数值计算方法教案5-1

1、数值计算方法教案5-1第5章多项式逼近与曲线拟合教学目的1.理解连续函数空间，正交多项式理论；2.掌握最佳平方逼近及最小二乘逼 近函数的求解方法；3.理解非线性模型举例的有 关知识的基础上会求模型的逼近函数。教学重点及难点重点是最佳平方逼近及 最小二乘逼近函数的求解。难点是会求非线性模型的 逼近函数。教学时数 6学时教学过程 1 引言在科学计算中有下述两类逼近问题。1 关于数学函数的逼近问题由于电子计算机只能做算术运算，因此，在计 算机上计算数学函数（例如f（x） ex,f（x） sinx等在有限 区间上计算）必须用其他简单的函数来逼近（例如 用多项式或有理分式来逼近数学函数，）且用它来 代替

2、原来精确的数学函数的计算。这种函数逼近的 特点是：（a）要求是高精度逼近；（b）要快速计算（计算量越小越好）。2 建立实验数据的数学模型给定函数的实验数据，需要用较简单和合适的 函数来逼近(或拟合实验数据)例如，已知y f(x)实验数据xXiX2Xmf(x)yiy2ym希望建立y f(x)数学模型(近似表达式)，这种逼 近的特点是：(a)适度的精度是需要的；(b )实验数据有小的误差；(c) 对于某些问题，可能有某些特殊的信息能 够用来选择实验数据的数学模型。事实上，我们已经学过一些用多项式逼近一个 函数y f(x)的问题，例如(1)用在x xo点Taylor多项式逼近函数设y f(x)在a,

3、b上各阶导数f(x)(i o,1, ,n 1)存在且 连续，xo a,b，则有f (n)(% )f(x) f(x0) f(x0)(x x0)F(X x0)n Rn(x)Pn(x) Rn(x)其中 R(x)-詁(x Xo)n 1, x a,b,在 Xo 和 x 之间。 (n 1)!于是，可用Pn(x)(n次多项式)来逼近f(x)，即f(x)Fn(x),x a,b且误差为：Rn(x)f (x) Pn(x)且当f(n1)(x) Mn时，则有误差估计Rn(x)Xon 1,a x b显然有:f (xo) Pn(Xo)f(k)(Xo) Pn(k)(xo),(k1,2,n)说明Pn(x)是利用在x xo处f

4、(X)函数值及各阶导数值 来摸拟f(x)的性质，且当X越接近于Xo，误差就越小，X越偏离Xo，误差就越大。由此，在a,b上要提高Pn(x) 逼近f(x)的精度，就要提高Pn(x)的次数，这就使得计 算量增大。(2)用插值多项式逼近函数设已知(Xi,f(Xi),(io,1, ,n)则存在唯一 n次插值多项式Pn(x)使Pn(Xi)f(Xi),(i 0,1, ,n)其中xi(i o,1, , n) a,b且互不相同，于是Pn(x)可作为f(x) 近似函数，即f (X) Pn (x), X a,bf (x)的函插值多项式逼近住)也是利用n 1个点上数值来模似f(x)的性质，在n 1个节点Xi上Pn(

5、x)逼近f(X) 无误差，当X Xi时，f(x) Pn(X),Pn(X)逼近f(X)，也可能使 误差|Rn(X)|f(X)巳&)|较大。如果实际问题要求： | f (x) R(x)| 对 X a,b(其中是给定精度要求)，用插值多项式Pn(X)去逼近f(X)就 可能失败。例1设f(x)ex,x 1,1，试考查用4次Taylor多项 式P4(x)逼近f(x)的误差。解近 f(x)；用在X 0展开的4次Taylor多项式逼巳(X)R4(x)1 2X X2eX Pn(x)1314XX6245.X1()X5!120e ,x 1,1其中在X和0之间。于是有误差估计:15|R4(x)| |X| e120e

6、max|RJx)|0.02261 X1 120且有存 R4(x)命 x5当 0x 1误差P4(x)随x增加(0x1 )而增加(对X 1,1同理可 说明),说明误差P4(x)在整个区间-1 , 1不是均匀分 布，如图3-1。现提出下述函数逼近问题。问题：设f(x)为a,b上连续函数，寻求一个近似函数 P(x)(多项式)使在a,b上均匀逼近f(x)。下面给出最佳逼近的数学提法：A： Ca,b f(x)|f(x)为a,b上实连续函数； A 是 结构复杂难于计算的连续函数类B： Hn Pn(x)|Pn(x)爲问为实数 ；B为较简单且便i 0于计算的函数类，例如为代数多项式或三角项式或 分式有理函数等。

7、设给定f(x) Ca,b,要求在B中寻求一个函数P(x) 使误差f(x)-P(x)在某种度量意义下最小。1.最佳一致逼近设给定f(x) Ca,b, max|f(x) R(x)|,作为度量误差 a x bf(x)-P(x)的“大小”标准，Pn(x) Hn.寻求次数门的多项式Pn (x) H n使最大误差最小，即Pnm)%max|f(x)巴(川 max|f(x)斤(小如果这样多项式Pn(x)存在，称Pn(x)为f(x)在a,b上n次最佳一致逼近多项式。这个逼近问题近问题称 炒最佳一致逼近(或称为 Chebyshev逼近，或称 为极大极小逼近)。在理论上可以证明，对任意的a,b上连续函数 f(x)的

8、n次最佳一致逼近多项式Pn(x)存有且唯一。最 佳一致逼近主要用于初等函数的计算。2 最佳平方逼近以均方误差：(x)(f(x) Pn(x)2dx2作为度量误差f(x)-P(x)的大小“标准，P(x) Hn.寻求P(X)Hn,使均方误差最小，即恣： (x)(f(x) Pn(x)2dx；2nn2 12 =a (x)(f(x) Pn (x) dX2其中(x) 0为权函数。如果这样的多项式Pn(x)存在，称Pn(x)为f(x)在卜 中的最佳平方逼近多项式。这种逼近问题称为最佳 平方逼近。对于离散数据的逼近问题有:3.最小二乘逼近如果y f(x)仅仅在有限个点上给定，即已知y f(x)实验数据XX1X2

9、Xmf(x)y1y2ym寻求次数n多项式P(x) Hn，使编差平方(或带权) 和最小，即mm眾瓜i(f (Xi) Pn(Xi)2(f (Xj) Pn(Xi)2n n i 1i 1y f(x)的经验公式(数学模如果这样的多项式Pn (X) H n存在，称Pn(X)为实验数 据的最小二乘逼近函数或称为实验数据的最小二 乘拟合多项式或称为 型)。对于给定f(x) Ca,b，需要研究的问题是:(1)在各种度量意义下最佳逼近多项式 Pn(X) H 是否存在，是否唯一。本章主要讲座最佳平方逼近， 最小二乘逼近Pn(X)Hn存在性及唯一性。(2)如何具体寻找或构造各种最佳逼近意义下 多项式Pn(X)。 2连

10、续函数空间，正交多项式理论2.1连续函数空间a，b上所有实连续函数集合记为Ca,b，关于函数的加法及与实数乘法运算为一线性空间，对于 f(x) Ca,b称f为Ca,b中一个元素，下面将在Ca,b内弓进内积，范数等概念1 内积设 f,g Ca,b为任一对元素，定义b(f,g) (x) f (x)g(x)dxa为一实数称为元素 称为权函数f ,g Ca,b的内积,其中(x)(x)可称为权函数权函数的定义：(x)满足三点要求： (1) (x) O,X a,b且于a,b内可积；(2)对任给的非负整 数K积分ab (x)xkdx存在且为有限值；(3)对于a,b 上 任何非负连续函数g(x)如果(x)g(

11、x)dx 0则有g(x) 0 满足这三点要求的例如在【-1,1】上(x)=1，(x) = 1/ 1 x2内积运算满足交换内积运算数乘算内积运算对加法具有显然，连续函数空间Ca,b中元素的内积满足下 述性质：(a) (f,g) (g, f), f,g Ca,b 律(b) (Cf ,g) C(f,g),C 为常数 律(c) (fi f2,g) (fi,g) (f2,g) 分配律(d) (f,f) O.f Ca,b且(f,f) 0 当且仅当 f(x) 0,又称 Ca,b为内积空间。函数自身内积具有非负性3范数定义1关于函数f(x) Ca,b的某个实值非负函数 N(f) |f|,如果满足下述条件：io

12、|f | 0,| f | 0 当 且 仅 当 f 0 非负性2o|cf | |c|f |(c为实数)齐次性30二角不等式：对任意f (x) ， g(x) Ca,b，有Ilf g| Ilf II llgll称N(f) | f |,为f(x)的范数或模。定义 2( 1)设 f(x) Ca,b，称 N(f)|f| max f (x)为 f 的“ ”范数设 f(x) Ca,b称 N2(f) |f|2 f2(x)dx1/2 为 f 的“ 2” 范数或模。(3)设 f(x) Ca,b称 Ni(f) | f |if(x)|dx 为 f 的 “ 1” 范 数可以验证N(f),N2(f)满足范数的3个条件1o(

13、见 定理1)。定理1设f,gCa,b则有(1)哥西-许瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式I(f，g)I II f II2 II g |2三角不等式I|f g|2 |f |2 |g|2(1)对任对 f,g Ca,b何实数t,则有证明(不妨设g 0)及任0 (f tg, f tg)2(f, f) 2t(f,g) t (g,g) c bt at2, t R其中 a (g,g) 0,b2( f ,g),c (f, f)则有b2 4ac 4( f , g)2 4( g, g) ( f , f ) 0即 l(f，g)l II f 112 |g|(2)考查2II f g II2 (f g, f g)

14、 (f,f) 2(f ,g) (g,g)由哥西-许瓦兹不等式，则有22|f |2 2|f |2|g|2 |g|22II f gII2 II f II2 2I(f,g)I |g|3 距离概念定义 3 设 f,g Ca,b,称d(f,g) f g a为f，g之间距离(其中a 1,或2 )4 正交函数组定义 4( 1 )设 f(x),g(x) C a,b(f ,g)： (x) f (x)g(x)dx 0称 f和g在 a,b 上为带权(x)正交。(2) 设 有 函o(x), i(x), n(x)其中 i(x) C a,b (i 0,n)如果b0, 当 i j(i, j) a (x) i(x) j(x)

15、dx a o当i j称i为a,b上带权正交函数组。(3)如果(i, j)0当.i j称i为a,b上带权(x)标准正交组例2三角函数组 1 cosx,sin x, , cosnx,sin nx 组成一正交组。解显然有(cos ix, cos jx)cos ix cos jxdx 0当 i j,且 i, j 1(sinix,sin jx)0,当 i j，当 i j 0(1)如果存在不全为零数ao,a1,，an使ao o(x) 称函数组a1 1(x)an n(x) o，对所有 xi i o在a,b上为线性相关。a,b都成立，则如果ao o(x)ao a1an(x) 0，对所有0，称i n o在a,b

16、上是线性无关。a11(x)a n na,b成立，则函数组1,为线性无关。,xn ，其中 xi Ca,b (i o,1, ,n)于a,b证明 反证法 即存在不全为零的数设1,x ,xn于a,b为线性相关， n使co , c1 , c(1,1)= dx 2(1,si nix) 0, (1, cos ix)0,i1, n5 函数组的线性无关定义5 设有函数组o(x), 1(x), , n(x)，其中0,n)i(x) Ca,b(iPn(x)Co 5XCnXn(2。1)对所有 x a,b (2。1 )式成立，而Pn(x)为次数n多项式，最多有n个零点，而(2。1 )式说明Pn(x)有无穷 多零点，矛盾。

17、定理2Ca,b内函数组。(x), i(x), , n(x)于a, b线性无关充要条件是行列式(0, 0)(1,0)0,1)(0, n)G(1,1)(1, n )(n ,1)( n , n )行列式G( 0, , n)称为函数组的Gram行列式。证明 用反证法。 程组必要性：设 若行列式,n于a,b线性无关，米0，于是，齐次方n(i, j )Cj j 00,(i0,1,n)有非零解XL Cn， 使即存在不全为零解Cj(j0,L n)(2.2)n(i, j)Cj j 00,(i0,1, n)nCjj 0(X)于是，(2. 2)式有(y,Cj j(x), i)j 0nCj ( j , i)0从而有，

18、nn(y, y) (y, 5 j(x) q(y, j) 0j 0j 0故y 0,当x a,b即存在不全为零数Cj使nyc* j (x) 0当 x a,bj 0说明0, 1, , n于a,b线性相关，与假设矛盾，故G 0 ,1, n 0充分性：设G 0, i, , n 0，求证0, 1, , n于a,b线 性无关。反证法：若0, 1, , n于a,b线性相关，于是， 存在不全为零C0,C1, ,Cn,使C0 0(x) C1 1(x) LCn n(x) 0,x a,b(2.3)(2.3)式两边与i作内积得到C0 ( i ,0)C1 ( i ,1 )G ( i , n)0(i 0,1,n)(2.4)

19、由于g不全为零，说明齐次方程组(2.4)有非零 解(C0，G ,Cn),故系数矩阵的行列式为零，即与假设矛盾2. 2正交多项式理论定义6 设 0(x), 1(X), , n(x)为Ca,b中线性无关组， 称集合Span o, , n S(x)S(x)ai i(x),ai为实数 为由 o, , n 生成i 0的集合。显然，Span o, , n为Ca,b的一个子空间。下面讨论，对于给定a,b上权函数(x)，如何由H” 中基1,x, ,xn构造Hn中正交基 o(x), i(x), , n(x)。定理3(格兰姆-史密特(Gram-Schmidt )正交化)(1 ) 设 Hn Span1,x, ,xn

20、 ;(2)(x) 0为给定的权函数(在a,b任何一个子区间不恒为零的可积函数)。则由基1,x, ,xn;可构造 于a,b以(x)为权函数的正交多项式组0（X）,1（x）, n（x）；0(x) 1k(x) xkCkj j(x)j 0(xk)其中系数 Ckj=,(j，,k 1)(j, j)(k 1,2,n)其中(x)为首项(即xk项)系数为1的k次多项式，k(x) Hn(k0,1,n)。证明(1 )令 0(x) = 1。(2)构造aC10 0(x),选取 Cw 使1, 0) (x C10 0, 0)(x, 0)C!0 ( 0 , 0)即选取c10(x, 0)(0,0)(3)设已构造0(x),1(x

21、), k 1(x),(k 1),且满足.(a) i(x)是首项系数为1的i次多项式(b)( i, j) 0,当 i j(i,j 0,1, ,k 1)现由xk及0, 1, , k1组合构造k(x) xkk 1Ckj j(x)j 0选择系数 Cki 使(k, i) (xk, i)Cki( i, i) 0即选取(i, j)(x) i(x) j(x)dx 0,当 i j推论若 交多项式组(2)设 P(x)的i次多项式; 则n于a,b线性无关；P(x)可由正交多项式组表示即 其中GP(x)nCi i(x)，i 0(P, i) (J (l(i,0,1,L , n)证(2.5)按照P(x) aoanXnk(

22、x)定义有k(x)k 1Ckj j(x),(k 1,2,n)j 0+4，(i 0,1, ,k 1)(i , i)于是，得到。(x), 1(x), , n(x)为a,b具有权函数(x)的 正交多项式组，即b(i, j)a(1)设 0(x), 1(x), n(x)为a,b带权(x)的正其中i(x)首项系数为1Hn为任一次数n多项式，(2.6)各(2.6)代入(2.5)进行合并整理即得P(x) C0 0(X)C1 1(x)Cn n(x)推论说明o(x), i(x), , n(x)为 Hn 中一个正交基 。o(x) i(x) k i(x) 其中 k 1设0（x）, 1（X）, , n（x）为a, b具

23、有权函数（x）的正交 组，其中i（x）是首项系数为1的i次多项式，则k（x） 满足递推公式:1(x k 1) k(x) k 1 k 1(x),(k1,2, n 1)(x k, k)k , k(k, k )(k 1, k 1)k(x)；0且于a, b上关于权函数 （x） 的正交多项式组k（x）；o是唯的，其中k（x）是首项系数为1的k次多项式证明 显然x k（x）k 1（X）为k次多项式,由推论，则有kx k(x) k 1(x) j j(x)j 0(2.7)用 s(x)(S0乙点）与（2.7）两边作内积，则有(x k,s)( k 1, s) s( s, s)所以(：k, ：),(s 0,1, ,

24、k)(s , s)(1)考查 s(s 0,1, ,k 2)(X k? s)s(s, s)其中(x k, s): (x)x k(x) s(x)dx ( k,x s)0s 1(x s(x)Ci i(x)i 0所以,s 0,(s 0,1, ,k 2)考查k1丄kJ k1ak1 ( k1(x k 1(X)k(x)k 1Cii 0(x),或k 11(x)k(x)C i (x)i 0于是,x k(x)k 1(x) kk i(x)k(x)k 1(x)(x k 1) k(x) k 1 k 1(x)(k 1,2, ,n 1)疋理5 设k是a,b上带权(x)的正父多项式序 列，则n次多项式n(x)在(a,b)内恰

25、好有n个不同的实根1 勒让德(Legendre)多项式取a,b 1,1,权函数(x) 1 ,则由定理4可得于1, 具有权函数(x) 1的正交多项式组Po(X) 1p1(x)、po(Po, Po) 綿 0x(x3,J(x3,2)PiP2(Pi, Pi)(P2, P2) 2P2 (x) xP3(x) x3(x2，0)、Po(Po, Po)(x3, Po) (x2,i) P1(Pi, Pl)且有(Pi,Pj) o,当 i jPk(x)为首项系数为1的k次多项式定义7 n次多项式Pn(x)尙缶(x21)n(n o,1,2,)称为Legendre多项式。显然有Po(x) 1 P0(x)P(x) x P

26、(x)P2(x) |x2 1 |b(x)R(x) 2x3 2x |f3(x)(2。8)Pn(X)器 P(X)(1)求Pn(X)的首项系数(x2 1)ndx即求齐(x2 F首项系数，由于dx式，即为求x2n的n阶导数后的系数2n 1(x) 2nx(x) 2n(2n 1)x2n 2(x) (x2 1)n是2n次多项(n)(x) 2n(2n 1) (2n (n 1)x2n n2n(2n 1) (n 1)n 2 1Xn!(2n)! nxn!从而，酥)首项系数an1 (2n)!2n (n!)2-2n护(x) (2n)!(2)Pn(x)具有简单性质(a )Pn(1) 1,Pn( 1)( 1)n(b )令(

27、x) (x2 1)n (x 1)n(x 1)n，则-p (x)dXx 10,当k n时(3)Legendre多项式r：。为-1，1具有权函数(x) 1的正交多项式，即0,当 n m(Pn,Pm)iPn(X)Pm(X)dX2立1 当 n m2n 1证明(a)设 k n,且记(x) (x2 1)n 及Pn(X)12nn!(n)(x)于是，(Pk,Pn)1n .2 n!1禺(x)(n)(x)dx 12nn! 11 Pk(x)d (n 1)12nn!（再分部积分）1 (n 1(x)Pk(x)dx(b)当 k(Pn,R) a12nn!(1)kn时，记(n2)(x)R(x)dx2nn!；(nk1)(x)P

28、k(k1)(x)dx 01a n 2(2 n!)1(x) (n)(x)dx a 1 (n)(x)d (n 1(n1)(x)(n1)(x)dx a 1 (n2)(x)d(n1)1(n)11a11(n)a 1 (n2)(x)(n 2)(x)dx11 (x) (2n)(x)dx11(x2 1)ndx(1)na(1)na(2 n)!1a(2n)! ,1x2)ndx2a(2n)! : cos2n 1 d2n 1sin ,且 2 cos2n 1 do(2nn!)2)(2n1)!丿又由Pn(X)唯一性，于是有Pn(X)2n( n!)2(2n)!Pn(x)(4) Legendre多项式的奇偶性R( x) (

29、i)nPn(x)Pn(x),当n为偶数，多项式Pn(x)为偶函数Pn(x),当n为奇数，多项式Pn(x)为奇函数(5) Legendre多项式的三项递推Po(x) iP(x) x(k 1)Pki(x) x(2k 1)Pk(x) kF i(x)(k 1,2,L ),x 1,12 切比雪夫(Chebshev)多项式取a,b 1,1,权函数(x)亠亍则由定理4可得于 心x2具有权函数(X)1 2,的正交多项式组1 x1,1T0(x)1(x) x (x 卫 T x(T0,T。)x/ 1 x2dxJZ(x)2 x2(汽丁0)02 (x ,TJ12 1x(T0,T0)(RTd2T3(x)3 (X3,To

30、片x 0(x3,T1)(x3,T2)(To,To)(T1,T1)(T2,T2)11/ 1 x2dx13 x且有(订j) 0，当 i joTk(x)为首项系数为1的k次多项式 定义8n次多项式Tn(x) cos(narc cosx)称为n次Chebyshev多项式，显然有：T(x)1 T0(x)T1(x)x T1(x)T2(x)2x212T；(x)T3(x)4x3 3x4T(x)T4(x)8x4 8x2! 1T5(x)5316x20x 5x(2. 9)是1,1显然，Tn(x)首项系数为2k1 o(1) Chebyshev 多项式， To(x),T1 (x), ,Tn(x), 具有权函数(X)1 2,的正交多项式组。即 v1 x0,当n m1 1 /(Tn ,Tm)1n(x)dx当 m n 0i x, 当 m m 0事实了,由直接计算可得，令x cos(Tng)1 1 1 12 cos( n cos x) cos(