沪教版高一下册数学高一下册教案正切函数的图像与性质

1、做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。6.2正切函数的图像与性质（1）上海市南洋中学卢久红一、教学内容分析本节内容是学生在学习了正弦、余弦函数图像和基本性质以后的知识，学生已经掌握了三角函数线的画法，并且对三角函数性质的讨论方法已经有了一个比较清晰的认识.因此通过正切函数的图像来认识函数的性质，并通过例题来巩固对性质的掌握是学习“正切函数的图像与性质”的一条主线.二、教学目标设计1.理解利用正切线作出的正切函数图像.2.通过观察正切函数图像了解与感悟正切函数的性质.3.通过练习与训练体验并初步掌握正切函数的基本性质.三、教学重点及难点利用正切线作正切函数的图像；正切函数单调性的证明以及周期性的确定.

2、四、教学用具准备多媒体设备五、教学流程设计:一、复习引入利用正切线六、教学过程设计作出正切函数在利用诱导公式，画出在r上的大致图像；观察图像，探索与讨论正切函数的性质pp总复习方法，结合图像1-结提炼上的图像数单调性并利用单调性解,2结函数性质2我们在前几节中学习了正弦函数线、余弦函数线决一些实际例题；通过周过正弦函数以及正切函数线，我们通法布置课外引导学生证明正切函归纳小今天，我们同样按照这样线，画出了正弦函数的图像，并研究了函数的性质.期的求解，感悟求一般函的方法通过数y=tan(x+)周期的方正切线来画出正切函数的图像，并研究和讨论它的性质.2引入,进行22o当在第一像限时，正弦线sin

3、=bm0余弦线cos=om0正切线tan=at0那么，当在其它三个像限的情况呢？请同学们画出其它三个像限的正切线.pp我们将区间-做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。ytmbx2-，-，八等分，9个点分别为-p3pp84,，,.分别画出其中-p8,0,pp3pp8482，-，-,0,，的正切线，-3ppppp3p848848-,然后利用描点法画出正切函数的大致图像.-p2yy=tanpp22p2x由正切三角比的诱导公式可知：tan(p+a)=tana那么y=tan(p+a)=tana，可知p为y=tanx的一个周期.由此，我们可以画出y=tanx在r上的大致图像如下：做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫

4、。y3-p2-p-p20p232px二、学习新课1.探究性质观察正切函数的图像，引导学生得正切函数的性质：1.定义域：x|xkp+,kz，2.值域：rp2(kz)，xkp+时，tanx观察：当x从小于kp+p2p22时，tanx-.当x从大于kp+p(kz)，xkp+2p3.周期性：t=p4.奇偶性：tan(-x)=-tanx奇函数.2,kp+pkz内，函数单调递增.5.单调性：在开区间kp-p2从图像上看出函数y=tanx的单调区间是kp-2,kp+pkz，但是我们怎样从理论p2考察0,p这个区间内的函数y=tanx的单调性.上去加以证明呢？2在0,p这个区间内任意取x1、2，且x1x2，y

5、1-y2=tanx1-tanx2做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。2=sinx1-cosx1sinx2=cosx2sinxcosx-cosxsinx1212=cosxcosx12sin(x-x)12cosxcosx12.2，所以-因为0xxp12p2x1-x20sin(x-x)0,从而tanx-tanx0，yy.即正切函数y=tanx在0,上是增函数.由212,0上正切函数y=tanx也是增函数.由于y=tanx的周期为p，则奇函数的性质可知，在-p1212p22,kp+pkz内单调递增.函数y=tanx在开区间kp-p2除了上述证明方法以外，请同学们思考:对于正切函数y=tanx，你还有什么方

6、法能够证明2,kp+pkz内单调递增吗？它在开区间kp-p2证法2：在0,p这个区间内任意取x1、2，且x1x2,2因为-x-x0.tan(x1-x2)0，1+tanxtanx2tanx1-tanx2=tan(x-x)p121212则tanx1-tanx20,tanx10.因此1+tanx1tanx20.p2同前一种方法.说明2,kp+pkz每一个单调区间上在考虑正切函数单调性的时候，一定要讲在kp-p2是增函数，而不能讲它在定义域上是增函数，为什么？请同学们思考并说明之.（2）比较tan-与tan-的大小.做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。2例题分析例1.（1）比较tan1670与tan173

7、0的大小;13p17p45解：(1)900167017301800，而y=tanx在9001800上单调增函数，tan1670tan1730(2)tan-=-tantan-13p17p445，=-tan2p5，,y=tanx在0,内单调递增，又：0p42ppp5224-tan,即tan-ptan-ptanp2pp2p131754545例2.讨论函数y=tanx+p的性质.4,kz;略解：定义域：x|xr且xkp+p4值域：r;它是非奇非偶函数;,kp+上是增函数;在kp-3pp444)=tan(x+4+p)=tan(x+p)+令f(x)=tan(x+ppp4=f(x+p4)解：(1)令u=1x

8、+,那么y=3tanu因此，函数f(x)的周期是p.3问题拓展例3.求下列函数的单调区间：1p(1)y=3tan(x+);24p24u=1x+是增函数，由u=1得:kp-p1x+pkp+p；x+)的单调递增区间是：（2kp-3p，2kp+p）kz做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。p24且y=tanu的递增区间为u(kp-p,kp+p),kz22p2422421py=3tan(x+2422+)的单调区间：变式问题1：求函数y=3tan(-xp24解：因为原函数可以化为：y=-3tan(pp-);24令u=x;所以y=tanu的单调递增区间为：u(kp-p,kp+p),kzp-2422由u=x-得:

9、y=3tan(-x+)的1p241p24kp-p1ppx-kp+2242单调递减区间为(2kp-p2,2kp+3p2)kz例4.求下列函数的周期：y=3tan(2x+);说明在考虑正切函数与其他函数复合的问题时，需要分别注意这两个函数的单调性，然后根据复合函数的规则：增增得增，增减得减，确定单调区间.p4f(x)=3tan(2x+)=3tan(2x+p)=3tan2(x+)+=f(x+)解：ppppp44242做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。变式问题2：求解y=3tan(x+)的周期；周期t=p21p24解：1p1p1pf(x)=3tan(x+)=3tan(x+p)=3tan(x+2p)+=f

10、(x+2p)242424（周期t=）周期t=2p思考由上面的例4及其变式，请你归纳一下函数y=atan(x+)的周期是什么？p|w|三、巩固练习求函数y=tan3x-的定义域、值域，并指出它的奇偶性、单调性以及周期.p3解：令u=3x-p3,则y=tanu，由ukp+p2kz可得：xkp+(kz)，即函数的定义域是x|xr，且x+，kzkp5p3185p318y=tanu的值域为r，因此y=tan3x-的值域为r.p3存在x=p9和x=-p9,使tan(3pp9-3)tan3(-p9)-p3,所以，y=tan3x-是非奇非偶函数.p3由kp-p2ukp+p2,可以得到kppkp5p-x+(kz

11、)318318在(kpy=tan3x-ppkp5p-,+)(kz)上是增函数.3318318令f(x)=y=tan3x-p3=tan3x-+p=tan3(x+)-=f(x+)pppp33333)，函数f(x)=y=tan3x-pf(x)=f(x+p3的周期是p3.做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。四、课堂小结小结和归纳这节课所学习的内容：正切函数y=tanx的性质：+kp,kz定义域：x|xp2+kp,+kp,kz内都是增函数.单调性：正切函数在开区间-值域：全体实数r周期性：正切函数是周期函数，最小正周期t=p奇偶性：奇函数p2p2我们在求解有关正切函数与其它函数（如一次函数）复合的函数的增减

12、性的时候，一定要将构成此复合函数的每一个函数的单调性都搞清楚，然后根据增增得增、增减得减的原则来确定该函数的单调区间.我们在求解函数周期性的时候，一定要借助y=tanx的周期是p的结论，然后再利用周期函数定义f(x)=f(x+t)，求出函数的周期.五、作业布置(略)七、教学设计说明本节课是学生在已经掌握了三角函数线的前提下；在学生学习了正弦函数、余弦函数的图像与性质的基础上，进一步分析和探究正切函数的图像和性质.因为对于函数的研究方法学生已经基本掌握.因此，在实际学习的过程中，学生对通过函数图像研究函数性质的研究步骤和手段不会感到很陌生.考虑到本节课为正切函数图像与性质的第一节课，所以选取的例题大多比较基础，重点在于让学生通过图像来理解性质，然后通过例题，初步掌握基本性质.本节课在教学技术上通过多媒体课件让学生直观地理解正切函数图像的画法，通过学生自己的思考以及动态的演示，让学生归纳和感悟正切函数的性质.在例题的设计上从最基本的利用单调性比较大小出发，到函数性质的简单应用，再到单调性和周期性的变式训练，由浅入深