针对二级倒立摆的LQR控制系统设计

1、目 录0. 前言11. 倒立摆21.1倒立摆的结构和工作原理21.2 倒立摆的特性31.3 控制方法31.4 课设目的42. 直线二级倒立摆的数学模型的建立与分析42.1 建立数学模型42.2 系统的能控能观测性分析83. LQR控制器的设计93.1关于二次型最优控制（LQR）93.2 LQR的基本原理103.3 加权阵Q和R的选择114. LQR控制器参数的调试与仿真125. 总结与体会17参考文献18课设题目 针对直线二级倒立摆的LQR控制系统设计金万福 沈阳航空航天大学自动化学院摘要：倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的高阶不稳定系统，它是检验各种新的控制理论和方法有

2、效性的典型理想模型。在其控制过程中，能有效地反映诸如镇定性、鲁棒性、随动性以及跟踪等许多关键问题。本文主要研究二级倒立摆LQR控制方法。首先建立了二级倒立摆的数学模型，然后对二级倒立摆的数学模型进行控制设计，应用遗传算法确定系统性能指标函数中的加权阵Q，R得到系统状态反馈控制矩阵。最后，用MATLAB进行了系统仿真。在几次凑试Q矩阵值后系统的响应结果都不尽如人意，于是采用遗传算法对Q矩阵优化。仿真结果证明：经过遗传算法优化后的系统响应能更加满足设计要求。关键词：二级倒立摆；LQR控制；遗传算法0. 前言随着现代科学技术的快速发展，控制工程所面临的问题越来越复杂。许多系统具有严重非线性、模型不确

3、定、大滞后等特点。倒立摆就是这样的复杂系统，对它的研究具有一般性。倒立摆源于火箭发射器，最初的研究开始于二十世纪50 年代，由美国麻省理工学院的控制理论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。倒立摆的控制技巧同杂技运动员倒立平衡表演有异曲同工之处，这表明一个不稳定的被控对象，通过人的直觉、采取定性的手段，可以使之具有良好的稳定性。在控制理论的发展过程中，某一理论的正确性及其在实际应用中的可行性需要一个按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证。倒立摆系统作为一个实验装置，形象直观，结构简单，成本低廉；作为一个控制对象，他又相当复杂，同时就其本身而言，是一个高阶次、不稳定、多变量、

4、非线性、强耦合系统，只有采取行之有效的控制方法才能使之稳定，因此倒立摆装置被公认为是自动控制理论中的典型实验设备1。通过对倒立摆系统的研究，不仅可以解决控制中的理论问题，还能将控制理论所涉及的三个基础学科：力学、数学和电学有机的结合起来，在倒立摆系统中进行综合应用。对倒立摆系统进行控制，其稳定效果非常明了，可以通过角度、位移和稳定时间直接度量，控制好坏一目了然。理论是工程的先导，对倒立摆的研究不仅有其深远的理论意义，还有重要的工程背景。从日常生活中所见到的任何重心在上，支点在下的控制问题，到空间飞行器和各类伺服云台的稳定，都和倒立摆的控制有很大的相似性，故对其的稳定控制在实际中有很多用场，如海

5、上钻井平台的稳定控制、卫星发射架的稳定控制、火箭姿态控制、飞机安全着陆化工过程控制等都属于这类问题。针对上面的实际问题，启发了人们采用智能控制方法对倒立摆进行控制。因此对倒立摆机理的研究具有重要的理论和实际意义，成为控制理论中经久不衰的研究课题。1.倒立摆1.1倒立摆的结构和工作原理倒立摆系统是一个多变量、快速非线性和自然不稳定系统。在控制过程中能有效地反映控制中的许多关键问题，如非线性问题系统的鲁棒性问题、随动问题、镇定问题及跟踪问题等。倒立摆系统作为一个实验装置形象直观结构简单构件组成参数和形状易于改变成本低廉。倒立摆系统的控制效果可以通过其稳定性直观地体现，也可以通过摆杆角度小车位移和稳

6、定时间直接度量。如图1.1，系统包括计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体（小车，上摆，下摆，皮带轮等）和光电码盘几大部分，组成了一个闭环系统。光电码盘1将小车的位移、速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，下面一节摆杆（和小车相连）的角度、角速度信号由光电码盘2反馈回控制卡和伺服驱动器，上面一节摆杆的角度和角速度信号则由光电码盘3反馈。计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策（小车向哪个方向移动、移动速度、加速度等），并由运动控制卡来实现该控制决策，产生相应的控制量，使电机转动，带动小车运动，保持两节摆杆的平衡。图1.1 系统结构和工作原理图1.2 倒立摆的特性a.非线性倒立摆是一个典

7、型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似模型，线性化处理后再进行控制。也可以利用非线性控制理论对其进行控制。倒立摆的非线性控制正成为一个研究的热点。b.不确定性主要是模型误差以及机械传动间隙，各种阻力等，实际控制中一般通过减少各种误差来降低不确定性，如通过施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定因素。c.耦合性倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。d.开环不稳定性倒立摆的平衡状态只有两个，即在垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定的平衡点，垂直

8、向下为稳定的平衡点。e.约束限制由于机构的限制，如运动模块行程限制，电机力矩限制等。为了制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机功率都尽量要求最小，行程限制对倒立摆的摆起影响尤为突出，容易出现小车的撞边现象。1.3 控制方法当前，倒立摆的控制方法可分为以下几类：a.线性理论控制方法将倒立摆系统的非线性模型进行近似线性化处理，获得系统在平衡点附近的线性化模型然后再利用各种线性系统控制器设计方法，得到期望的控制器PID 控制、状态反馈控制、LQR控制法是其典型代表这类方法对一、二级的倒立摆(线性化后误差较小模型较简单)控制时，可以解决常规倒立摆的稳定控制问题但对于像非线性较强模型较复杂的多变量系

9、统(三四级以及多级倒立摆)线性系统设计方法的局限性就十分明显，这就要求采用更有效的方法来进行合理的设计。b.预测控制和变结构控制方法由于线性控制理论与倒立摆系统多变量、非线性之间的矛盾，使人们意识到，针对多变量、非线性对象，采用具有非线性特性的多变量控制。解决多变量非线性系统的必由之路。人们先后开展了预测控制、变结构控制和自适应控制的研究。预测控制是一种优化控制方法，强调的是模型的功能而不是结构。变结构控制是一种非连续控制，可将控制对象从任意位置控制到滑动曲面上仍然保持系统的稳定性和鲁棒性，但是系统存在颤抖。预测控制、变结构控制和自适应控制在理论上有较好的控制效果，但由于控制方法复杂成本也高不

10、易在快速变化的系统上实时实现。c.智能控制方法在倒立摆系统中用到的智能控制方法主要有神经网络控制、模糊控制、仿人智能控制、拟人智能控制和云模型控制等。(1)神经网络控制 神经网络能够任意充分地逼近复杂的非线性关系，能够学习与适应严重不确定性系统的动态特性，所有定量或定性的信息都等势分布贮存于网络内的各种神经元，有很强的鲁棒性、容错性也可将学习算法和神经网络有效结合，实现状态未离散化的倒立摆的无模型学习控制。但是神经网络控制方法存在的主要问题是缺乏一种专门适合于控制问题的动态神经网络，而且多层网络的层数、隐层神经元的数量、激发函数类型的选择缺乏指导性原则等。(2)模糊控制 经典的模糊控制器利用模

11、糊集合理论将专家知识或操作人员经验形成的语言规则直接转化为自动控制策略，它的设计不依靠对象精确的数学模型，而是利用其语言知识模型进行设计和修正控制算法。常规的模糊控制器的设计方法有很大的局限性。首先，难以建立一组比较完善的多维模糊控制规则，即使能凑成这样一组不完整的粗糙的模糊控制规则，其控制效果也是难以保证的。(3)云模型控制 利用云模型实现对倒立摆的控制，用云模型构成语言值用语言值，构成规则，形成一种定性的推理机制。这种拟人控制不要求给出被控对象精确的数学模型，仅仅依据人的经验、感受和逻辑判断，将人用自然语言表达的控制经验，通过语言原子和云模型转换到语言控制规则器中，就能解决非线性问题和不确

12、定性问题。1.4 课设目的本次课程设计通过线性二次型最优控制（LQR）方案令二级倒立摆达到稳定状态，用 MATLAB和Simulink对控制方案进行了仿真，并实现了二级倒立摆实物系统的稳定控制。a.建立二级倒立摆系统的数学建模。b.研究倒立摆系统稳定控制方法，用线性二次型最优控制（LQR）方案配置控制对二级倒立摆系统进行稳定性控制。c.学习Simulink仿真系统的方法。d.进行调试，对结果进行分析。达到预定的稳定精度要求。2.直线二级倒立摆数学模型的建立与分析2.1 建立数学模型系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研

13、究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入输出关系。这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入状态关系。为简化系统，我们在建模时忽略了空气阻力和各种摩擦，并认为摆杆为刚体。二级倒立摆的组成如图2.1所示：图2.1 直线两级倒立摆物理模型倒立摆参数定义如下：M小车质量m1摆杆 1的质量m2摆杆 2 的质量m3质量块的质量l1摆杆1 中心到转动中心的距离l2摆杆2 中心到转动中心的距离1 摆杆1 与竖直方向的夹角2 摆杆 2 与竖直方向的夹角F作用在

14、系统上的外力利用拉格朗日方程推导运动学方程：拉格朗日方程为： (2.1)其中为拉格朗日算子，为系统的广义坐标，为系统的动能，为系统的势能。 (2.2)其中，为系统在第个广义坐标上的外力，在二级倒立摆系统中，系统的广义坐标有三个广义坐标，分别为。首先计算系统的动能： (2.3)其中分别为小车的动能，摆杆1的动能，摆杆2的动能和量块的动能。小车的动能： (2.4)，其中分别为摆杆1的平动动能和转动动能。，其中分别为摆杆2的平动动能和转动动能。对于系统，设以下变量：xpend1 摆杆1质心横坐标；yangle1 摆杆1质心纵坐标；xpend2 摆杆2质心横坐标；yangle2 摆杆2质心纵坐标；xm

15、ass 质量块质心横坐标；ymass 质量块质心纵坐标；又有： (2.5)则有： ( 2.6)同理： (2.7)于是有系统的总动能为： (2.8)系统的势能为： (2.9)由于系统在广义坐标下没有外力作用，所以有： (2.10)对于二级倒立摆系统，系统状态变量为：为求解状态方程： (2.11)需要求解和因此设： (2.12)将在平衡位置附近进行泰勒级数展开，并线性化，可以得到： (2.13)其中： 在Mathematics中计算以上各式得到：k12=86.69 k13=-21.62k17=6.64 k22=-40.31k23=39.45 k27=-0.088由此可以得到系统状态矩阵A，B，C，

16、D如下： 2.2 系统能控能观性分析系统可控性分析：对于该系统，一般摆杆竖直向下是系统的稳定平衡点，摆杆竖直向上是系统的不稳定平衡点，对于不稳定平衡点需要设计控制器来镇定系统。既然需要设计控制器镇定系统，那么首先就要考虑系统是否能控。对于线性状态方程(2.14)在MATLAB中计算系统状态可控性矩阵和输出可控性矩阵的秩，输入程序：A= 0 0 0 1 0 0; 0 0 0 0 1 0; 0 0 0 0 0 1; 0 0 0 0 0 0;0 86.69 -21.62 0 0 0;0 -40.31 39.45 0 0 0;B= 0 0 0 1 6.64 -0.088;C= 1 0 0 0 0 00

17、 1 0 0 0 00 0 1 0 0 0;D= 0 0 0 ;cona=B A*B A2*B A3*B A4*B A5*B;cona2=C*B C*A*B C*A2*B C*A3*BC*A4*B C*A5*B D;rank(cona)rank(cona2)得到结果如下：ans =6ans =3或者通过 MATLAB 命令ctrb 和obsv 直接得到系统的可控性和可观测性。Uc=ctrb(A,B);Vo=obsv(A,C);rank(Uc)rank(Vo)得到结果如下：ans =6ans =6可以得到，系统状态和输出都可控，且系统具有可观测性。3. LQR控制器的设计3.1.关于线性二次型最

18、优控制（LQR）LQR (linear quadratic regulator)即线性二次型调节器,其对象是现代控制理论中以状态空间形式给出的线性系统 ,而目标函数为对象状态和控制输入的二次型函数。LQR最优设计指设计是出的状态反馈控制器 K要使二次型目标函数J 取最小值,而 K由权矩阵Q与R唯一决定,故此 Q、R的选择尤为重要。LQR理论是现代控制理论中发展最早也最为成熟的一种状态空间设计法。特别可贵的是 ,LQR可得到状态线性反馈的最优控制规律,易于构成闭环最优控制。而且 Matlab 的应用为LQR理论仿真提供了条件,更为我们实现稳、准、快的控制目标提供了方便。对于线性系统的控制器设计问

19、题，如果其性能指标是状态变量和(或)控制变量的二次型函数的积分，则这种动态系统的最优化问题称为线性系统二次型性能指标的最优控制问题，简称为线性二次型最优控制问题或线性二次问题。线性二次型问题的最优解可以写成统一的解析表达式和实现求解过程的规范化，并可简单地采用状态线性反馈控制律构成闭环最优控制系统，能够兼顾多项性能指标，因此得到特别的重视，为现代控制理论中发展较为成熟的一部分。LQR最优控制利用廉价成本可以使原系统达到较好的性能指标(事实也可以对不稳定的系统进行镇定) ,而且方法简单便于实现 ,同时利用 Matlab 强大的功能体系容易对系统实现仿真。本文利用Matlab对实例进行LQR最优控

20、制设计,比较 Q、R 变化对系统动态性能的影响,说明LQR系统设计的简单而可行性及Q、R变化对系统性能影响的重要性。3.2线性二次最优控制LQR的基本原理线性二次型是指系统的状态方程是线性的，指标函数是状态变量和控制变量的二次型。考虑线性系统的状态方程为：找一状态反馈控制律：，使得二次型性能指标最小化：其中，为系统的状态变量；、为起始时间与终止时间；为终态约束矩阵；为运动约束矩阵；为约束控制矩阵。其中、决定了系统误差与控制能量消耗之间的相对重要性。为使最小，由最小值原理得到最优控制为：式中，矩阵为微分Riccatti方程：的解。如果令终止时间，为一个常数矩阵，且，因此以上的Riccatti方程

21、简化为。对于最优反馈系数矩阵，使用Matlab中专门的求解工具lqr()来求取。3.3.加权阵Q和R的选择在利用LQR方法设计控制器时，一个最关键的问题是二次型性能指标的选取。二次型性能指标与实际工程意义的品质指标间的联系至今未完全建立。因此，确定加权阵Q, R是一项重要且困难的工作。一般来说，加权矩阵Q和R的选取是在立足提高控制性能与降低控制能量消耗的折衷上考虑的。为了使问题简单，且使加权阵Q和R的各元素有明显的物理意义，通常将加权阵Q和R选为对角阵。这样可以看出Q是对状态X平方的加权，Q相对增大就意味着对X的要求较严;R是对控制量u的平方的加权，当R相对较大，意味着控制费用增高，使得控制能

22、量较小，反馈减弱，当R相对很小时，控制费用较低，反馈增强，系统动态响应迅速。在实际选择加权阵时，都是通过试凑法来实现，选择一组加权阵，然后仿真观察其控制性能是否满足要求，直到寻找到满足其性能要求的加权阵为止。加权阵Q、R是相对的，因此在实际选择中，先令R=1，然后改变Q对角线上的值，直到满足性能要求为止。在二级倒立摆的镇定控制中，要求系统最快的回到平衡位置，按照控制要求选择加权阵的值。因为二级倒立摆控制器只有一个输入控制量，R为标量，直接选择R=1。对于二级倒立摆系统，二次型性能指标应能使其在调节过程中不偏离倒立摆的控制区域且尽可能在系统的线性范围内，根据对二级倒立摆运动分析，在考虑倒立摆系统

23、的各个状态时，上摆偏角应比下摆角重要，下摆的偏角应比小车的位移X重要，因此要在选择加权矩阵Q和R时反映这些要求。利用线性二次最优控制规律设计LQR控制器时，就是求取控制器的反馈增益K的问题。根据期望性能指标选取加权矩阵Q、R，利用Matlab 中的命令lqr 就可以得到反馈增益K 的值。然后利用求得的K值进行仿真实验，观察系统性能是否满足要求。若不满足要求，则改变加权矩阵Q的值，直到符合系统的性能要求。4. LQR控制器的参数调节及仿真通过拉格朗日公式以及各种计算，我们获得了直线二级倒立摆系统的数学模型和反馈增益K值，要实现线性二级最优控制，需要对K加权重Q和R进行优化，根据LQR的控制规律，

24、编写出如下程序，程序利用lqr算出K值，然后进行LQR控制仿真，观察系统在扰动信号下的响应。系统中通过引入反馈增益K来消除稳态误差，控制信号为输入量与输出信号乘以反馈增益之后的差。程序中Q11代表小车位置的权重，Q22代表摆杆1的角位移的权重，Q33代表摆杆2的角位移的权重，R代表输入的权重。要想获得系统的最优性能指标，需要保证小车位移在干扰信号下到达稳定的时间和上升时间都要最少。由于二级倒立摆的控制器只有一个输入控制量，R为标量，直接选择R=1，因此我们只需要改变权重Q的值即可。程序如下：% Googol Linear 2 stage Inverted Pendulum LQR Contro

25、l %clear all;format long;k12=86.69;k13=-21.62;k17=6.64;k22=-40.31;k23=39.45;k27=-0.088;A=0 0 0 1 0 0; 0 0 0 0 1 0; 0 0 0 0 0 1; 0 0 0 0 0 0; 0 k12 k13 0 0 0; 0 k22 k23 0 0 0B= 0 0 0 1 k17 k27;C=1 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 0 0; 0 0 1 0 0 0;D=0;0;0;Q11=1;Q22=1;Q33=1;Q=Q11 0 0 0 0 0; 0 Q22 0 0 0 0; 0 0 Q33 0

26、0 0; 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0;R=1;K=lqr(A,B,Q,R)Ac=(A-B*K);Bc=B;Cc=C;Dc=D;T=0:0.005:5;U=0*ones(size(T);Cn=1 0 0 0 0 0;s=size(A,1);Z=zeros(1,s) 1;N=inv(A,B;Cn,0)*Z;Nx=N(1:s);Nu=N(1+s);Nbar=Nu+K*Nx;Bcn=Nbar*B;x0=0 0 0.05 0 0 0;Y,X=lsim(Ac,Bcn,Cc,Dc,U,T,x0);xpos=Y(:,1);xangle=Y(:,2);xangle

27、2=Y(:,3);plot(T,xpos,:)hold on;plot(T,xangle,-)hold on;plot(T,xangle2,-)图4.1由图1可以看出，Q11=1，Q22=1，Q33=1，R=1时，稳定时间太长，因此增加权重Q的值。设Q11=Q22=Q33=50，R=2，仿真结果如图4.2：图4.2可以看出稳定时间大大减少，因此可以尝试继续增大权重Q。设Q11=200，Q22=200，Q33=200，R不变，仿真结果如图4.3：图4.3这里可以看出稳定时间基本上不怎么变化了，但是振幅已经小了一些，因此尝试继续增加权重Q看是否能得到更好的响应曲线，分别设定：图4.4Q11=300，Q22=300，Q33=300；Q11=300，Q22=500，Q33=500；Q11=700，Q22=700，Q33=700；Q11=1000，Q22=1000，Q33=1000；可以把仿真结果都输出到一张图上进行比较，仿真图如4.4所示：可以看出，稳定时间基本没有不再减少，Q值越大，系统性能指标变得更好。通过查阅相关资料，在固定R为1的情况下，加权阵Q的参数在0-100时，控制器的控制能力很弱，不能明显的改善控制性能；加权阵Q的参数在100-1000内时，控制器能明显的提高控制性能；加权阵Q的参数大于1000时，系统的的控制量加大，但是性能提高缓