圆中垂径定理（用）

1、24.1.2 垂直于弦的直径,圆的两种定义,在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆,圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r 的点组成的图形,复习：,动态：,静态：,复习：,圆的有关概念：,1、弦： 直径：,连接圆上任意两点的线段,经过圆心的弦（圆中最长的弦）,2、弧：,圆上任意两点间的部分,优弧、半圆、劣弧,3、等圆、等弧,问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥

2、主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少？,问题情境,O,A,B,C,D,E,把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,活动一,可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线（或过圆心的直线）都是它的对称轴,同时：圆是中心对称图形,对称中心是圆心。圆具有旋转不变性.,如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB，垂足为E （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？,O,A,B,C,D,E,活 动 二,（1）是轴对称图形直径CD所在的直线是它的对称轴,（2） 线段： AE=BE,O,A,

3、B,C,D,E,条件：直径CD垂直于弦AB，垂足为E,垂径定理,垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。,题设,结论,（1）过圆心 （2）垂直于弦,（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧,（1） （4） （5）,（2） （3）,（1） （5）,（2） （3） （4）,讨论,（1） （3）,（2） （4） （5）,（1） （4）,（2） （3） （5）,（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧,（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 （3）平分

4、弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧,结论,命题(1)：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧,已知:CD是直径,AB是弦,并且CD平分AB,C,命题(2)：弦的垂直平分线经过圆心,并且平 分弦所对的两条弧,命题(3):平分弦所对的一条弧的直径,垂直平 分弦,并且平分弦所对的另一条弧,推论（1）,（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧,（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧,（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对和的另一条弧,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。,(1)平分弦(不是

5、直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧,(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧,(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧,垂径定理,记忆,推论1,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备,（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧,上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论,注意,1. 平分已知弧 AB .,你会四等分弧AB吗?,A,B,判断下列说法的正误,平分弧的直径必平分弧所对的弦( ),平分弦的直线必垂直弦 ( ),垂直于弦的直径平分这条弦( ),平分弦的直径垂直于这条

6、弦( ),弦的垂直平分线是圆的直径 ( ),平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦( ),在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧 ( ),辨别是非,判断,（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧.( ),（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心.( ),（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分.( ),（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧( ),（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）,问题:你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,

7、拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？,解得：R279（m）,解决求赵州桥拱半径的问题,在RtOAD中，由勾股定理，得,即 R2=18.72+（R7.2）2,赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.,OA2=AD2+OD2,解：,1如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径,O,A,B,E,P82:练习,解：,答：O的半径为5cm.,在Rt AOE 中,2如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形,证明：,四边形ADOE为矩形，,又AC=AB, AE=AD, 四边形ADOE为正方形.,某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为AB=.2 m ，过O 作OC AB 于D， 交圆弧于C，CD=2.4m， 现有一艘宽3m，船