三类偏微分方程唯一性与稳定性问题

1、三类偏微分方程唯一性与稳定性问题张政 1110050024摘要：本文主要利用能量积分法、极值原理等方法讨论波动方程、热传导方程和调和方程初边值问题的唯一性及稳定性问题。旨在证明三类偏微分方程在不同初边值条件下具有的唯一性和稳定性。关键词：能量积分、极值原理、强极值原理、热传导方程、调和方程一、波动方程初边值问题的唯一性和稳定性能量积分：对于膜振动问题，总能量由动能与位能两部分组成，其和称为能量积分。在没有外力作用的情况下，薄膜振动的能量是守恒的。薄膜的动能和位能的表示式，分别写为 .其中是密度，是张力。（不计一个常数因子）薄膜的总能量可写为.定理1设是混合问题 （1）的解，那么能量积分保持不变

2、，即，其中.定理2 波动方程混合问题 (2)的解是唯一的。证：设，为问题（1）的任意两个解，则是如下波动方程的解。可得.由定理1知，可得，又可得，因此，即，唯一性得证。定理3 设是混合问题 (3)的解，那么能量积分保持不变，即，其中.定理4 波动方程混合问题 (4)的解是唯一的。能量不等式（能量估计式） （5）（是一个只与有关的正常数）定理5 波动方程初边值问题的（1）-（4）的解在下述意义下关于初始值与方程右端项是稳定的：对任何给定的，一定可以找到仅依赖于和的，只要， ， ， ， ，那么以为初值、为右端项的解与以为初值、为右端项的解之差在上满足 ， ， 。证 ，则满足从而利用能量不等式（5）

3、即得所需之结论。二、热传导方程初边值问题的唯一性和稳定性极值原理：设在矩形上连续，并且在矩形内部满足热传导方程，则它在矩形的两个侧边（及，）及底边（，）上取到其最大值和最小值。换言之，如果以表示的两侧边及底边所组成的边界曲线（统称抛物边界），那么成立着（一）热传导方程的初边值问题定理6 （6） 在区域上的解是唯一的，而且连续地依赖于边界上所给定的初始条件及边界条件。证：设，为问题（6）的任意两个解，则是如下热传导方程的解。而在上，于是由上述的极值原理得到，.因此在上，即，唯一性成立。对于，若，即在上满足，由极值原理，都有，这就证明了初边值问题（6）的解的稳定性。证毕。（二）：第三类边界条件（其

4、中） （7）首先估计方程 的解的范围。令，其中为一个任意给定的正常数。代入（6）得 （8）对任意满足的，记为矩形，并记为的两侧及底边所组成的抛物边界，考虑在上的最大值。首先，假设在处（这里）达到正的最大值，则由函数取极值的必要条件知，在此点有且，从而（8）第一式不能成立，假设错误。说明的正极大值只可能在上达到，分情况讨论。（1）如果的正极大值在时达到，则有.（2）如果的正极大值在时达到，则有.（3）如果的正极大值在时达到，在该点应有，从而由处的边界条件可得.由此可得：.因此. （9）同理可得：. （10）定理7： （7）在区域上的解是唯一的，而且连续地依赖于边界上所给定的初始条件及边界条件。证

5、 设，为问题（7）的任意两个解，则满足如下热传导方程。则由（9）（10）式可知，即，唯一性成立。对于，若，由（9）（10）式可知，即，。这就证明了初边值问题（7）的解的稳定性。证毕。（三）：第二类边界条件 （11）首先估计方程 的解的范围。用函数的线性变换。其中。则满足下列方程组：此时，在处的边界条件已是第三类边界条件（其中）。再做变换并取。由此可得：定理8： （12） 在区域上的解是唯一的，而且连续地依赖于边界上所给定的初始条件及边界条件。三、调和方程初边值问题的唯一性和稳定性极值原理：对不恒等于常数的调和函数，其在区域的任何内点上不能取到它在上的上界或下界。推论1：在有限区域内调和，在上连

6、续的函数，在边界上取到最大值和最小值。推论 2：设和在区域内调和，且在上连续，若在边界上成立，则在内也成立着。并且只有时，在内才会有等号成立。（1） 第一边值问题（dirichlet内问题） （13）定理9：若dirichlet内问题（13）的解存在，则必唯一，且连续依赖于边值条件。证 设，为问题（13）的任意两个解，则满足如下调和方程。由极值原理可知：。因此在内，即，唯一性得证。对于，若在上，由推论2可知，在内，。即解连续依赖于边界条件。（2） 第三边值问题（dirichlet外问题） （14）定理10：若dirichlet外问题（14）的解存在，则必唯一，且连续依赖于边值条件。证 设，为问

7、题（14）的任意两个解，则满足如下调和方程假设在不恒等于0，即存在某点，使，不妨假设。取充分大，使完全落到内部，是由和围成的区域。由有在上。与极值原理矛盾。原命题成立。在上。即。对于，若在上，由有在上，由推论2可知，在内，。当，即得解连续依赖于边界条件。强极值原理：设在以为半径的某一个球上（包括球面在内）给定一个已知函数，它在球内是调和的。对球内的任意总成立着，其中为球面上的一固定点，且在点处，沿方向的方向导数存在，与在的内法线方向成锐角，则。一般区域的强极值原理：设区域 具有下述性质：在的边界上的任何一点都能做一个球，使连同其边界都包含在内。且与在相切。若不恒为常数的调和函数在连续，在边界点

8、上 取最小值（最大值），则只要在点的外法线方向的方向导数存在，且（3） 第二边值问题（neumann内问题） （15）定理11：设满足定理条件，若neumann内问题（15）的解存在，则除相差一常数因子外，解是唯一的。证明：设，为问题（15）的任意两个解，则满足。反证法，假设不恒为常数，由极值原理可知，的最小值必在边界上达到。再由强极值原理可知，在取最小值上与已知矛盾。则。即。则定理得证。（4） 第四边值问题（neumann外问题） （16）定理12：设的边界具有下述性质，在其中任一点可作完全落在外部（的外部区域设为）的球，且此球与在此点相切，若neumann外问题（16）的解存在，则必唯一。证明：设，为问题（16）的任意两个解，则满足由，得对于，都可以找到一个充分大，使在以为半径的球面上的每一点，有，于是在由与所围成的区域内就不能取得极值。因，由一般区域的强极值原理可知，就不能在点取得极值，即的极值只能在上取值。又因在上，即。即得在内都等于0。推出。法二：利用能量积分法证明解的唯一性若是调和函数，则其能量积分为定理13：设，若（13）的解存在，则必唯一。证 设，为问题（13）的任意两个解，则满足如下调和方程。由能量积分公式，