高中数学数列知识点总结(20201229160829)

1、数列基础知识点和方法归纳1. 等差数列的定义与性质定义： an 1 and （ d 为常数）， aan 1 dn1等差中项： x， A， y 成等差数列2 Axya1an nn n 1d前 n 项和 Snna122性质：an 是等差数列（ 1）若 mnpq ，则 amana paq；（ 2）数列 a2 n 1 , a2n , a2n 1 仍为等差数列， Sn， S2n Sn， S3n S2n仍为等差数列，公差为 n 2 d ；（ 3）若三个成等差数列，可设为a d，a，a d（ 4）若 an， bn 是等差数列，且前 n 项和分别为 Sn， Tn ，则 amS2m 1bmT2m 1（ 5）an

2、为等差数列Sn an2bn（ ，为常数，是关于n的常数项为0的二a b次函数）Sn 的最值可求二次函数Snan2bn 的最值；或者求出an 中的正、负分界项，即：当 a10， dan00 ，解不等式组可得 Sn 达到最大值时的 n 值.an 10当 a1 0， dan00 ，由可得 Sn 达到最小值时的 n 值.an 10(6)项数为偶数 2n 的等差数列an，有S2 nn(a1a2n ) n(a2a2 n 1 )n(an an 1 )(an , an 1为中间两项 )S偶S奇nd ， S奇an .S偶an 1（7）项数为奇数 2n1的等差数列 an ，有S2 n 1(2n1)an (an)

3、，S奇S偶an ，S奇S偶nn1.2. 等比数列的定义与性质定义： an 1q （ q 为常数， q0 ）， an a1qn 1an.等比中项：x G y 成等比数列G2xy ，或 Gxy .na1 (q1)前 n 项和： Sna1 1qn（要注意！）1( q1)q性质： an是等比数列（ 1）若mnp q，则 a ana ampq（ 2） Sn S2nSn S3nS2n仍为等比数列 ,公比为 q n .注意：由 Sn 求 an 时应注意什么？n 1 时， a1 S1 ；n 2 时， anSnSn 1 .3求数列通项公式的常用方法（ 1）求差（商）法如：数列 an ， 1 a1 12 a21n

4、an 2n5 ，求 an解 n 1 时， 1 a12222 1 5 ， a1 142n 2 时， 1 a11a21an 12n 1 52222n 1得： 1an2 ， an2n1 ， an14 (n1)2n 1 (n2)2n练习数列a满足 SS5 aa4 ，求 annnn 13n 11注意到 an 1Sn 1Sn ，代入得 Sn14又 S14 ， Sn 是等比数列， S 4nSnn；n2 时， anSnSn 134n 1（ 2）叠乘法如：数列an 中， a1an 1n，求 an3ann 1解a2a3an12n 1an1又 a13a2n，n3 ， ana1an 123a1n .（ 3）等差型递推

5、公式由 an an 1f ( n) a1a0 ，求 an ，用迭加法a2a1f (2)n 2 时，a3a2f (3)两边相加得 an a1f (2) f (3)f (n)anan 1 f ( n) an a0f (2)f (3)f (n)练习数列an中， a1n 1an 1nan13n11， an 32 ，求 an （2）（ 4）等比型递推公式an can 1d （ c、d 为常数， c 0 c1 d0 ）可转化为等比数列，设 an xc an 1xancan 1c 1 x令 (c 1)xd ， xd， and是首项为 a1dc 为公比的等比数列c 1c 1c1 anda1d cn 1 ， a

6、na1dcn 1cdc1c1c11（ 5）倒数法如： a11 an 12an，求 anan 2由已知得：1an21 1，111an 12an2 anan 1an21为等差数列，11 ，公差为1， 11 n 111n 1 ，ana12an222 ann1(附：公 式 法 、 利 用 anS (n 1)1Sn Sn 1 ( n 2) 、 累加 法 、 累 乘 法 . 构 造 等 差 或 等比an 1 pan q 或 an 1pan f (n) 、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)4. 求数列前 n 项和的常用方法(1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的

7、项.n1如： an是公差为 d 的等差数列，求k 1 akak 1解：由11111d 0ak ak dd akak 1ak ak 1n1nk 1 ak ak 1k 11111111111d akak 1d a1a2a2a3anan 1111da1an 1练习求和：1111212 312 3n1anSn21n1（ 2）错位相减法若 an为等差数列， bn为等比数列，求数列 anbn（差比数列）前 n 项和，可由Sn qSn ，求 Sn ，其中 q 为 b的公比 .n如： Sn1 2x 3x24 x3nx n 1xSnx 2x23x34x4n 1 xn 1nxn1 x Sn1x x2xn 1nxn

8、1xnnn n 1nx ， x1 时， Snx 1 时， Snx21 2 3n11 x2（ 3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加 .Sna1a2an 1an相加 2Sna1 ana2 an 1a1 anSnanan 1a2a1x2练习已知f ( x)1x2 ，则f (1)f (2) f1f1f (4)1f (3)3f2412x2x2由 f ( x)1x11f1 x2121 x21 x2x1x原式f (1)f (2) f1f (3)f 1f (4) f 111113123422(附：a.用倒序相加法求数列的前n 项和如果一个数列 an ，与首末项等距的两项之和等于首末两项之

9、和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具， 例如：等差数列前 n 项和公式的推导，用的就是 “倒序相加法 ”。b.用公式法求数列的前 n 项和对等差数列、等比数列，求前 n 项和 Sn 可直接用等差、等比数列的前 n 项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。c.用裂项相消法求数列的前n 项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项， 使得前后项相抵消， 留下有限项，从而求出数列的前 n 项和。d.用错位相减法求数列的前n 项和错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列 anbn 中， an 成等差数列， b n 成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前 n 项和。e.用迭加法求数列的前n 项和迭加法主要应用于数列 an 满足 an+1=an+f(n) ，其中 f(n) 是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成 an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出 an ，从而求出 Sn。f.用分组求和法求数列的前n 项和所谓分组求