牛顿(Newton)插值多项式（经典实用）

1、牛顿(Newton)插值多项式 构造拉格朗日插值多项式构造拉格朗日插值多项式 011 0 011 ()()()() ( )( ) ()()()() n kkn nk kk k kkkkkkn x xx xx xx x L xy l xy xxxxxxxx 其形式具有对称性，即便于记忆，其形式具有对称性，即便于记忆， ( ) k lx(0,1,)kn 必须全部重新计算。必须全部重新计算。 插商与牛顿插商与牛顿(Newton)插值多项式插值多项式 由于公式中的由于公式中的 都依赖于全部插值节点在增加或减少节点时，都依赖于全部插值节点在增加或减少节点时， 又便于应用与编制程序。又便于应用与编制程序。

2、 牛顿(Newton)插值多项式 这种形式的插值多项式称为这种形式的插值多项式称为n次牛顿插值多项式。次牛顿插值多项式。 ( ) n Nx，即，即 其中系数其中系数 i a(0,1, )in可由插值条件可由插值条件 () nii Nxy(0,1, )in 记为记为 )()()()()( 10102010 nnn xxxxaxxxxaxxaaxN 为克服这个缺点，把插值多项式构造成如下形式为克服这个缺点，把插值多项式构造成如下形式 )()()()( 10102010 nn xxxxaxxxxaxxaa 确定。确定。 牛顿(Newton)插值多项式 定义定义1 设函数设函数f(x)在点在点 012

3、 ,xxx 012 (),(),(),f xf xf x ()( ) () ji ji f xf x ij xx 为为f(x)在点在点 , ij xx处的处的一阶差商一阶差商，记为，记为 , ij f x x ，即，即 ()() , ji ij ji f xf x f xx xx 称一阶差商的差商称一阶差商的差商 , jkij ki f xxf xx xx （, ,i j k 为为f(x)在在, ijk x xx处的处的二阶差商二阶差商，记为，记为, ijk f xxx 上的值依次为上的值依次为 称称 互异）互异） 为此我们引入差商概念：为此我们引入差商概念： 牛顿(Newton)插值多项式

4、一般地，称一般地，称 m-1 阶差商的差商阶差商的差商 12011 01 0 , , mm m m f x xxf xxx f xxx xx 为为 f(x) 在点在点 01 , m x xx 特别地，规定零阶差商特别地，规定零阶差商 ( ) ii f xf x 处的处的m阶差商。阶差商。 即即 , , jkij ijk ki f xxf x x f x xx xx 牛顿(Newton)插值多项式 为便于应用，通常采用差商表，例如为便于应用，通常采用差商表，例如 k x k f x 0 x 0 f x 01 ,f x x 1 x 1 f x 012 ,f xxx 12 ,f x x 0123 ,

5、f x x x x 2 x 2 f x 123 ,f xxx 23 ,f xx 3 x 3 f x 一阶差商一阶差商二阶差商二阶差商三阶差商三阶差商 牛顿(Newton)插值多项式 性质性质1 k阶差商阶差商 01 , k f xxx是由函数值是由函数值 01 (),( ),() k f xf xf x线性组合而成的，即线性组合而成的，即 01 0 011 ( ) , , ()()()() k j k j jjjjjjk f x f x xx xxxxxxxx 性质性质2 差商具有对称性，即在差商具有对称性，即在k阶差商阶差商 01 , k f xxx 中任意调换中任意调换2个节点个节点 i

6、x 和和 j x 差商有如下性质：差商有如下性质： 的顺序，其值不变。的顺序，其值不变。 牛顿(Newton)插值多项式 性质性质3 k阶差商阶差商 01 , k f xxx和和 k 阶导数阶导数 ( ) ( ) k fx ( ) 01 ( ) , ! k k f f x xx k 0101 (min,max,) kk xxxxxx 之间有如下重要关系：之间有如下重要关系： 有了差商的概念和性质后，我们就可以用差商有了差商的概念和性质后，我们就可以用差商 来表示牛顿差值多项式来表示牛顿差值多项式中的系数。中的系数。 )()()()()( 10102010 nnn xxxxaxxxxaxxaax

7、N 牛顿(Newton)插值多项式 由插值条件由插值条件 00 ()() n Nxf x ，可得，可得 000 ()af xf x 由插值条件由插值条件 11 ()() n Nxfx，可得，可得 10 101 10 ( )() , f xf x af x x xx 由插值条件由插值条件 22 ()() n Nxf x ，可得，可得 20 01 20012020 2 202121 0201 102012 21 ()( ) , ()( ) ,() ()() , , , , , f xf x f x x f xf xf x xxxxx a xxxxxx f x xf x x f x x xf x x

8、 x xx 牛顿(Newton)插值多项式 一般地，可以证明有一般地，可以证明有 01 , kk af x xx 于是，满足插值条件于是，满足插值条件 ( )( ) nii Nxf x (0,1,2, )in 的的n次牛顿插值多项式为次牛顿插值多项式为 001001201 01011 ( ),(),()() ,()()() n nn Nxf xf xxxxf xx xxxxx f xxxxxxxxx 牛顿(Newton)插值多项式 例例3 已知函数表已知函数表 x x 100121144169 10111213 试用牛顿线性插值与抛物线插值求试用牛顿线性插值与抛物线插值求 115 的近似值，并

9、估计截断误差。的近似值，并估计截断误差。 牛顿(Newton)插值多项式 解：解：先构造差商表，取先构造差商表，取 0123 100,121,144,169xxxx xx一阶差商二阶差商三阶差商 10010 0.047619 12111-0.00009411 0.0434780.0000003138 14412-0.00007246 0.040000 16913 牛顿(Newton)插值多项式 由差商表，牛顿插值多项式的系数依次为由差商表，牛顿插值多项式的系数依次为 001012 10, ,0.047169, ,0.00009411,f xf xxf xx x 牛顿线性插值多项式为牛顿线性插值

10、多项式为 牛顿抛物线插值多项式为牛顿抛物线插值多项式为 )100(047169. 010)( 1 xxN 所求近似值为所求近似值为 7143.10)100115(047169. 010)115(115 1 N )121)(100(00009411. 0)100(047169. 010)( 2 xxxxN 所求近似值为所求近似值为 7228.10)121115)(100115(00009411. 0)100115(047169. 010)115(115 2 N 牛顿(Newton)插值多项式 可知近似值可知近似值 1(115) N与与 2(115) N 的截断误差分别为的截断误差分别为 1(11

11、5) 0.01125R ， 2(115) 0.0017R 由插值余项公式由插值余项公式 (1) 10111 ( ) ( )( ) , , ,( ) (1)! n nnnn f R xxf x xxx n 牛顿(Newton)插值多项式 在实际计算中，特别是在函数在实际计算中，特别是在函数f(x)的高阶导数的高阶导数 比较复杂或比较复杂或f(x)的表达式没有给出时，由性质的表达式没有给出时，由性质3， 我们可以用差商表示的余项公式我们可以用差商表示的余项公式 011 ( ), ( ) nnn Rxf xxxxx 实际计算中，当实际计算中，当n+1阶差商变化不激烈时，可用阶差商变化不激烈时，可用

12、011 , nn f x xxx 近似代替近似代替 01 , n f x xxx 取取 0111 ( ),( ) nnnn Rxf xxxxx 来估计截断误差。来估计截断误差。 牛顿(Newton)插值多项式 例例3中，若用此方法估计截断误差，则有中，若用此方法估计截断误差，则有 201233 (115) , ,(115) 0.0000003138 (115 100)(115 121)(115 144)0.00082 Rf x x x x 与实际误差与实际误差 2 115(115)0.001N 相当接近。相当接近。 牛顿(Newton)插值多项式 练习：练习：给定数据如下：给定数据如下： x 1 1.5 0 2 f(x) 1.25 2.50 1.00 5.50 用牛顿二次、三次插值多项式近