管三角形的形状、大小如何不同，其内角和是180，其外角和总是边形的外角和也总是多边形定义：一般的，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图行称为n边形，又称为多边形。（注意：我们现在研究的多边形均指凸多边形。）例1图例4已知：如下图, 点是内角平分线的交点，点是外角平分线的交点，用含的代数式表示，.并说明理由. BD平分ABC，CD平分ACB1=ABC，2=ACB1+2=（ABC+ACB） =（180-A）=90-AD=180-（1+2）=180-（90-A）=90+A3+1

9、=（ABC+CBF）=180=90同理：2+4=90，即DBE=DCE =90，E=360-D-DBE-DCE =360-90-90-（90+A） =90-A例5 求证：三角形的内角和等于180(要求画出图形，写出已知、求证和证明过程).例2图解：已知：如图，ABC求证：A+B+C=180证明：在BC边上取点D作DEAB，DFAC DEAB 3=B，2=4 DFAC 1=C，4=A 2=A(等量代换) 1+2+3=180 (一平角=180) A+B+C=180 (等量代换)例6已知：如图，分别平分求证：例4图证明：分别平分，设，则 （1） （2）（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）

10、（1）+（2）得： ，（等式性质） A组5如果三角形的一个外角不大于和它相邻的内角，那么这个三角形是( )（A）锐角三角形或直角三角形 （B）钝角三角形或锐角三角形（C）直角三角形或钝角三角形 （D）直角三角形 6给出下列命题：三角形的一个外角小于它的一个内角若一个三角形的三个内角之比为1：3：4，它肯定是直角三角形三角形的最小内角不能大于60三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和其中真命题的个数是 ( ) （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个6直角三角形两锐角的平分线所夹的角是 ( )（A）30 （B）60 （C）75 （D）135 9等腰三角形腰上的高与底边的夹角与顶角之间的关

11、系是 题12图题11图11. 如图，ABC中，高线BD、CE相交于点H，若A=50，则BHC= 12如图，已知在ABC中，AD平分外角EAC，BD是ABC内任一射线，交AD于D则DAC与DBA的大小关系是 三、解答题()题15图15已知P是ABC内一点，连BP、CP求证：BPC=1+2+A16求证：两条直线平行，一对同旁内角的角平分线互相垂直(要求画出图形，写出已知、求证和证明过程).17如图，C表示灯塔轮船从A处出发以每小时18海里的速度向正北(AN方向)航行，2时后到达B处测得C在A的北偏西40方向，并在B的北偏西80方向，求B处到灯塔C的距离题17图例3已知：，D是AB上的一点，E是AC上的一点，DE、CD相交于点F，A=62。ACD=35。ABE=20。求： (1)BDC的度数。 (2)BFD的度数。已知一个多边形的内角和等于外角和的2倍, 则这个多边形的边数为_.习题精选： 例1：求八边形内角和的度数。 解：（n