微积分上复习下

1、,总 复 习,1.多元函数的导数,解 由定义得,一、多元微分,例2 设 求,解 由复合函数的导数公式, 得,在偏导计算过程中, 要注意的是如何按定义计算函数 在一点的导数.,例3 求函数,的偏导.,当 时,2.高阶偏导,例4 设 求二阶偏导.,解 由例2, 知,所以,在上例中看到, 在二阶偏导连续的条件下,有,3.全微分,若全增量具有表达式,可微的条件,微分计算公式,若函数有连续偏导, 则,例5 设 求,解 由例2知,故,例6 讨论例3中的函数在原点的可微分性.,由此得,即有函数在原点可微分, 且有,4.复合函数的导数,例7 设 求,由导数公式,例8 设 其中 为 类函数, 求二阶偏导.,所以

2、,5.隐函数的导数,一个方程确定的隐函数,例9 设二元函数 由方程 确 定, 求,故有公式,方程组确定的隐函数,域内能唯一地确定一组 函数组 满足条,件 并有相应的导数公 式.,从而有 由对称性得,二、多元微分的应用,1.几何应用,曲线的切线与法平面方程,设曲线由参数方程给出:,点 则曲线在该点处的切线和法平 面方程为,法平面,若曲线有一般方程给出, 则切线可视为两切平面的交线.,曲面的切平面与法线,切平面,法线,例11 在曲线 上, 求与平面 平行的切线.,故切点为 和 切向量为,和,例12 设椭球面 上某点处的切平面 过已知直线 求平面的方程.,解 设切点为,例13 求球面 与椭球面,切线

3、方程和法平面方程.,二元函数的极值,1.求函数的一阶和二阶偏导;,极小值,极大值,非极值,例14 设 由 确定, 求函数的极值.,解 方程两边求导, 得,解此方程组, 得 再代入原方程, 有驻点 在上面两个方程中, 继续求导, 得,对上述驻点, 解此方程组, 并注意到一阶偏导为零, 有,此时 所以 是,条件极值,方法 1.构造函数,2.解方程组,3.对方程的解进行讨论.,例15 求椭圆 的长半轴和短半轴之 长.,解 椭圆的半轴长分别为原点到曲线的最长距离和最短 距离. 故作函数,相应的方程组为,二、重积分,1.二重积分的计算,在直角坐标下的计算,在极坐标下的计算,一般坐标变换,例16 计算积分

4、,解 积分区域如图. 因被积函数的原函数不是初等函数, 故不能直接积分. 首先交换积分次序:,例17 计算积分 其中 由双曲线,解,例18 计算积分 其中,解,2.三重积分的计算,在直角坐标下三重积分的计算,先1后2的积分:,先2后1的积分,利用柱面坐标计算三重积分,利用球面坐标计算三重积分,例18 计算积分 其中 由,解1,所以, 积分,解2 利用柱面坐标,例19 计算积分 其中 是由曲面,解 利用球面坐标,3.重积分的应用,三、曲线积分与曲面积分,1.曲线积分,计算方法: 若,则有,计算方法 若,则有,例20 求积分 其中,解,例21 求八分之一的球面 的边界曲线的重心（ ）.,解 曲线弧

5、的质量为,例22 求,解 由积分公式得,2.曲面积分,第一类曲面积分,计算方法:,第二类曲面积分,积分方法:,其中, 上侧取正, 下侧取负.,例22 设 为椭球面 的上半部分, 点,解 由条件知切平面方程为,则,因曲面方程为 所以,因而,例23 计算积分 其中 为,解,所以,三个重要公式,格林公式,高斯公式,斯托克斯公式,例24 设函数 在 平面上有一阶连续偏导数,解 由曲线积分与路径无关的条件, 得,故,又,例25 求,由格林公式,所以,例26 计算积分,所以,例28 求 其中,所以,而,由此得到,四、无穷级数,1.数项级数,则级数是收敛的, 且,正项级数,正项级数收敛性的判定,比较判别法及

6、极限形式;,比值判别法;,根值法.,交错级数,交错级数收敛性判定定理.,绝对收敛性,例30 讨论级数 的收敛性.,解 因,故级数收敛.,例31 讨论级数 的收敛性.,解 因,又,所以级数 绝对收敛.,例32 讨论级数 的收敛性.,解 因,又,发散.,例33 讨论级数 的收敛性.,解 令,又,故原级数条件收敛.,2.幂级数,求幂级数的收敛半径,根值法,泰勒级数和麦克劳林级数,基本展开式,函数展开成泰勒级数和麦克劳林级数,求和函数.,例34 求幂级数 的收敛域和和函数.,所以,由此得到,例35 求 的收敛域及和函数.,例36 将函数 展开成 及 的 幂级数.,解 因,又,故,所以,例37 将函数,解 因,两边积分, 得,例38 求 的收敛区间及和函数.,解 利用比值法直接求出相应的收敛半径. 因,则