（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.3 圆的方程课件

1、9.3圆的方程 第九章 平面解析几何 KAOQINGKAOXIANGFENXI 考情考向分析 以考查圆的方程为主，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点，属 中档题.题型主要以填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，在解答题中 也会出现. NEIRONGSUOYIN 内容索引 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业 1基础知识 自主学习 PART ONE 知识梳理 圆的定义与方程 ZHISHISHULIZHISHISHULI 定点 定义平面内到 的距离等于 的点的集合叫做圆 方 程 标准式(xa)2(yb)2r2(r0) 圆心为_ 半径为_ 一般式x2y2DxEyF0 充要条件：

2、_ 圆心坐标：_ 半径r_ 定长 (a，b) r D2E24F0 1.如何确定圆的方程？其步骤是怎样的？ 提示确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程. (2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组. (3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程. 【概念方法微思考】 2.点与圆的位置关系有几种？如何判断？ 提示点和圆的位置关系有三种. 已知圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0) (1)点在圆上：(x0a)2(y0b)2r2； (2)点在圆外：(x0a)2(y0b)2r2； (3)点在圆内：(x0a)2(y0b)

3、20.() 基础自测 JICHUZICEJICHUZICE 题组一思考辨析 123456 (4)方程x22axy20一定表示圆.() 123456 题组二教材改编 123456 2.P111练习T4圆x2y24x6y0的圆心坐标是_. (2，3) 解析由(x2)2(y3)213，知圆心坐标为(2，3). 3.P111习题T1(3)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的 标准方程为_. (x2)2y210 123456 解析设圆心坐标为(a,0)， 解得a2， 圆C的标准方程为(x2)2y210. 题组三易错自纠 123456 4.若方程x2y2mx2y30表示圆，则

4、m的取值范围是 _. 1a1 123456 5.若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是_. 解析点(1,1)在圆内， (1a)2(a1)24，即1a0)， 又圆与直线4x3y0相切， 圆的标准方程为(x2)2(y1)21. 2题型分类深度剖析 PART TWO 题型一圆的方程 师生共研师生共研 例1求经过点A(2，4)，且与直线l：x3y260相切于点B(8,6)的圆 的方程. 解方法一设圆心为C， 所求圆的方程为x2y2DxEyF0， 又有(2)2(4)22D4EF0， 又82628D6EF0. 联立，可得D11，E3，F30， 所求圆的方程为x2y211x3y

5、300. 方法二设圆的圆心为C，则CBl， 可得CB所在直线的方程为y63(x8)， 即3xy180. 由A(2，4)，B(8,6)，得AB的中点坐标为(3,1). AB的垂直平分线的方程为y1(x3)， 即xy40. 思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程. (2)待定系数法 若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r 的值； 选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求 出D，E，F的值. (x1)2y24 解析设圆心为(a，b)，半径为r， 解得a1，b0，则r2， 即所求圆的方程为(x1)2y24. x2y26x2y1

6、0或x2y26x2y10 解析方法一所求圆的圆心在直线x3y0上， 设所求圆的圆心为(3a，a)， 又所求圆与y轴相切，半径r3|a|， 故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29， 即x2y26x2y10或x2y26x2y10. 方法二设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2， 由于所求圆与y轴相切，r2a2， 又所求圆的圆心在直线x3y0上，a3b0， 故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29， 即x2y26x2y10或x2y26x2y10. 在圆的方程中，令x0，得y2EyF0. 由于所求圆与y轴相切，0，则E24F. 即(DE)2562(D2E

7、24F). D3E0. 故所求圆的方程为x2y26x2y10或x2y26x2y10. 例2已知点(x，y)在圆(x2)2(y3)21上，求xy的最大值和最小值. 题型二与圆有关的最值问题 师生共研师生共研 解设txy， 则yxt，t可视为直线yxt在y轴上的截距， xy的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线在y轴上的截距的最大 值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距. 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 引申探究 的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小 值，即直线与圆相切时的斜率. 设过原点的直线的方程为ykx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半

8、径， 求它的最值可视为求点(x，y)到定点(1,2)的距离的最值， 可转化为求圆心(2，3)到定点(1,2)的距离与半径的和或差. 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 (1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义， 利用圆的几何性质数形结合求解. (2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法. 跟踪训练2已知实数x，y满足方程x2y24x10. 解原方程可化为(x2)2y23， 当直线ykx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值和最小值， (2)yx的最大值和最小值； 解yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，如图所示， 当直线yxb与圆相切时，

9、其在y轴上的截距b取得最大值和最小值， (3)x2y2的最大值和最小值. 解如图所示，x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方， 由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值. 题型三与圆有关的轨迹问题 师生共研师生共研 例3已知RtABC的斜边为AB，且A(1,0)，B(3,0).求： (1)直角顶点C的轨迹方程； 解方法一设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y0. 因为ACBC，且BC，AC斜率均存在， 所以kACkBC1， 化简得x2y22x30. 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(y0). 方法二设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)

10、， 由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆 (由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点). 所以直角顶点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0). (2)直角边BC的中点M的轨迹方程. 解设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点， 所以x02x3，y02y. 由(1)知，点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)， 将x02x3，y02y代入得(2x4)2(2y)24， 即(x2)2y21. 因此动点M的轨迹方程为(x2)2y21(y0). 思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： 直接法：直接根据题目提供的

11、条件列出方程. 定义法：根据圆、直线等定义列方程. 几何法：利用圆的几何性质列方程. 相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式. 跟踪训练3设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM，ON为两 边作平行四边形MONP，求点P的轨迹. 解如图，设P(x，y)，N(x0，y0)， 因为平行四边形的对角线互相平分， 又点N(x0，y0)在圆x2y24上， 所以(x3)2(y4)24. 所以点P的轨迹是以(3,4)为圆心，2为半径的圆， 3课时作业 PART THREE 基础保分练 12345678910111213141516 (2，4) 1.已知aR，方程a2x2

12、(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是 _. 解析由题意得a2a2，a1或2. 当a1时方程为x2y24x8y50， 即(x2)2(y4)225，圆心为(2，4)，半径为5； 12345678910111213141516 (0，1) 2.已知圆C：x2y2kx2yk2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标 为_. 所以当k0时，圆C的面积最大，此时圆心C的坐标为(0，1). 12345678910111213141516 3.若圆C经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y1相切，则圆C的方程是 _. 解析因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)， 所以设圆心为(2

13、，m). 12345678910111213141516 (x1)2(y2)225 4.已知圆C：x2y22x4y10，那么与圆C有相同的圆心，且经过点(2,2) 的圆的方程是_. 解析设出要求的圆的方程为(x1)2(y2)2r2，再代入点(2,2)， 可以求得圆的半径为5. 12345678910111213141516 (x3)2(y1)21 5.已知圆M与直线3x4y0及3x4y100都相切，圆心在直线yx4 上，则圆M的方程为_. 解析到直线3x4y0及3x4y100的距离都相等的直线方程为3x4y 50， 又两平行线之间的距离为2，所以所求圆的半径为1， 从而圆M的方程为(x3)2(

14、y1)21. 12345678910111213141516 x2y210y0 6.圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是_. 解析根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r， 则32(r1)2r2， 解得r5，可得圆的方程为x2y210y0. 12345678910111213141516 12345678910111213141516 3，11,3 1|a|3，解得1a3或3a1. 实数a的取值范围是3，11,3. 12345678910111213141516 9.平面内动点P到两点A，B的距离之比为常数(0，且1)，则动点P的轨迹 叫做阿波罗尼斯圆，若已知A(2,

15、0)，B(2,0)， ，则此阿波罗尼斯圆的方程 为_. 12345678910111213141516 (x2)2(y1)21 10.点P(4，2)与圆x 2 y 2 4上任一点连线的中点的轨迹方程是 _. 解析设圆上任一点坐标为(x0，y0)， 4，连线中点坐标为(x，y)， 12345678910111213141516 11.已知点P(x，y)在圆C：x2y26x6y140上， 解方程x2y26x6y140可变形为(x3)2(y3)24， 则圆C的半径为2. 显然当PO(O为原点)与圆C相切时，斜率最大或最小，如图所示. 设切线方程为ykx，即kxy0， 由圆心C(3,3)到切线的距离等

16、于圆C的半径， 12345678910111213141516 12345678910111213141516 (2)求xy的最大值和最小值. 解(转化为截距的最值问题求解) 设xyb，则b表示动直线yxb在y轴上的截距， 显然当动直线yxb与圆C相切时，b取得最大值或最小值，如图所示. 12345678910111213141516 12.已知点A(3,0)，B(3,0)，动点P满足PA2PB. (1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程； 解设点P的坐标为(x，y)， 化简可得(x5)2y216，此方程即为所求. 12345678910111213141516 (2)若点Q在直线l1：xy30上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点 M，求QM的最小值. 解曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示. 由题意知直线l2是此圆的切线，连结CQ， 技能提升练 12345678910111213141516 74 13.已知圆C：(x3)2(y4)21，设点P是圆C上的动点.记dPB2PA2，其 中A(0,1)，B(0，1)，则d的最大值为_. (x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22 解析设圆C的方程为(xa)2(yb)2r2，