计算方法插值法-Lagrange插值

1、第1次 Lagrange插值,计算方法 (Numerical Analysis),本讲内容,插值法的基本概念 拉格朗日（Lagrange）插值 Lagrange插值的例子 Lagrange插值的误差,插值法的基本概念,1 引言 问题的提出 若函数f(x)的解析式未知，而通过实验观测得到的一组数据, 即在某个区间a, b上给出一系列点的函数值 yi= f(xi),第二章 插值法,问题：怎样 (近似)计算函数f(x)在a, b上的函数值呢？,一般插值法的基本概念,(2.1),设函数y=f(x)定义在区间a, b上, 是a, b上取定的n+1个互异节点，且在这些点处的函数值 为已知,即 。若存在一个

2、f(x)的近似函数 ，满足,则称 为f(x)的一个插值函数，点xi为插值节点, 称(2.1)式为插值条件。,在其它点x处就用 的值作为f(x)的近似值。,越简单越好,y=f(x),x1,xn,目的：使得 近似等于f(x).,而误差函数,称为插值余项, 区间a, b称为插值区间.,x0,b,a,x2,用 的值作为f(x)的近似值,不仅希望 能较好地逼近f(x)，而且还希望它计算简单 。,评论：,由于代数多项式具有数值计算和理论分析方便的优点。所以本章主要介绍利用代数多项式进行插值，即代数插值。,定义：若存在一个次数不超过n次的多项式,使得满足：,则称P(x)为f(x)的n次插值多项式。,以上这种

3、插值法通常称为代数插值法。其几何意义如下图所示:,y=f(x),x1,x2,xn,y=p(x)为n次 多项式,x0,y,x,xk,问题：这样的多项式是否存在？,定理1 n次代数插值问题的解是存在且唯一的。,则求插值多项式P(x)的问题就归结为求它的系数,由插值条件,可得:,n+1 个方 程,n+1个未知数a0 , a1 , an,这是一个关于待定参数 的n+1阶线性方程组，其系数矩阵行列式为,评论： 以上使用线性方程组求解系数ak (k=0,n)，以便获得多项式的方法复杂，不常用； 唯一性：不论用何种方法来构造，也不论用何种形式来表示n次插值多项式,只要满足插值条件(2.1)其结果都是相互恒等

4、的； 即n次插值多项式P(x)是唯一的。,Home,Lagrange插值,2 拉格朗日（Lagrange）插值,为了构造满足插值条件,的便于使用的插值多项式P(x),先考察几种简单情形,然后再推广到一般形式。,（1）线性插值,现要求用线性函数 近似地代替f(x)。,称这样的线性函数P(x)为f(x)的线性插值函数。,线性插值是代数插值的最简单形式。假设给定 函数f(x)在两个互异的点的值，,选择参数a和b, 使得,线性插值的几何意义: 用通过两点,的直线近似地代替曲线y=f(x)，如图所示：,y=f(x),x0,x1,P(x) = ax + b,为了便于推广，记,由解析几何知道,这条直线用点斜

5、式表示为,改写为,线性插值基函数,或者写成：,推导,线性插值基函数具有如下性质：,即,于是线性插值函数可以表示为与基函数的线性组合,例2.1 已知 ，求,解:,利用线性插值,化简，得,于是：,（2）抛物插值,要构造次数不超过二次的多项式,抛物插值又称二次插值，它也是常用的代数插值之一。设已知f(x)在三个互异点x0，x1，x2的函数值y0，y1，y2,使满足二次插值条件：,这就是二次插值问题。,其几何意义是用经过3个点,用以近似计算,的抛物线,P(x)的系数 直接由插值条件决定，即 满足代数方程组：,因为 ，所以方程组有解唯一解：,可用于求2次插值多项式,仿照线性插值,现在试图用基函数的方法确

6、定2次插值多项式,类似地可以构造出插值多项式,于是确定了3个抛物插值的基函数：,x0,x2,x1,x,y,1,y=l0(x),y=l1(x),y=l2(x),3个抛物插值的基函数,取已知数据 作为线性组合系数,将基函数 线性组合可得,容易看出,P(x)满足条件,即,已知： 2个插值点可求出一次插值多项式,而 3个插值点可求出二次插值多项式。,一般形式的拉格朗日插值多项式,即,代入上式,得,称 为关于基点,的n次插值基函数,以n+1个n次基本插值多项式 为基础，可直接写出满足插值条件,的n次代数插值多项式：,是次数不超过n次的多项式 。,（2.8）,由于每个插值基函数,都是n次多项式,所以他们的

7、线性组合,定义：称形如（2.8）式的插值多项式为n次拉格朗日插值多项式。并记为 。,记:,得其导数在xk 点的值为：,于是：,(2.11),(2.10),Home,Lagrange插值的例子,例2.2 已知y=f(x)的函数表 求线性插值多项式, 并计算x=1.5 的值,解: 由线性插值多项式公式得,例2.3 已知x=1, 4, 9 的平方根值, 用抛物插值公式, 求 的值,解：函数表为,例2.4 已知函数y=f(x)在节点上满足,解方程组, 得 a0=1，a1=-3，a2 = 2 ， p(x) = 1 - 3x + 2x2,用待定系数法，求二次多项式 p(x) = a0 + a1x + a2

8、x2 使之满足p(xi) = yi , i = 0, 1, 2,解: 将各节点值依次代入所求多项式, 得,例2.5 求过点(0,1)，(1,2)，(2,3)的三点插值多项式,解:函数表为,问题：为什么得到了一个1次方程？,由Lagrange 插值公式，得,回答：因为插值表给出的3个点共线。,例2.6 已知f (x)的观测数据,求Lagrange插值多项式,解: 4个点可构造3次Lagrange插值多项式，基函数:,Lagrange插值多项式为:,验证了,例2.7 已知f(x)的观测数据,构造插值多项式,解: 四个点可以构造三次插值多项式, 将数据 代入插值公式，有,这个例子说明p(x)的项数不

9、超过n+1项，但可以有缺项。,拉格朗日插值算法实现,使用C语言实现 使用Matlab实现,Home,Lagrange插值的误差,x0 x1 xi xi+1 xn-1xn,y=f(x),y=p(x),a,b,在插值区间a, b上用插值多项式p(x)近似代替f(x), 除了在插值节点xi上没有误差外，在其它点上有误差。,若记 R (x) = f(x) - p(x) ，则 R(x) 就是用 p(x) 近似代替 f(x) 时的截断误差, 或称插值余项。,插值多项式的误差,定理2 设f(x)在a, b有n+1阶导数， x0, x1, xn 为a, b上n+1个互异节点, p(x)为满足 p(xi) =

10、f(xi) (i=0,1,2, , n),其中,的n 次插值多项式，那么对于任何x a, b有插值余项,说明：若n+1阶导数不存在，则 无法使用该公式估计误差,证明：由于P(x)是f(x)在xk(k=0, 1, , n)上的插值多项式，故R(x) =f(x) P(x)在节点xk(k=0, 1, , n)上值为0，即 R(xk) = 0, (k=0, 1,n),现在，将x看作是a, b上的一个固定点，作函数 g(t)=f(t)-P(t)-K(x) (t-x0) (t-x1)(t-xn) 根据f的假设，知 g(n)(t)在a, b上连续，g(n+1)(t)在(a, b)内存在。,于是可以将R(x)

11、写为： R(x) = K(x)(x-x0) (x-x1)(x-xn) (*) 其中，K(x)是和x有关的待定函数。,只须证明：K(x)= f(n+1)()/(n+1)!, a b,根据插值条件和余项的定义，g(t)有n+2个0点： x0, x1,xn, x,于是： K(x)= f(n+1)()/(n+1)!, a b, 依赖于x,将其代入(*)式，得,根据罗尔定理，g(t)在g(t)的两个0点之间至少有一个0点，从而，g(t)在(a, b)中有n+1个0点； 类似地，得到g(t)在(a, b)中有n个0点；连续使用罗尔定理，知g(n+1)(t)在(a, b)中至少有1个0点，记为: g(n+1

12、)() = f(n+1)()-(n+1)!K(x) = 0,1) 对于线性插值，误差公式：,2) 对于抛物插值（2次插值），误差公式：,例2.8 已知x0 =100, x1 =121,用线性插值近似计算 的时候，估计在x=115时的截断误差.,例2.9 已知x0=100, x1=121, x2=144,当用抛物插值求 的时候，估计在x=115时的截断误差。,解：,说明：二次插值的误差小于一次插值。,例2.10 设f(x)=x4, 用余项定理写出节点 -1, 0, 1, 2 的三次插值多项式 。,解: 根据余项定理,评注：f(x)=x4 太特殊了，借助于f（4）(x)=4！，才使得由余项定理解出p(x)成为可能。,使用Matlab画出p(x)与f(x)的曲线,例2.11 讨论函数 在-