晶体结构对称性_倒空间

1、物理学与信息技术学院物理学与信息技术学院 第第1讲讲 晶体结构晶体结构 1 Crystals Structure 晶体结构晶体结构 Crystal Structure 晶列、晶面晶列、晶面 Crystals Array and Plane 对称性对称性 Symmetry 倒易空间倒易空间 Reciprocal Space 假设G是由一些元素组成的集合，即G= ，g，。 在G中定义了一种二元合成规则 (操作、运算，群的乘法)。 如果G对这种合成规则满足以下四个条件： a)封闭性： G中任意两个元素的乘积仍然属于G。 , fgGfghG b)结合律： ,()()fghGfg hf gh c)单位元

2、素。 集合G中存在一个单位元素e，对任意元素， fGfeeff d)可逆性。 对任意元素 ，存在逆元素 ，使 则称集合G为一个群。 fG 1 fG 11 ffffe 晶体对称性晶体对称性 对称性：若一个物体（或晶体图形）当对其施行某种规律的动作以后，它仍然能够恢复 原状（即其中点、线、面都与原始的点、线、面完全重合）时，就把该物体（图形）所 具有的这种特性称之为“对称性”。 对称变换（对称操作）：借助某种几何要素，能使物体（或对称图形）恢复原状所施行 的某种规律的动作，就称为“对称变换”。 对称要素（对称元素）：对物体（或图形）进行对称变换时所借以参考的几何要素，称 为“对称要素”。 晶体对称

3、操作晶体对称操作 1. 旋转对称性旋转对称性(Rotational Symmetry) 和对称操作：晶格围绕一固定和对称操作：晶格围绕一固定 轴轴(二维：通过格点而且垂直平面；三维：晶向二维：通过格点而且垂直平面；三维：晶向(Direction)转动角转动角 度或以后，晶格保持不变。度或以后，晶格保持不变。 3.反映反映( symmetry plane) 和对称操作：晶格对一晶面和对称操作：晶格对一晶面(Lattice Plane) 反射反射(二维：对通过格点的线进行反射二维：对通过格点的线进行反射)，晶格不变。，晶格不变。 2. 有限的平移对称性有限的平移对称性(Translational

4、symmetry)：有限制的平移对：有限制的平移对 称操作是指平移任意的分立的矢量称操作是指平移任意的分立的矢量(discretized vectors ) Rl=l1al+l2a2+l3a3。 4. 反演（center of symmetry）和对称操作：为一假想的几何点，相应的对称变换是对于 这个点的倒反。 第I类对称操作：保持手性不变，包括旋转和平移及其组合，这里操作可在实践上付诸 实施。 第II类对称操作：手性变化，包含奇数次反映或反演，在分子重组的化学过程中可能完 成，在实践上不一定付诸实施。 A B D C E 360 n ：基转角；：基转角； ：对称轴的轴次：对称轴的轴次 AEm

5、AB mZ 2cosAB ACAB cos 2 m 00000 3601801209060 22101 12346 m n 1.对称轴对称轴 晶体对称定律（law of crystal symmetry）：在晶体中，只可能出现轴次为1、2、3、4和6 次的对称轴，而不可能存在五次及高于六次的对称轴。 国际符号：1，2，3，4，6 对称轴所构成的对称配置投影符号： 对称轴图示对称轴图示 8二次轴二次轴 单斜单斜 9三次轴三次轴 10四次轴四次轴 11六次轴六次轴 C1 (1) C2 (2)C3 (3) C4 (4) C6 (6) 对称面对称面(II 类类) 反映（symmetry plane）：

6、一假想的平面，称为反映面或镜面。反映操作是从空间某一 点向反映面引垂线，并延长该垂线到反映面的另一侧，在延长线上取一点，使得到反映 面等距 国际符号：m 对称中心对称中心(II类类) 7对称中心对称中心 反演（center of symmetry, 符号C）：为一假想的几何点，相应的对称变换是对于这个 点的倒反。 (r -r)，国际符号： 1 旋转旋转-反演反演 n 旋转旋转-反演（反演（Axis of inversion）：其对称操作是先进行旋转操）：其对称操作是先进行旋转操 作作(n)后立刻再进行反演操作，这样的复合操作称为记为后立刻再进行反演操作，这样的复合操作称为记为 I类点操作和类点

7、操作和II点操作组合的复合操作，每一个操作本身不一定点操作组合的复合操作，每一个操作本身不一定 是对称操作。是对称操作。 简称为简称为倒反倒反 1/,2/1,3/6,4/4,6/3mmmmmm 32种点群分布种点群分布 国际符号/Hermann-Mauguin 符号 http:/metafysica.nl/derivation_32.html 以特征方向的对称性来表示 晶系晶系(The seven crystal systems) 1) 简单三斜 (Triclinic) 所属点群(P) 14种种Bravais空间点空间点 阵阵 1, 1 空间点阵按点群对称性和带心的模式一共可以产生14种型式，

8、 称为14种Bravais点阵或Bravais格子，Bravais点阵表示出所属 空间群的平移子群。 每种晶系最多可构成5种空间点阵， 1简单点阵（P） 2底心点阵（,C）(0.5,0.5,0),(0,0.5, 0.5)或(0.5,0,0.5) 3面心点阵（F）(0.5,0,0),(0,0.5, 0)和(0,0,0.5) 4体心点阵（I） (0.5,0.5,0.5) 5. 菱形点（R） ( 2/3,1/3,1/3),(1/3,2/3,2/3) ,abc 单斜（单斜（Monoclinic） 2) 简单单斜（P） 3) 底心单斜（C）2, 2/mm ,90abc 正交正交 （Orthorhombi

9、c） 4) 简单正交（P） 5) 底心正交（C） 6) 体心正交（I） 7) 面心正交（F） 222,2,mmmmm 90 abc 三角（三角（Trigonal） 8) 三角 （R,P） 3, 3, 32, 3 , 3mm 90120 abc 四方（四方（Tetragonal） 9) 简单四方（P） 10) 体心四方 （I） 4, 4, 4/, 422 4, 42 4/ m mmm mmm 90 abc 六角（六角（Hexagonal） 11) 六角 （P） 6, 6, 6/, 622 6, 6 2, 6/ m mmmmmm 90 ,120 abc 立方（立方（Cubic） 12) 简单立方（

10、P） 13) 体心立方（I） 14) 面心立方 （F） 23,3, 432, 43 ,3mm m m 90 abc 14种种 Bravais格子格子 1.简单三斜（P） 2.简单单斜（P） 3.底心单斜（C） 4.简单正交（P） 5.底心正交（C） 6.体心正交（I） 7.面心正交（F） 8.六角 （P） 9.三角 （R） 10.简单四角（P） 11.体心四角（I） 12.简立方 （P） 13.体心立方（b） 14.面心立方（F） 230 种空间群种空间群 space groups 230 空间群符号 = Bravais点阵类型符号 + 点群对称元素 空间群：由点群对称操作和平移对称操作组合而

11、成；由 32 晶体学点群与 14个Bravais 点阵组合而成； 空间群是一个单胞（包含单胞带心）的平移对称操作；反射、旋转和旋转反演等点群对称 性操作、以及螺旋轴和滑移面对称性操作的组合。 晶体学中的空间群是三维周期性物体(晶体)变换成它自身的对称操作(平移，点操作以及 这两者的组合)的集合。一共有230种空间群。 每种空间群唯一的对应一种晶体结构。自然界的晶体结构只能有230种。 对称操作 一个物体在某一个正交变换下保持不变 物体的对称操作越多，其对称性越高 1 立方体的对称操作 （Pm3m） 1) 绕三个立方轴转动 9个对称操作 3 , 22 2) 绕6条面对角线轴转动 共有6个对称操作

12、 3) 绕4个立方体对角线 轴转动 8个对称操作 4) 恒等变换 1个对称操作 3 4 , 3 2 5) 以上24个对称操作加中心反演仍是对称操作 立方体的对称操作共有48个 12立方立方113立方立方2 金刚石晶格（Fd3m） 四个原子位于正四面体的四个顶 角上，正四面体的对称操作包含 在立方体操作之中 1) 绕三个立方轴转动 共有3个对称操作 Diamond 2) 绕4个立方体对角线轴转动 8个对称操作 3) 恒等变换 1个对称操作 3 4 , 3 2 4) 绕三个立方轴转动 /2，3/2 加中心反演 6个对称操作 5) 绕6条面对角线轴转动 加中心反演 6个对称操作 正四面体对称操作共有

13、24个 几种常见晶体结构几种常见晶体结构 空间群：Pm3m Bravais格子：简单立方 原子及位置：Cs（0，0，0） Cl（0.5，0.5，0.5） 或互换 立方钙钛矿（cubic pervoskite） 空间群：Pm3m Bravais格子：简单立方 原子及位置：Ba（0，0，0） Ti（0.5，0.5，0.5） O（0，0.5，0.5）（0.5，0，0.5）（0.5，0.5， 0） 几种常见晶体结构几种常见晶体结构 空间群：Fm3m Bravais格子：面心立方 原子及位置：Na（0，0，0） Cl（0.5，0.5，0.5） 或互换 其他原子的位置？ 空间群：Fd3m Bravais格

14、子：面心立方 原子及位置：C（0，0，0） C（0.25，0.25，0.25） 其他原子的位置？ 晶体结构晶体结构 晶体结构结构单元空间点阵 体现了对称性与周期性体现了对称性与周期性 晶体的周期性晶体的周期性 晶格具有周期性，一些物理量具有周期性晶格具有周期性，一些物理量具有周期性 考虑体系足够大（大于微米量级），表面效应不重要，势能函数考虑体系足够大（大于微米量级），表面效应不重要，势能函数 其中其中Rl为为Bravaise格子的格矢格子的格矢 对于晶体来说，其他的一些性质，如质量密度，电子云密度，势场对于晶体来说，其他的一些性质，如质量密度，电子云密度，势场 等，均可写作周期函数等，均可写

15、作周期函数 将将F(r)展成傅里叶级数展成傅里叶级数 其中系数其中系数 其中其中为原胞体积为原胞体积 ()( ) l VVrRr ( )() l FFrrR ( )( ) i FAe g r g rg 1 ( )( ) i AFed g r grr 1 ( )() i l AFed g r grRr 对于对于Bravais格子所有格矢格子所有格矢 做代换做代换r=r+Rl 即：即： 将将F(r)展成展成 其中其中Gh对所有倒对所有倒 格子求和格子求和 1 ( )( ) l ii AeFed g Rg r grr ( )( ) n i AeA g R gg ( )(1)0 l i Ae g R

16、g 1 l i e g R 1 hl i e GR ( )() h h i h FAe G r G rG 1 ()( ) h i h AFed G r Grr Bravais格子中格子中 有有 1 12233l lllRaaa 由倒格子定义知：由倒格子定义知： ，m为整数为整数2 hl mGR 可以把倒格矢写成可以把倒格矢写成 ，hi 为整数，且为整数，且 1 1223 3h hhhGbbb2 ijij b a b1垂直与垂直与a2，a3，写作，写作 1123 baa 由定义可求出系数由定义可求出系数 为原胞体积为原胞体积 1 123 22 () aaa 112233 2 hhh lllmGa

17、GaGa 2 ijij b a 对任意对任意 l1，l2，l3 要求要求 1122333 2,2,2 hhh hh lhGaGaGa 倒格子原胞体积倒格子原胞体积 说明说明 倒格子和正格子是互为倒易的，正格子的基矢也可以通过倒格子的倒格子和正格子是互为倒易的，正格子的基矢也可以通过倒格子的 基矢来定义基矢来定义 物理量的表示在正格子和倒格子的表示之间存在傅里叶变换，二者物理量的表示在正格子和倒格子的表示之间存在傅里叶变换，二者 是等效的。是等效的。 23 1 123 31 2 123 12 3 123 2 () 2 () 2 () aa b aaa aa b aaa aa b aaa 33 *

18、 123233112 3 (2 )(2 ) ()() () () bbbaaaaaa ( )() h i h FAe G r g rG 1 ()( ) h i h AFed G r Grr 例例 写出简单立方写出简单立方(SC)的倒格子基矢的倒格子基矢 简单立方的基矢简单立方的基矢 原胞的体积原胞的体积 倒格子基矢倒格子基矢 123 ;aaaai aj ak 3 123 ()a aaa 123 222 ; aaa bi bj bk 例例 写出体心立方写出体心立方(bcc)的倒格子基矢的倒格子基矢 体心立方的基矢体心立方的基矢 原胞的体积原胞的体积 倒格子基矢倒格子基矢 1 2 3 () 2 (

19、) 2 () 2 a a a aijk aijk aijk 3 123 1 () 2 a aaa 123 222 ();();() aaa bjk bki bij 例例 写出面心立方写出面心立方(fcc)的倒格子基矢的倒格子基矢 面心立方的基矢面心立方的基矢 原胞的体积原胞的体积 倒格子基矢倒格子基矢 面心立方的倒格子是体心立方，体心立方的倒格子是面心面心立方的倒格子是体心立方，体心立方的倒格子是面心 立方立方 123 ();();() 222 aaa ajk aik aij 3 123 1 () 4 a aaa 123 222 ();();() aaa bijk bijk bijk 12 1

20、1 hk aaGhkl与与 垂直，同样可证与垂直，同样可证与 垂直，即与平垂直，即与平 面垂直面垂直 13 11 hl aa 12 11 hk aa 123hkl hklGbbb ( , , )h k l AB为正格子为正格子 晶面上的矢量晶面上的矢量( , , )h k l O A B C a1 a2 a3 12 11 hkl hk Gaa 1122 0b aba 123hkl hklGbbb 2 / hkl d O A B C a1 a2 a3 n M OM垂直于垂直于ABC面，面，OM方向上的单位矢量为方向上的单位矢量为 Miller指数指数( (hklhkl) )的几何意义的几何意义：

21、晶面：晶面(hkl) 的法向量为的法向量为 / hklhkl nGG hkl dOAn 1hkl hkl h Ga G 1231 hkl hkl h bbba G 2 hkl G 123hkl hklGbbb 同一晶格的正格子和倒格子有相同的点群对称性同一晶格的正格子和倒格子有相同的点群对称性 倒格子画法倒格子画法 一个晶体结构有两个格子，一个是正格，另一个为倒格，由正一个晶体结构有两个格子，一个是正格，另一个为倒格，由正 格子和倒格子的关系可以画出任意晶格的倒格子格子和倒格子的关系可以画出任意晶格的倒格子 正格子基矢：正格子基矢：a1, a2, a3； 倒格子基矢：倒格子基矢：b1, b2,

22、 b3 正格子位矢正格子位矢 倒格子位矢倒格子位矢 倒格子方向和大小倒格子方向和大小 一个倒格矢是和正格原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该一个倒格矢是和正格原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该 晶面的法线方向，它的大小为该晶面族面间距倒数的晶面的法线方向，它的大小为该晶面族面间距倒数的2 倍。倍。 1 12233l lllRaaa 1 1223 3h hhhGbbb 3b 1b 2b 1a 2a 3a Laue衍射条件衍射条件 入射波和散射波波矢入射波和散射波波矢k和和k， 两个原子散射束的光程差为两个原子散射束的光程差为 发生衍射条件发生衍射条件 kk 2 kk OMON r kr k m

23、 ( )2 mrkk 由倒格子定义知由倒格子定义知 对应于倒格子，即对应于倒格子，即 h Gkkkk Laue衍射方程。倒空间又叫波矢空间，动量空间衍射方程。倒空间又叫波矢空间，动量空间 Brillouin Laue方程方程 改写成改写成 平方并化简得到平方并化简得到 或或Brillouin区边界方程区边界方程 h Gkk h kkG 2 1 2 hh Gk G 1 2 h h Gk G Brillouin 例例 二维简单立方，体心立方和面心立方的倒格子第一二维简单立方，体心立方和面心立方的倒格子第一Brillouin区区 fcc 截角正八面体 bcc 正十二面体 Brillouin 1 2

24、22 2 2 2 3 3 3 3 3 3 可以证明，每个布里渊区的体积均相等，都等于第一布里渊区的可以证明，每个布里渊区的体积均相等，都等于第一布里渊区的 体积，即倒格子原胞的体积体积，即倒格子原胞的体积 b 。 Brillouin Brillouin 小小 结结 基本概念：原胞，基矢，晶胞，格矢，致密度，配位数，密排面，基本概念：原胞，基矢，晶胞，格矢，致密度，配位数，密排面， 密排方向密排方向 常见晶格的特性：简单晶格，面心立方，体心立方，四方，密堆常见晶格的特性：简单晶格，面心立方，体心立方，四方，密堆 六方六方 常见晶体结构：常见晶体结构：NaCl，ZnS， CsCl，BaTiO3，金

25、刚石，能够区分，金刚石，能够区分 简单晶格和复式晶格简单晶格和复式晶格 标定晶面指数（标定晶面指数（millar指数），晶向指数指数），晶向指数 对称性：旋转对称性，平移对称性，反演，反映对称性：旋转对称性，平移对称性，反演，反映 7个晶系，个晶系，14种种Bravais格子，格子， 倒格子及其性质，倒格子及其性质，Brillouin区，区，Wigner-Seitz原胞原胞 Bravais格子格子Rl=l1al+l2a2+l3a3，倒格子，倒格子Gh=h1bl+h2b2+h3b3 对称轴所构成的对称配置投影符号： 对称轴图示对称轴图示 8二次轴二次轴 单斜单斜 9三次轴三次轴 10四次轴四次轴 11六次轴六次轴 C1 (1) C2 (2)C3 (3) C4 (4) C6 (6) 对称面对称面(II 类类) 反映（symmetry plane）：一假想的平面，称为反映面或镜面。反映操作是从空间某一 点向反映面引垂线，并延长该垂线到反映面的另一侧，在延长线上取一点，使得到反映 面等距 国际符号：m 四方（四方（Tetragonal） 9) 简单四方（P） 10) 体心四方 （I） 4, 4, 4/, 422 4, 42 4/ m mmm mmm 90 abc 几种常见晶体结构几种常见晶体结构 空间群：Fm3m Bravais格子：面心立方 原子及位置：Na（0，0，