常微分方程期末试题答案

1、一、填空题(每空 2分，共16分)。 1、方程 巴 x2 y2满足解的存在唯一性定理条件的区域是 dx dY 2. 方程组 F (x,Y),x dx 空间中的一条积分曲线. xoy平面 R, Y Rn的任何一个解的图象是n+1 3. fy (x, y)连续是保证方程 9丫 f (x, y)初值唯一的充分 条件. dx 4.方程组 dx dT dy d? 5方程y xy 6变量可分离方程 y 的奇点(0,0)的类型是 中心 (y )2的通解是y Cx丄C2 2 2 M x N y dx q y dy 0的积分因子是 N y P X 7.二阶线性齐次微分方程的两个解 1(x),y 2(X)成为其基

2、本解组的充要条 件是线性无关 y ca C2e 2x 因为数 i 1 i不是特征根，故原方程具有形如 yi x e Acosx Bsinx 的特解。 将上式代入原方程, 由于 y1 ex Acosx Bsin yie A B cosx B A sin x yi X e 2BC0SX 2Asin x 2y ex 2Bcosx 2Asin x B cosx B A sin X 或 3B 2ex Acosx Bsin x ex cosx 7sin x A cosx B 3A sin X cosx 7 sin x 1 比较上述等式两端的 cosx,sinx的系数，可得A 3B 1 , 3A B 7 因

3、此，A 2 ,B 1.故 y1 ex 2cosx 1sin x 所求通解为y ex X 2cosx 1sin X C1e C2ex 19.求方程组dY dx Y的实基本解组 解：方程组的特征多项式为 属于1的特征向量 属于2的特征向量 则方程的基本解组为 其实基本解组为 其特征根是 1,2 3 5i，那么 3 5i x ie 3 5i x 3 5i x e .3 ie 5i 而11 0 因此所求实基本解组为 .-3 5i x 1 ie o3 5i x 2 e 5i x 3 e 3 5i x ie 四、应用题(每小题 11分, 共11分)。 e3t cos5x e3t sin 5x 3t . I

4、- e sin 5x e3t cos5x 20. (1)求函数 f(t) at e的拉普拉斯变换 x (2)求初值问题 3x 2x 2e3t 的解 x(0)0, x (0)0 欢迎下载11 (2)设 x t X s , ,s a c s a o o,s a st at usat,1s a t e dt e dt e s a xt是已知初值问题的解。对已知方程两端同时使用拉普 拉斯变换，可分别得到 x 3x 2x x s2 3s 2 X s s2 3s 2 2e3t 2e总 故有 X 使用部分分式法，可得 由（1）可知，et 2t e 2 s 2 1 r_2； 3t e 故所求的初值解为 x tet 2e2te3t。 五、证明题（每小题 10分，共10分）。 21 证明：对任意 xo及满足条件0 yo 1的 y，方程 dy dx 竺壬的满足 1 x y 条件 y(x0) yo 的解 y y(x)在( ）上存在。 证: 由于f (x, y) y(y 1) 1 x2 y2 fy (x, y) 3 X2 y2) y(y (1 x2 y2)2 1)2y 在全平面上连续，所以原方程在全平面上满足解的存在唯一性定理及解的延展定理 条件. ),yo (0,1), 又显然y 0, y 1是方程的两个特解.现任取